Đề thi olympic lớp 7 năm học 2013 – 2014 môn thi: toán 120 phút

Trường THCS Mỹ Hưng ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 7
 Huyện Thanh Oai – HN Năm học 2013 – 2014 
 Môn thi: Toán
 Thời gian làm bài 120 phút
 (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 ( 5 điểm ):
Cho . Chứng minh rằng: 
 a) b) 
 2. Tổng ba phân số tối giản bằng các tử của chúng tỉ lệ nghịch với 
 20; 4; 5. Các mẫu của chúng tỉ lệ thuận với 1; 3; 7. Tìm ba phân số đó.
Câu 2 ( 3 điểm ): Tìm số nguyên x, y biết: 
Câu 3 ( 3 điểm ): Tìm số nguyên x để A có giá trị là một số nguyên biết 
 
Câu 4 ( 2 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau 
 
Câu 5 ( 7 điểm ): Cho tam giác ABC vuông cân tại A có trung tuyến AM. E là
 điểm thuộc cạnh BC. Kẻ BH, CK vuông góc với AE ( H, K thuộc AE ).
Chứng minh .
Cho biết MHK là tam giác gì? Tại sao?

















Trường THCS Mỹ Hưng HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC
 Huyện Thanh Oai – HN Năm học 2013 – 2014 
 Môn thi: Toán Lớp 7
 Câu
 Nội dung
 Điểm
 Câu 1
(6 điểm)



1. a, Từ: 
 (đpcm)
 b, Áp dụng chứng minh phần a ta có:
 
 
 (đpcm)
 
 2. Gọi ba phân số cần tìm là a, b, c. 
 Theo bài ra ta có: 
 
 
; ; 
 Vậy: Ba phân số cần tìm là ; và . 
 

 0,5 đ

 0,5 đ


 1,0 đ

 

1,0 đ


 
 0,5 đ
 

 0,5 đ



 0,5 đ


 0,5 đ
 Câu 2
(3 điểm)






 Từ: 
 ước lẻ của 40 là: 
 Lập bảng: 
1-2y
 -5
 -1
 1
 5
 x
 -8
 -40
 40
 8
 y
 3
 1
 0
 -2
 
 Vậy ta có các cặp số (x; y) là: (-8; 3); (-40; 1); (40; 0); (8; -2)

 
 1,0 đ
 0,5 đ

 

1,0 đ

0,5 đ
 Câu 3
(3 điểm)






 Ta có: 
 Ư(4) 
 Lập bảng: 

 -4
 -2
 -1
 1
 2
 4
 x
 / 
 1
 4
 16
25
49
 Vậy: 

 0,5 đ


 1,0 đ

 1,0 đ

 0,5 đ
 Câu 4
(2 điểm)

 
 
 Vì: 
 
 Mà: 
 
 Dấu bằng sảy ra 
 
 Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi 








 1,0 đ




 1,0 đ
 Câu 5
(7 điểm)


 A


 H

 E
a) Xét và có: B M C
 K
 ( cân tại A)
 ( Cùng phụ với )
 ( Cạnh huyền và góc nhọn)
 ( Hai cạnh tương ứng ) (đpcm)
b) Ta có 
 ( Trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông) 
 cân tại A vừa là trung tuyến vừa là đường cao
 và vuông cân tại M 
 
 Ta có: (Theo chứng minh phần a)
 (Hai góc tương ứng) 
 Mà: 
 Xét và có:
 (cùng phụ với )
 (Theo chứng minh trên)
 (Chứng minh trên)
 cân tại M 
 vuông cân tại M.









 0,5 đ
 0,5 đ
 1,0 đ
 1,0 đ

 0,5 đ

 0,5 đ


 0,5 đ


 0,5 đ





 1 đ



 1 đ