Đề thi học sinh giỏi quốc gia THPT năm học 2008 - 2009 môn Toán

Bộ Giáo Dục Và Đào Tạo - Việt Nam 2009
_________________________________________________
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT
 NĂM HỌC 2008-2009
____________________________________________________________________________
Bài 1. (4điểm)
Giải hệ phương trình:
   
         
2 2
1 1 2
1 2xy1 2x 1 2 y
2
x 1 2x y 1 2 y
9
Bài 2. (5điểm)
Cho dãy số nx xác định như sau:
  
    
1
2
n 1 n 1 n 1
n
1
x
2
x 4x x
x
2
Xét dãy số

nn 2
i 1 i
1y
x
 . Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Bài 3. (5 điểm)
Cho 2 điểm cố định A,B và điểm C di động trên mặt phẳng sao cho
 ACB a    o0 a 180 không đổi cho trước. Hình chiếu của tâm đường tròn nội tiếp I của
tam giác ABC xuống ba cạnh AB,BC,CA lần lượt là D,E,F . AI và BI cắt EF lần lượt tại M và
N .
a) Chứng minh độ dài MN không đổi .
b) CM đường tròn ( DMN ) luôn đi qua một điểm cố định .
Bài 4. (3điểm)
Cho a , b , c là các số thực. Với mỗi n nguyên dương,  n n na b c là số nguyên. Chứng minh
rằng tồn tại 3 số nguyên p , q , r sao cho a , b , c là các nghiệm của pt bậc ba
   3 2x px qx r 0 .
Bài 5. (3 điểm)
Cho tập hợp S gồm 2n số nguyên dương đầu tiên. Tìm số tập hợp T sao cho trong T không có 2
phần tử a,b nào thỏa mãn   a b 1;n (chú ý tập rỗng thỏa mãn ĐK trên) .
____________________________________________________________________________
Copyright by Ly Tu Trong official website --