Đề thi học sinh giỏi huyện năm học 2006 - 2007 môn: Toán lớp 9

đề thi học sinh giỏi huyện năm học 2006-2007
Môn: Toán lớp 9-Thời gian 120 phút
Bài 1: 
Cho biểu thức: A=
 a) Tìm tập xác định và rút gọn biểu thức A
 b) Tìm giá trị của x để 
Bài 2 : 
Giải các phương trình sau:
 a) 
 b)
 c) x +y +z +4 = 2
Bài 3: 
a) Cho 2 số không âm a và b. 
Chứng minh rằng: , dấu “=”xảy ra khi nào? 
 b) Tìm cặp số x,y sao cho: x= xy
	c) Cho 0 < a, b, c < 2.
 Chứng minh có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau đây là sai:
a(2 - b) > 1; b(2 - c) > 1; c(2 - a) > 1
Bài 4:
 Cho tam giác ABC vuông ở A,đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu 
 của điểm H trên AB và AC. Biết BH=4cm, CH=9cm.
 a) Tính độ dài đoạn DE . 
 b) Chứng minh: AD.AB = AE.AC
 c) Chứng minh: AH3 =BC.BD.CE 
Bài 5:
	Cho n số a1; a2; ...; an, mỗi số trong chúng bằng 1 hoặc bằng -1 
và a1a2 + a2a3 +...+ ana1 = 0. Hỏi n có thể bằng 2006 được không? Tại sao?
Phòng Giáo dục huyện Yên Thành
đáp án, biểu điểm chấm môn toán 9
Bài
Nội dung
Điểm
1
(1,5đ)
 Câu a:1 điểm, câu b: 0,5 điểm
 a)TXĐ = 
 A=
 =
 b) (Điều kiện:A0)
 (Thỏa mãn)
 Vậy với x>9 thì 
0.5
0.5
0.25
0.25
2
(3đ)
Câu a:1 điểm. câu b: 1 điểm. câu c: 1điểm
 a) Điều kiện:x
 (loại) hoặc x=1 (Thỏa mãn)
 b) 
 =2 
 =2
 Điều kiện x
 Nhận xét: 
 Dấu bằng xẩy ra khi:(.(1-0 2-xx2
 Vậy nghiệm của phương trình là:1
 c) x+y+z+4 = 2
 Điều Kiện :x
 +
 Là nghiệm
0.25
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
0.25
3
(2,0đ)
Câu a:0,5 điểm. câu b: 1 điểm. câu c: 0.5 điểm
 a) vì a và b không âm nên tồn tại và
 Ta có
 Dấu “=” xảy ra khi a=b
 b) Điều kiện : x1 ; y1 
 (1)
 Tương tự (2)
 Từ (1) và (2) ta có : x 
 Dấu "="xảy ra 
 c) Giả sử các BĐT trên đều đúng. Khi đó nhân vế với vế các BĐT lại với nhau ta được:
 a(2 - b)b(2 - c)c(2 -a) > 1 (1)
Ta lại có a(2 - a) = 2a - a2 = 1 - (1-a)2 1
Tương tự b(2 - b) 1
 c(2 - c) 1
Do 0 0; b(2 - b) > 0; c(2 - c) > 0 
Suy ra: a(2 - a)b(2 - b)c(2 - c) 1 Mâu thuẫn với (1) 
Vậy có ít nhất một trong các BĐT đã cho là sai. 
0.25
0.25
0.25
0.5
0.25
0.25
0.25
4
(2,5đ)
A
B
C
D
E
H
Câu a: 1điểm; câu b: 1điểm; câu c: 0.5đ
a) Tứ giác ABCD là hình chữ nhật vì có 3 góc vuôngDE = AH
 Tam giác ABC vuông ở A, có AHBC, nên AH2=BH.CH=4.9=36
 AH=6(cm) Vậy DE=6cm.
 b) Ta có AH2=AD.AB ; AH 2=AE.AC
 AD.AB=AE.AC
 c) Ta có AH2=BH.CH
 AH4=BH2CH2=AB.BD.AC.CE=AH.BC.BD.CE 
 AH3=BC.BD.CE
0.5
0.5
0.5
0.5
0.25
0.25
5
(1đ)
 Vì aj = + 1 nên aiaj = + 1
Do đó tổng n số hạng a1a2 + a2a3 +..+ ana1 mỗi số hạng bằng 1 hoặc -1.
Mà tổng này bằng 0 (g thiết) nên suy ra n chẵn.
Giả sử n = 2k với k số hạng bằng 1, k số hạng bằng -1.
Tích của n số hạng đó (a1a2)(a2a3)...(ana1) = (a1a2...an)2 = 1
Nên số hạng bằng -1 phải là số chẵn, k = 2p
Vậy n = 2k = 4 p. 
Mà 2006 không chia hết cho 4, suy ra n không thể bằng 2006.
0.5
0.25
0.25
Các cách giải khác đúng đều cho điểm tối đa