Đề thi tuyển sinh sau đại học đợt II năm 2005 môn Giải tích

Bộ Giáo dục và đào tạo Họ và tên thí sinh:..............................
Đại Học Huế Số báo danh:..............................
Trường Đại học Sư phạm
kỳ thi tuyển sinh sau đại học Đợt II - năm 2005
Môn thi: Giải tích
(Dành cho Cao học)
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. Xét chuỗi hàm
∞∑
n=1
un với un(x) =
x2
n
1 − x2n+1 , |x| < 1.
a) Với mỗi a : 0 < a < 1, chứng minh |un(x)| ≤ a
n
1− a ∀x ∈ [−a, a]. Từ đó suy ra
∞∑
n=1
un hội tụ
đều trên [−a, a].
b) Tính tổng S của chuỗi hàm
∞∑
n=1
un trên (−1, 1).
Câu 2. Cho hàm hai biến:
f(x, y) =

−1 nếu y < x2
0 nếu y = x2
1 nếu y > x2
Chứng minh rằng hàm f(x, y) khả tích Riemann trên hình chữ nhật D = [−1, 2] ì [0, 5] và tính∫∫
D
f(x, y)dxdy.
Câu 3. Cho (X, d) là không gian mêtric, A là tập con khác trống của X,x0 ∈ X và x0 /∈ A. Đặt
d(x0, A) = inf
a∈A
d(x0, a).
a) Giả sử A đóng, chứng minh d(x0, A) > 0.
b) Giả sử A compact, chứng minh tồn tại y0 ∈ A sao cho d(x0, A) = d(x0, y0).
c) Giả sử X = Rn với mêtric Euclide thông thường và A ⊂ Rn là tập đóng. Chứng minh tồn tại
y0 ∈ A sao cho d(x0, A) = d(x0, y0).
Câu 4. Trong không gian C[0, 1] với chuẩn "max" cho dãy (xn) ⊂ C[0, 1] với xn(t) = 2nt
n4 + t2
,
t ∈ [0, 1] và toán tử A : C[0, 1]→ C[0, 1] cho bởi:
Ax(t) =
t∫
0
x(s)ds, với x ∈ C[0, 1], t ∈ [0, 1].
a) Chứng minh A là toán tử tuyến tính liên tục.
b) Chứng minh (Axn) hội tụ về 0 trong C[0, 1].
Câu 5. Giả sử {en} là cơ sở trực chuẩn trong không gian Hilbert H và X là không gian Banach. Giả
sử A ∈ L(H,X) sao cho chuỗi
∞∑
n=1
‖Aen‖2 hội tụ. Chứng minh A là toán tử compact.
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm