Đề khảo sát học sinh giỏi lớp 7 năm học 2011- 2012 môn toán 7

Phòng giáo dục- đào tạo 
 thành phố thái bình
Đề khảo sát học sinh giỏi lớp 7
năm học 2011- 2012
Môn toán 7
(Thời gian làm bài 120 phút) 

Bài 1: ( 4 điểm )
	1/ Cho A = 3.5.7...99.( 1+ )
 Chứng tỏ rằng A chia hết cho 4.
	2/ Tìm các số abc có các chữ số khác nhau sao cho : 9a = 7b + 2c 
Bài 2: ( 4 điểm )	
	1/ Tìm x, y, z biết : và x - 3y + 4z = 4
	2/ Với giá trị nguyên nào của x thì biểu thức M = có giá trị lớn nhất ? 
 Tìm giá trị đó ?
Bài 3: ( 4 điểm )
	1/ Vẽ đồ thị hàm số y = ( I x I - x )
	2/ Cho đa thức F(x) thoả mãn điều kiện : x. F( x + 1) = ( x+ 2) .F(x)
 Chứng minh đa thức F(x) có ít nhất hai nghiệm là 0 và -1
Bài 4: ( 5 điểm ) 
	Cho tam giác ABC vuông ở A có góc C bằng 30o . Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho góc BCM bằng góc ACB, trên cạnh AC lấy điểm N sao cho góc CBN bằng góc ABC. Gọi giao điểm của CM và BN là K.
1/ Tính góc CKN
2/ Gọi F và I theo thứ tự là hình chiếu của điểm K trên BC và AC. Trên tia đối của tia IK lấy điểm D sao cho IK = ID, trên tia KF lấy điểm E sao cho KF = FE ( EK).
 Chứng minh DE = EC = CD.
3/ Chứng minh 3 điểm E,N,D thẳng hàng.
Bài 5: ( 3 điểm )
	Cho tam giác ABC ( AB < BC). Đường phân giác trong của góc ABC cắt cạnh AC tại M.
 Chứng minh MC > MA





Phòng giáo dục- đào tạo 
 thành phố thái bình
Đề khảo sát học sinh giỏi lớp 8
năm học 2011- 2012
Môn toán 8
(Thời gian làm bài 120 phút) 

Bài 1: ( 4 điểm ) 
	1/ Chứng minh rằng với mọi số nguyên m thì m5 - m chia hết cho 5
	2/ Tìm nghiệm nguyên x,y của phương trình: x2 - xy - y + 2 = 0
Bài 2: ( 4 điểm )	 
	1/ Giải phương trình: x2 + + 16y2 + = 10
	2/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = với a,b là các số tự nhiên.
Bài 3: ( 4 điểm ) 
	1/ Tính giá trị của phân thức A = 
 Biết rằng: 25x2 + 9y2 = 40xy và 3y< 5x< 0
	2/ Chứng minh rằng: M = y10 - y9 - y + y2 + 1 > 0
Bài 4: ( 5 điểm ) 
	 Cho tam giác MNK vuông ở N. Trên cạnh MK lấy điểm O sao cho OM = ON. Gọi I là hình chiếu của M trên ON. Qua N kẻ đường thẳng song song với MI cắt tia OM tại H. 	1/ Chứng minh OM2 = OI.OH
	2/ Đường phân giác góc OMN cắt ON tại E. Đường thẳng qua N song song với ME cắt tia OM tại Q. Tam giác NMQ là tam giác gì? Tại Sao?
 3/ Giả sử MN = 3 cm, NK = 4 cm. Tính diện tích tam giác MIN.
Bài 5: ( 3 điểm )
	Tìm tất cả các tam giác vuông có chiều dài các cạnh là những số nguyên và số đo diện tích bằng số đo chu vi? ( Có giải thích)
	

hướng dẫn chấm KS HSG - toán 7 (2011-2012)

Bài
Nội dung
Điểm
Bài 1:
(4đ)
 1/ Cho A = 3.5.7...99.( 1+ )
 Chứng tỏ rằng A chia hết cho 4 
Có: ( 1+ ) = ( 1+ ) + ( )+...+()
 = 
Gọi a1,a2,..., a25 là các thừa số phụ tương ứng của của các phân số này.
A = 3.5.7...99. = 4.25 ( a1 + a2 +...+ a25)
Vậy A chia hết cho 4 
2đ



0.5

0.5


0,75


0.25


 2/ Tìm các số abc có các chữ số khác nhau sao cho : 9a = 7b + 2c 
 9a = 7b + 2c (1)
9a - 9c = 7b -7c
9(a-c) = 7(b-c)
=> 7(b-c) 9 => b-c 9
Theo bài bc nên có 2 trường hợp:
+ b = 9; c = 0 thay vào (1) => a = 7 => Số phải tìm 790
+ b = 0; c =9 thay vào (1) => a= 2 => Số phải tìm 209
 

