Ôn tập Toán 9

Đoàn Quốc Việt - 1 - 
CHỦ ĐỀ 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC. 
Bài 1: Thực hiện phép tính: 
 a/  28 2 14 7 . 7 7 8   b/   8 3 2 10 2 3 0, 4   
 c/  15 50 5 200 3 450 : 10  d/ 3 320 14 2 20 14 2   
 e/ 6 2 5 6 2 5   f/ 11 6 2 11 6 2   
 g/ 3 35 2 7 5 2 7   h/ 3 326 15 3 26 15 3   
Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau: 
 a/ 3 13 6
2 3 4 3 3
A   
 
 b/ 
x y y x x yB
xy x y
 
 

 với 0; 0;x y x y   
 c/ 4 2 3
6 2
C 

 d/  3 2 6 6 3 3D    
 e/ 4 5 3 5 48 10 7 4 3E      
 f/ 1 1 1 1...
1 2 2 3 3 4 99 100
F     
   
Bài 3: Cho biểu thức: 
2 2
21 1 1. 1
21 1
xA x
x x
 
    
  
 a/ Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa. 
 b/ Rút gọn biểu thức A . 
 c/ Giải phương trình theo x khi 2A   . 
Bài 4: Cho biểu thức: 
1 1 2:
2
a a a a aA
aa a a a
   
      
 a/ Với giá trị nào của a thì A xác định. 
 b/ Rút gọn biểu thức A . 
 c/ Với những giá trị nguyên nào của a thì A có giá trị nguyên. 
Bài 5: 
 a/ Rút gọn các biểu thức sau: 
 45 20A   
2 2m nB n
m n

 

 1 1 1:
11 1
xC
xx x
 
     
 (với 0; 1x x  ) 
Đoàn Quốc Việt - 2 - 
 b/ Chứng minh rằng: 0 1C  . 
Bài 6: Cho biểu thức: 
1 1 2:
11 1
aQ
aa a a a
   
           
 (với 0; 1a a  ) 
 a/ Rút gọn biểu thức Q . 
 b/ Tính giá trị của Q khi 3 2 2a   . 
 c/ Tìm các giá trị của Q sao cho 0Q  . 
Bài 7: Cho biểu thức: 
1 1 8 3 2: 1
9 13 1 3 1 3 1
x x xP
xx x x
    
              
 a/ Tìm điều kiện của x để P có nghĩa. 
 b/ Rút gọn biểu thức P . 
 c/ Tìm các giá trị của x để 6
5
P  . 
Bài 8: Cho biểu thức: 
2 3 3 2 2:
93 3 3
x x x xP
xx x x
  
       
 a/ Tìm điều kiện của x để P có nghĩa. 
 b/ Rút gọn biểu thức P . 
 c/ Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên. 
Bài 9: Cho biểu thức: 
1 2 2 1 2:
11 1 1
xM
xx x x x x x
   
             
 (với 0; 1x x  ) 
 a/ Rút gọn biểu thức M . 
 b/ Tìm các giá trị nguyên của x để M có giá trị nguyên. 
 c/ Tìm GTNN của M và giá trị tương ứng của x . 
Bài 10: Cho biểu thức: 
2
2 2 2:
1 2 12 1
x xM
x x xx x
  
       
 (với 0; 1x x  ) 
 a/ Rút gọn biểu thức M . 
 b/ Tìm các giá trị của x để 0M  . 
 c/ Tìm giá trị của M khi 7 4 3x   . 
 d/ Tìm GTLN của M và giá trị tương ứng của x . 
********** 
CHỦ ĐỀ 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
Bài 1: Giải phương trình và hệ phương trình sau: 
 a/ 1 11
2 4
x x 
  b/ 1 3 2
2 6x x
 
 
Đoàn Quốc Việt - 3 - 
 c/ 2 1 5
3
x x   d/  2 1 4x x   
 e/   2 1 5x x x     f/ 22 3 1 0x x   
 g/ 22 5 2 4 2 0x x   h/ 4 23 4 0x x   
 i/ 
2
5
x y
x y


 
 k/ 
3
2 6
x y
x y
 

 
 l/ 
3 2 5
15
2
x y
x y
 


 
 m/ 
1 1 1
3 4 5
x y
x y
  

  

Bài 2: Cho phương trình: 2 3 5 0x x   . Gọi 2 nghiệm của phương trình là 1x và 2x . Không giải phương 
trình, tính giá trị của các biểu thức sau: 
 a/ 2 2
1 2
1 1
x x
 b/ 
2 2
1 2x x 
 c/ 3 3
1 2
1 1
x x
 d/ 1 2x x 
Bài 3: Cho phương trình:  2 2 1 4 0x m x m     (1) 
 a/ Giải phương trình (1) khi 5m   . 
 b/ Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt 1x , 2x với mọi giá trị của m . 
 c/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 2M x x  . 
 d/ Tìm m để  1 2 1 23 5x x x x  . 
Bài 4: Cho phương trình: 2 22 1 0x mx m    (2) 
 a/ Chứng minh phương trình (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m . 
 b/ Hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm 1x và 2x của phương trình mà không phụ thuộc m . 
 c/ Tìm m thỏa mãn hệ thức 1 2
2 1
5
2
x x
x x
   . 
Bài 5: Cho phương trình:  2 2 1 2 5 0x m x m     (3) 
 a/ Chứng minh phương trình (3) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m . 
 b/ Tìm m để phương trình (3) có 2 nghiệm trái dấu. Khi đó 2 nghiệm mang dấu gì? 
 c/ Tìm GTLN của biểu thức 2 21 2 1 24A x x x x   . 
Bài 6: Cho phương trình: 2 24 1 0x x m    (4) 
 a/ Chứng minh phương trình (4) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m . 
 b/ Với 1x , 2x là nghiệm của phương trinh (4), tính giá trị biểu thức 
2 2
1 2A x x  biết 1 22 3 13x x  . 
Bài 7: Cho phương trình:  2 21 2 0x x x m m      (5) 
 a/ Chứng minh phương trình (5) luôn có 2 nghiệm phân biệt 1x , 2x với mọi giá trị của m . 
 b/ Tìm m để phương trình (5) có 2 nghiệm trái dấu. 
 c/ Tìm m để 3 31 2 0x x  . 
Đoàn Quốc Việt - 4 - 
Bài 8: Cho phương trình: 2 1 0x mx m    (6) 
 a/ Chứng minh phương trình (6) luôn có 2 nghiệm 1x , 2x với mọi giá trị của m . Tính nghiệm kép của 
phương trình (nếu có). 
 b/ Tìm m sao cho phương trình (6) có nghiệm này gấp 2 lần nghiệm kia. 
 c/ Đặt 2 21 2 1 26A x x x x   . 
  Tìm m để 8A  . 
  Tìm GTNN của A . 
Bài 9: Cho phương trình:  2 2 2 1 2 4 0x m x m     (7) 
 a/ Giải phương trình (7) khi 1m  và chứng minh tính 2 nghiệm của phương trình luôn nhỏ hơn 1. 
 b/ Có giá trị nào của m để phương trình (7) có nghiệm kép không? 
 c/ Với 1x , 2x là nghiệm của phương trình, tính giá trị của biểu thức:    1 2 2 11 1M x x x x    . 
Bài 10: Cho phương trình:  2 21 2 0x m x m m      (8) 
 a/ Chứng minh với mọi giá trị của m thì phương trình (8) luôn có 2 nghiệm trái dấu. 
 b/ Với 1x , 2x là nghiệm của phương trình, tìm GTNN của 
2 2
1 2x x . 
 c/ Tìm m sao cho phương trình (8) có nghiệm này gấp 2 lần nghiệm kia. 
********** 
CHỦ ĐỀ 3: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ 
Bài 1: 
 a/ Vẽ đồ thị   2: 2P y x  . 
 b/ Lấy 3 điểm , ,A B C trên  P , A có hoành độ là 2 , B có tung độ là 8 , C có hoành độ là 1 . Tính 
diện tích tam giác ABC . Em có nhận xét gì về cạnh AC của tam giác ABC . 
Bài 2: Cho hàm số: 2y x và 2y x  
 a/ Vẽ đồ thị các hàm số trên trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy . 
 b/ Tìm tọa độ 2 giao điểm ,A B của 2 đồ thị trên. 
 c/ Tính diện tích tam giác OAB . 
Bài 3: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng    : 1 4d y k x   ( k là tham số) và parabol 
  2:P y x 
 a/ Khi 2k   , hãy tính tọa độ giao điểm của đường thẳng  d và parabol  P . 
 b/ Chứng minh rằng với bất kì giá trị nào của k thì đường thẳng  d luôn cắt parabol  P tại 2 điểm phân 
biệt. 
 c/ Gọi 1y , 2y là tung độ các giao điểm của đường thẳng  d và parabol  P . Tìm k sao cho 
1 2 1 2y y y y  . 
Bài 4: Cho hàm số: 21
2
y x 
 a/ Nêu tập xác định, tính biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên. 
 b/ Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm  2; 6A  có hệ số góc a và tiếp xúc với đồ thị hàm số trên. 
Bài 5: Cho hàm số: 
2
4
xy  và 1y x   
Đoàn Quốc Việt - 5 - 
 a/ Vẽ đồ thị các hàm số trên trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy . 
 b / Viết phương trình các đường thẳng song song với đường thẳng 1y x   và cắt đồ thị hàm số 
2
4
xy  
tại điểm có tung độ là 4. 
Bài 6: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng    : 3 2 3 2d y m mx   ( m là tham số) và parabol 
  2:P y x 
 a/ Tìm m để hàm số  3 2 3 2y m mx   luôn luôn đồng biến. 
 b/ Biện luận theo m số giao điểm của  d và  P . 
 c/ Tìm m để  d cắt  P tại 2 điểm có hoành độ cùng dấu. 
Bài 7: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm  1;2A  và đường thẳng  1 : 2 3d y x   
 a/ Vẽ  1d . Điểm A có thuộc  1d không? Tại sao? 
 b/ Lập phương trình đường thẳng  2d đi qua điểm A và song song với đương thẳng  1d . Tính khoảng 
cách giữa hai đường thẳng  1d và  2d . 
Bài 8: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho các đường thẳng  1 : 3 1d y x  ,  2 : 2 1d y x  , 
   23 : 3 5d y m x m    ( m là tham số, 3m  ) 
 a/ Tìm tọa độ giao điểm A của  1d và  2d . 
 b/ Tìm các giá trị của m để 3 đường thẳng  1d ,  2d ,  3d đồng quy. 
 c/ Gọi B là giao điểm của đường thẳng  1d với trục hoành, C là giao điểm của đường thẳng  2d với 
trục hoành. Tính độ dài BC . 
********** 
CHỦ ĐỀ 4: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH 
HOẶC HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
Bài 1: Hai giá sách có 450 cuốn. Nếu chuyển từ giá thứ nhất sang giá thứ hai 50 cuốn thì số sách ở giá thứ hai 
bằng 4
5
số sách ở giá thứ nhất.Tìm số sách lúc đầu ở mỗi giá. 
Bài 2: Một đoàn xe vận tải nhận chuyên chở 15 tấn hàng. Khi sắp khởi hành thỡ 1 xe phải điều đi làm công 
việc khác, nên mỗi xe cũn lại phải chở nhiều hơn 0,5 tấn hàng so với dự định. Hỏi thực tế có bao nhiêu xe 
tham gia vận chuyển. (Biết khối lượng hàng mỗi xe chở như nhau) 
Bài 3: Hai vòi nước cùng chảy vào 1 cái bể không có nước trong 6 giờ thì đầy bể. Nếu để riêng vòi thứ nhất 
chảy trong 2 giờ, sau đó đóng lại và mở vòi thứ hai chảy tiếp trong 3 giờ nữa thì được 2
5
 bể. Hỏi nếu chảy 
riêng thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu? 
Bài 4: Một người đi xe máy khởi hành từ Hoài Ân đi Quy Nhơn. Sau đó 75 phút, trên cùng tuyến đường đó 
một ô tô khởi hành từ Quy Nhơn đi Hoài Ân với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe máy là 20 km/h. Hai xe gặp 
nhau tại Phù Cát. Tính vận tốc của mỗi xe, giả thiết rằng Quy Nhơn cách Hoài Ân 100 km và Quy Nhơn cách 
Phù Cát 30 km. 
Đoàn Quốc Việt - 6 - 
Bài 5: Một ô tô khách và một ô tô tải cùng xuất phát từ địa điểm A đi đến địa điểm B đường dài 180 km do 
vận tốc của ô tô khách lớn hơn ô tô tải 10 km/h nên ô tô khách đến B trước ô tô tải 36 phút. Tính vận tốc của 
mỗi ô tô. (Biết rằng trong quá trình đi từ A đến B vận tốc của mỗi ô tô không đổi) 
Bài 6: Một mô tô đi từ thành phố A đến thành phố B với vận tốc và thời gian đó dự định. Nếu mô tô tăng vận 
tốc thêm 5 km/h thì đến B sớm hơn thời gian dự định là 20 phút. Nếu mô tô giảm vận tốc 5 km/h thì đến B 
chậm hơn 24 phút so với thời gian dự định. Tính độ dài quãng đường từ thành phố A đến thành phố B. 
Bài 7: Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km; cùng lúc đó, cũng từ A về B một 
bè nứa trôi với vận tốc dòng nước là 4 km/h. Khi đến B ca nô quay lại ngay và gặp bè nứa tại địa điểm C cách 
A là 8 km. Tính vận tốc thực của ca nô. 
Bài 8: Khoảng cách giữa hai thành phố A và B là 180 km. Một ô tô đi từ A đến B, nghỉ 90 phút ở B, rồi lại từ 
B về A. Thời gian lúc đi đến lúc trở về A là 10 giờ. Biết vận tốc lúc về kém vận tốc lúc đi là 5 km/h. Tính vận 
tốc lúc đi của ô tô. 
Bài 9: Cho một thửa ruộng hình chữ nhật có diện tích 100 2m . Tính độ dài các cạnh của thửa ruộng. Biết rằng 
nếu tăng chiều rộng của thửa ruộng lên 2 m và giảm chiều dài của thửa ruộng đi 5 m thì diện tích của thửa 
ruộng tăng thêm 5 2m . 
********** 
CHỦ ĐỀ 5: HÌNH HỌC 
Bài 1: Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O), vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các 
tiếp điểm). Kẻ dây CD // AB, tia AD cắt đường tròn (O) tại E (E khác D). 
 a/ Chứng minh: Tứ giác ABOC nội tiếp. 
 b/ Chứng minh:  ACB AOC . 
 c/ Chứng minh: 2 .AB AE AD . 
 d/ Tia CE cắt AB tại I. Chứng minh: IA IB . 
Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính BC. Điểm A thuộc nửa đường tròn đó. Dựng hình vuông 
ABCD thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa đỉnh C. Gọi F là giao điểm của AE và nửa đường tròn tâm O, 
gọi K là giao điểm của CF và ED. 
 a/ Chứng minh: 4 điểm E, B, F, K nằm trên một đường tròn. 
 b/ Tam giác BKC là tam giác gì? Vì sao? 
Bài 3: Cho đường tròn (O;R), 2 điểm C, D cùng thuộc đường tròn, B là trung điểm của cung nhỏ CD. Kẻ 
đường kính BA, trên tia đối của tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt đường tròn (O) tại M; MD cắt AB tại K; MB 
cắt AC tại H. 
 a/ Chứng minh:  BMD BAC , từ đó suy ra tứ giác AMHK nội tiếp. 
 b/ Chứng minh: HK // CD. 
 c/ Chứng minh: 2.OK OS R . 
Bài 4: Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). H là trực tâm của tam giác, D là một điểm trên cung BC 
không chứa điểm A. 
 a/ Xác định vị trí của điểm D để tứ giác BHCD là hình bình hành. 
 b/ Gọi P và Q lần lượt là các điểm đối xứng của điểm D qua các đường thẳng AB và AC. Chứng minh rằng: 
3 điểm P, H, Q thẳng hàng. 
 c/ Tìm vị trí của điểm D để PQ có độ dài lớn nhất. 
Bài 5: Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R và C là một điểm thuộc đường tròn  ,C A C B  . Trên nửa 
mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C, kẻ tia Ax tiếp xúc với đường tròn (O), gọi M là điểm chính giữa của cung 
nhỏ AC. Tia BC cắt Ax tại Q, tia AM cắt BC tại N. 
 a/ Chứng minh: Các tam giác BAN và MCN cân . 
Đoàn Quốc Việt - 7 - 
 b/ Khi MB = MQ, tính BC theo R. 
Bài 6: Cho ABC cân tại A với AB > BC. Điểm D di động trên cạnh AB (D không trùng với A, B). Gọi đường 
tròn (O) là đường tròn ngoại tiếp BCD . Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C và D cắt nhau ở K. 
 a/ Chứng minh: Tứ giác ADCK nội tiếp. 
 b/ Tứ giác ABCK là hình gì? Vì sao? 
 c/ Xác định vị trí điểm D sao cho tứ giác ABCK là hình bình hành. 
Bài 7: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. C là trung điểm của đoạn AO, đường thẳng Cx vuông 
góc với AB, Cx cắt nửa đường tròn tâm O tại I. K là một điểm bất kỳ nằm trên đoạn CI  ,K C K I  . Tia Ax 
cắt nửa đường tròn đó cho tại M. Tiếp tuyến với nửa đường tròn tại M cắt Cx tại N, tia BM cắt Cx tại D. 
 a/ Chứng minh: 4 điểm A, C, M, D cùng thuộc một đường tròn. 
 b/ Chứng minh: MNK là tam giác cân. 
 c/ Tính diện tích ABD khi K là trung điểm của đoạn thẳng CI. 
 d/ Khi K di động trên đoạn CI thì tâm của đường tròn ngoại tiếp ADK di chuyển trên đường nào? 
Bài 8: Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B phân biệt thuộc đường tròn (O) sao cho đường thẳng AB không đi 
qua tâm O. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M khác A, từ M kẻ hai tiếp tuyến phân biệt ME, MF với đường 
tròn (O) (E, F là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của dây cung AB. Các điểm K và I theo thứ tự là giao 
điểm của đường thẳng EF với các đường thẳng OM và OH. 
 a/ Chứng minh: 5 điểm M, O, H, E, F cùng nằm trên một đường tròn. 
 b/ Chứng minh: . .OH OI OK OM . 
 c/ Chứng minh: IA, IB là các tiếp điểm của đường tròn (O). 
Bài 9: Cho ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn (O). Kẻ đường kính AD. Gọi M là trung điểm của AC, I là 
trung điểm của OD. 
 a/ Chứng minh: OM // DC. 
 b/ Chứng minh: ICM cân. 
 c/ BM cắt AD tại N. Chứng minh: 2 .IC IA IN . 
Bài 10: Từ điểm P cố định nằm ngoài đường tròn (O;R) kẻ hai tiếp tuyến PA, PB (A, B là hai tiếp điểm) và 
một cát tuyến PMN (M nằm giữa P và N) với đường tròn (O). Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng MN, BK cắt 
đường tròn (O;R) tại F. Chứng minh rằng: 
 a/ Tứ giác PAOB nội tiếp được một đường tròn. Xác định bán kính đường tròn đó. 
 b/ 2 .PB PM PN . 
 c/ AF // MN. 
 d/ Khi đường tròn (O) thay đổi và đi qua điểm M, N cố định thì hai điểm A, B thuộc một đường tròn. 
Bài 11: Cho ABC cân tại A, các đường cao AD, BE cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp 
AHE . 
 a/ Chứng minh: Tứ giác CEHD nội tiếp. 
 b/ Chứng minh: 4 điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn. 
 c/ Chưng minh: 1
2
ED BC . 
 d/ Chứng minh: DE là tiếp tuyến của đường tròn (O). 
 e/ Tính độ dài DE biết DH = 2 cm, AH = 6 cm. 
Bài 12: Cho ABC cân tại A, I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A, O là trung 
điểm của IK. 
 a/ Chứng minh: B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn. 
 b/ Chứng minh: AC là tiếp tuyến của đường tròn (O). 
 c/ Tính bán kính đường tròn (O) biết AB = AC = 20 cm, BC = 24 cm. 
Đoàn Quốc Việt - 8 - 
Bài 13: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH. Gọi HD là đường kính 
của đường tròn (A; AH). Tiếp tuyến của đường tròn tại D cắt CA ở E. 
 a/ Chứng minh: BEC cân. 
 b/ Gọi I là hình chiếu của A trên BE. Chứng minh: AI = AH. 
 c/ Chứng minh: BE là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH). 
 d/ Chứng minh: BE BH DE  . 
Bài 14: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P sao cho 
AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn (O) tại M. 
 a/ Chứng minh: Tứ giác APMO nội tiếp. 
 b/ Chứng minh: BM // OP. 
 c/ Đường thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BM tại N. Chứng minh: Tứ giác OBNP là hình bình 
hành. 
 d/ Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt nhau tại J. Chứng minh: I, J, K thẳng 
hàng. 
Bài 15: Cho hai đường tròn (O), (O') cắt nhau tại A, B. Các tiếp tuyến tại A của (O), (O') cắt (O'), (O) lần lượt 
tại các điểm E, F. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp EAF . 
 a/ Chứng minh: Tứ giác OAO'I là hình bình hành và OO' // BI. 
 b/ Chứng minh: 4 điểm O, B, I, O' cùng thuộc một đường tròn. 
 c/ Kéo dài AB về phía B một đoạn CB = AB. Chứng minh: Tứ giác AECF nội tiếp. 
Bài 16: Từ một điểm M ở bên ngoài đường tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn. Trên cung 
nhỏ AB lấy một điểm C. Vẽ , ,CD AB CE MA CF MB   . Gọi I là giao điểm của AC và DE, K là giao điểm 
của BC và DF. Chứng minh rằng: 
 a/ Các tứ giác AECD, BFCD nội tiếp. 
 b/ 2 .CD CE CF . 
 c/ IK // AB. 
**********