Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học: 2007-2008 môn thi: toán thời gian làm bài: 150 phút

Mã ký hiệu
Đ02T-08-HSG9
 Đề thi chọn HSG lớp 9
Năm học: 2007-2008
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút.
( Đề này gồm 06 câu, 01 trang)
Câu 1. (1,5 điểm)
 Đơn giản biểu thức: A = 
Câu 2. (3 điểm)
 Chứng minh rằng:
Câu 3. (3 điểm)
Giải hệ phương trình:
Câu 4. (2,5 điểm)
Cho x và y là các số thực thoả mãn:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = x2 + y2
Câu 5. (2 điểm)
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn:
 Chứng minh rằng (ab + bc + ca )2 + 6a2b2c2 3
Câu 6. ( 8 điểm) 
 Cho hình vuông ABCD cạnh là a. Trên các cạnh AD và CD lần lượt lấy các điểm M và N sao cho MBN = 450, BM và BN cắt AC theo thứ tự tại E và F.
Chứng tỏ 4 điểm M, E, F, N cùng nằm trên một đường tròn.
MF và NE cắt nhau tại H, BH cắt MN tại I. Tính BI theo a.
Tìm vị trí của M và N sao cho diện tích tam giác MDN lớn nhất.
...........................Hết...........................
22212
Mã ký hiệu
HD02T-08-HSG9
 Hướng dẫn chấm Đề thi chọn HSG lớp 9
Năm học: 2007-2008
Môn thi: Toán
Câu 1. (1,5 điểm)
 A = 
 = 
 = 
Câu 2 (3 đ ) Đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
 (1)
Đặt 
 (1) 
 5(2-a3) = (1+a – a2)3 (2) do b5= 5
Ta có (1+a- a2) = 1+3(a-a2)+3(a-a2)2+3(a-a2)2+(a-a2)3
 = 1+3a-3a2+3(a2-2a3+a4)+a3-3a2.a2+3a.a4-a6
 = 1+3a-3a2+3a2-6a3+3a4+a3-3a4+3a5-a6
 = 1+3a-5a3+3a5-a5.a
 = 1+3a-5a3+3.3-3a (do )
 = 10-5a3 = 5(2-a3)
Vậy (2) đã được chứng minh đẳng thức được chứngminh
Câu 3. (3 điểm)
Từ (1) (3) 
Từ (2) cùng dấu
Dễ thấy (x0,y0) là nghiệm của hệ đã cho, 
thì (-x0, -y0) cũng là nghiệm của hệ. Vì x, y 0 (do (2))
Xét x>0, y>0
Từ (2) ta có 
Thật vậy : từ 
(1)
(2)
 (do x>0) (4) 
Vậy , kết hợp với (3) 
Khi đó xảy ra dấu “=” ở (4) 
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm:
(x, y) = 
Câu 4. (2,5 điểm)
Cho x và y là các số thực thoả mãn:
 (1)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = x2 + y2
Từ (1) 
 (do ....)
Vậy 
Chỉ ra 
Do đó 
Vậy S đạt giá trị lớn nhất là 1 
Câu 5. (2 điểm)
- Chứng minh 3(x2+y2+z2) (x+y+z)2 (*)
- Từ giả thiết 
Ta có a2b2+b2c2+c2a2+2a2b2c2 = 1 
Sử dụng (*) với ab = x, bc = y, ca = z ta có: 
(ab+bc+ca)2 3(a2b2+b2c2+c2a2) = 3(1-2a2b2c2) 
Vậy (ab+bc+ca)2 + 6a2b2c2 3
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c và 
Câu 6. (8 điểm) a) (2,5 đ)
Ta có EBN = ECN () 
 tứ giác BCNE nội tiếp ()
 BCN + BEN = 1800
mà BCN = 900 BEN = 900
Tương tự FBM = FAM = 450
 tứ giác ABFM nội tiếp
 BFM = 900
ta có MEN = MFN = 900
 4 điểm M, E, F, N cùng nằm trên đường tròn đường kính MN
b) (2,5 đ)
Xét r BMN có NE và MF là 2 đường cao H là trực tâm
 BI MN
Ta có tứ giác ABFM nội tiếp (c/m trên) ABM = AFM ( 2 góc cùng chắn cung AM) (1)
Tương tự tứ giác BEHF nội tiếp EFH = EBH ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung EH) (2)
Từ (1) và (2) suy ra ABM = MBI 
Chỉ ra rBAM = r BIM
 AB = BI = a
c). (3 đ)
Ta có rBAM = r BIM AM = IM
Tương tự rINB = r CNB CN = IN 
Do đó AM + CN = IM + IN
 MD + AM + CN + DN = MN + MD + DN 2a = MN + MD + DN
Đặt DM = x và DN = y MN = SMDN = 
Bài toán đưa về xác định x và y thỏa mãn: 
x + y + sao cho x, y lớn nhất 
Ta có (do x; y > 0)
Vậy 
Vậy DM = DN = thì r MDN có diện tích lớn nhất
Và 
I
Chú ý: 
Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
Hình vẽ sai không chấm
Hình vẽ phải khớp với bài làm mới cho điểm
Trong phần bài toán hình các kết luận phải có đủ lí do, nếu thiếu thì trừ điểm tùy theo nội dung.
Thiếu 1 kí tự (dấu góc, dấu cung, ) thì châm trước, thiếu từ 2 đến 3 kí tự thì trừ nửa số điểm của câu đó, nếu thiếu nhiều hơn 3 kí tự thì không chấm câu đó.
Tổng điểm toàn bài là 20 điểm.
1 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0.5 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,75 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