2đ



 
0,5
0,5


0,5
0,5

 Bài 2:
(4 đ)
1/ Tìm x, y, z biết : và x - 3y + 4z = 4
 = = =
2 => x= 5
2 => y= 11
= 2 => z= 8
Vậy : x= 5; y= 11; z= 8
 


2đ


 

0,5

0,5

0,5


0,5

 


2/ Với giá trị nguyên nào của x thì biểu thức M = có giá trị lớn nhất ? Tìm giá trị đó ?
M = = 1+ M lớn nhất khi và chỉ khi lớn nhất
+ Xét x > 5 thì < 0 (1)
+ Xét x 0 Thấy có tử và mẫu đều dương, tử không đổi nên phân thức có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất. 5-x là số nguyên dương, nhỏ nhất khi 5-x= 1 => x= 4 khi đó = 10 (2)
So sánh (1)và (2) thấy lớn nhất bằng 10
Vậy GTLN của M = 11 khi và chỉ khi x= 4

2đ






0,5


 


1,0




0,5
Bài 3:
(4 đ)

1/ Vẽ đồ thị hàm số y = ( I x I - x )
 Y
+ y = ( I x I - x ) = 0 với x 
 - x với x < 0
 1
+ Xác định toạ độ và vẽ đồ thị... x
 -1 O

2đ



1,0
 

1,0


2/ Cho đa thức F(x) thoả mãn điều kiện : x. F( x + 1) = ( x+ 2) .F(x)
 Chứng minh đa thức F(x) có ít nhất hai nghiệm là 0 và -1
Ta có x. F( x + 1) = ( x+ 2) .F(x) (*)
- Thay x= 0 vào (*) : 0. F( 1) = 2.F(0) => F(0) = 0 Vậy 0 là một nghiêm của F(x)
- Thay x = - 1 vào (*): -1.F(0) = 1.F(-1) nên - F(0) = F(-1)
 Do F(0) = 0 => F(-1) = 0 Vậy -1 cũng là một nghiệm của F(x)
Do đó đa thức F(x) có ít nhất hai nghiệm là 0 và -1




2đ



0,75

0,75

0,5



Bài 4:
(5 đ)
 D
 A
 I
 M N
 K

 B F C


 E
1/ Có B = 600 ( do A = 900, C = 300)
CBN = ABC = . 600 = 400
BCM = ACB = . 300 = 200
BKC = 1800 – (CBN + BCM) = 1800 – 600 = 1200
-> CKN = 1800 – 1200 = 600 (2 góc kề bù )














∑1,5 đ


0.5

0.5


0.5


2/ ∆ KIC = ∆ DIC (cgc) -> CK = CD và DCI = KCI (1)
 ∆ KFC = ∆ EFC (cgc) -> CK = CE và KCF = ECF (2)
Từ (1) và (2) => CD = CE => ∆ DCE cân
 Có: DCE = 2. ABC = 600
=> ∆ DCE là đều 
Vậy: CD = CE = DE 


∑ 2đ
0.5
0.5
0,25

0.5
0.25


3/ Xét tam giác vuông ANB: ANB = 900 – 200 = 700 -> BNC = 1100 
∆ CND = ∆ CNK (gg) -> DNC = KNC = 1100
 => CDN = 600 (NCD = 100; DNC = 1100)
Lại có ∆ CDE đều ( CM trên) => CDE = 600
Do đó: CDN = CDE = 600
Suy ra: Tia DN trùng tia DE
Hay 3 điểm D,N,E thẳng hàng
∑ 1.5đ




0.5


0.5


0.5
Bài 5:
(3 đ)
 
 B
	1 2

 N 
 1 2
 C A
 M
	
+ Lấy N thuộc BC sao cho BN = BA
∆ MNB = ∆ MAB (cgc)
=> M1 = M2 ; MN = MA
+ CNM = B1 + M1 ( góc ngoài tam giác)
=> CNM > M1 
+ M2 = C + B1 ( góc ngoài tam giác)
=> M2 > C
=> CNM > C ( do M1 = M2)
+ Xét tam giác CNM: có N > C => CM > NM
 => CM > MA ( MN = MA)
 









∑ 3đ

0.5

0.5


0.5



0.5


0.5

0.5


Ghi chú: Điểm toàn bài làm tròn đến 0,25. Các cách giải khác đúng cho điểm tương ứng.












hướng dẫn chấm KS HSG-toán 8(2011-2012)

Bài
Nội dung
Điểm
Bài 1:
(4đ)
1/ Chứng minh rằng với mọi số nguyên m thì m5 - m chia hết cho 5.
m5 - m = m(m2 - 1)(m2 + 1) = m(m2 - 1)(m2 - 4+5)
 = m(m2 -1)( m2 - 4) + 5m(m2 - 1)
 = ( m-2)(m-1)m(m+1)(m+2) + 5m(m2 -1)
Có ( m-2)(m-1)m(m+1)(m+2) 5 (Tích 5 số nguyên liên tiếp)
 5m(m2-1) 5 
Vậy m5-m 5 
 
2đ
0,5

0,5

0,5
0,5


2 / Tìm nghiệm nguyên x,y của phương trình: x2 - xy - y + 2 = 0
 y(x+1) = x2 + 2
+ x= -1 không thỏa mãn phương trình
+ x -1 thì y = 
Ta có: xZ , x + 1 Z
x+1
-1
1
-3
3
x
- 2
0
- 4
2
y
- 6
2
- 6
2
Nghiệm nguyên (x,y) của phương trình là:(-2,-6);(0,2);(-4,-6);(2,2)

2đ

0,5

 
0,25
0,25



0,75

0,25
 Bài 2:
(4 đ)

1/ Giải phương trình: x2 + + 16y2 + = 10
 ĐKXĐ: x,y 0
 x2 - 2 + + 16y2 - 8 + = 0
 ( x- )2 + ( 4y - )2 = 0 Vì ( x- )2 và ( 4y - )2 
 x- = 0 và 4y - = 0
 x2 - 1 = 0 ( vì x0) và 4y2 - 1 = 0 ( vì y 0 ) 
 x= -1; x= 1 và y = - 
Nghiệm là: x= -1, y=- ; x=-1, y= ; x =1, y =- ; x=1, y= 
Thoả mãn


2đ

0,25



0,5

0,5



0,5

0,25

2/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = với a,b là các số tự nhiên.
Có a+ b 7
+ Xét a+b 
Nếu b= 0 Thì M = 0
Nếu 1 b 5 Thì M 5 
Nếu b =6 Thì a = 0 Vậy M = 6 
+ Xét a+b 8 Thì M < 0
So sánh các giá trị của M thấy Max M = 6 khi và chỉ khi a=0, b= 6


2đ



0,25
0,5
0,5

0.25

0,5
Bài 3:
(4 đ)
1/ Tính giá trị của phân thức A = 
 Biết rằng: 25x2 + 9y2 = 40xy và 3y< 5x< 0
 Có: A2 = 
Vì 3y 5x-3y >0; 5x+3y A <0
Vậy A= - 

2đ



0,75

0,75
0,5


2/ Chứng minh rằng: M = y10 - y9 - y + y2 + 1 > 0 
 M = y9(y-1) - (y-1) + y2 = (y-1)(y9-1) + y2
 + Nếu: y 1 Thì y9 1 => (y-1)(y9-1) 0; y2 > 0 Nên M > 0
+ Nếu : y (y-1)(y9-1) > 0; y2 0 Nên M > 0
Vậy M >0



2đ
0,5
0,5
0,5

0,5

 
Bài 4:
(5 đ)
 K
 
 



 
 
 
 o 


 E
 I

 
 M N



 
 H

 Q



























1/ ∆ OMI ~ OHN (MI // NH)
-> -> OM . ON = OH . OI -> OM2 = OI . OH (OM = ON)
 ồ2 đ
1.0

1.0



2/ OME + EMN = MNQ + MQN (góc ngoài tam giác)
 góc OME = góc EMN (gt)
Mà: OME = MQN (đồng vị) => MQN = MNQ
 => Tam giác MQN cân ở M
ồ1,5
0.5

0.5

0.5 

3 / ∆ MNK ~ ∆ NIM (gg)
 = = k (1)
MK2 = MN2 + NK2 = 9 + 16 = 25 => MK = 5 (cm) thay vào (1) => k = 
 (2)
S∆ MNK = (cm2) thay vào (2) => SNIM = (cm2) 
 = 2,16 (cm2) 

ồ1,5 





0.5

0.5


0.5 




Bài 5:
(3 đ)

 * Tìm tất cả các tam giác vuông có chiều dài các cạnh là những số nguyên và số đo diện tích bằng số đo chu vi.
 Gọi độ dài 3 cạnh tam giác vuông cần tìm là a,b,c (a,b,c ẻ z; 
 a≥b≥c≥ 1)
- Từ giả thiết: bc = 2(a+b+c) (1)
- Theo Pitago: a2 = b2 + c2 (2)
Ta có (2) Û (b + c)2 – a2 = 2bc
 Û (b+c+a)(b+c-a) = 2bc
Kết hợp (1) có: b+c-a = 4
 a = b+c-4 (3)
Thay (3) vào (1) bc = 4( b+c-2)
 Û (b-4)(c-4) = 8
Vì: b-4 ≥ c – 4 ≥ -3 và b,c ẻ z nên:
Hoặc: b-4 = 8 và c – 4 = 1 hay: b =12; c = 5
Hoặc: b-4 = 4 và c - 4 = 2 hay: b = 8; c = 6 (thoả mãn)
Vậy các tam giác vuông có 3 cạnh là: (13;12;5) và (10;8;6) thoả mãn bài ra.
ồ3 đ




0.25

0.5




0.5 


0.5

0.5

0.5
0.25



Ghi chú: Điểm toàn bài làm tròn đến 0,25. Các cách giải khác đúng cho điểm tối đa.