Đề thi học sinh giỏi cấp huyện lớp 9 môn Toán

Đề thi học sinh giỏi cấp huyện lớp 9
Môn toán - thời gian 15 0 phút
Năm học: 2006 - 2007
Bài 1: (4đ). Cho biểu thức:
P = 
Rút gọn biểu thức P.
Tính giá trị của P với x = 14 - 6
Tìm GTNN của P.
Bài 2( 4đ). Giải các phương trình.
a) +
b) 
Bài 3: ( 3đ). Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d) có hệ số góc k đi qua điểm M(0;1).
Chứng minh rằng với mọi giá trị của k, đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B.
Gọi hoành độ của A và B lần lượt là x1 và x2. Chứng minh rằng : |x1 -x2| ³2.
Chứng minh rằng :Tam giác OAB là tam giác vuông.
Bài 4: (3đ). Cho 2 số dương x, y thỏa mãn x + y =1
a) Tìm GTNN của biểu thức M = ( x2 + )( y2 + )
b) Chứng minh rằng :
	N = ( x + )2 + ( y +)2 ³ 
Bài 5 ( 2điểm). Cho tam giác ABC vuông ở A có AB = 6cm, AC = 8cm. Gọi I là giao điểm các đường phân giác, M là trung điểm của BC. Tính góc BIM.
Bài 6:( 2đ). Cho hình chữ nhật ABCD, điểm M BC. Các đường tròn đường kính AM, BC cắt nhau tại N ( khác B). BN cắt CD tại L. Chứng minh rằng : ML vuông góc với AC.
Bài 7 ( 2điểm). Cho hình lập phương ABCD EFGH. Gọi L và K lần lượt là trung điểm của AD và AB. Khoảng cách từ G đến LK là 10.
Tính thể tích hình lập phương.
Đáp án
Bài 1 ( 4 điểm).
Câu a: 2 điểm.
	Điều kiện để giá trị của biểu thức P xác định : x³0; xạ 9 ( 0,5 đ).
Rút gọn:
 P = 
	= 
	= 
	= = = 	( 1,5 điểm)
Câu b :1 điểm
	x = 14 - 6 = ()2 - 2.3. + 9 = ( - 3)2 ị = 3 - 
Khi đó P = = = 
Câu c: 1 điểm
	P = 
( áp dụng BĐT CôSi cho 2 số dương )
Dấu"=" xảy ra Û Û x = 4 ( thỏa mãn điều kiện)
Vậy minP = 4, đạt được khi x = 4.
Bài 2: 4 điểm ( mỗi câu 2 điểm).
a)	x2 + 4x + 3 = ( x + 1)( x+ 3)
	x2 + 8x + 15 = ( x +3)(x+5)
	x2 + 12x + 35 = ( x +5)( x + 7)
	x2 + 16x + 63 = ( x + 7)( x + 9)
ị ĐKXĐ : x ạ -1; x ạ -3; x ạ -5; x ạ -7; x ạ -9 	( 0,5đ)
pt Û 
	Û 
	Û 
	ị 5( x + 9 - x -1) = 2( x+1)( x+9)
	Û 2x2 + 20x + 18 - 40 = 0
	Û x2 + 10x - 11 = 0
	Phương trình có dạng a + b + c = 0 ị x1 = 1; x2 = -11.
	x1; x2 thỏa mãn ĐKXĐ.
	Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = 
b) ĐKXĐ: x ³ -2. ( 0,5 điểm)
Pt Û 
| + | -3| = 1
| + | 3 - | = 1
áp dụng BĐT |A|+ |B| ³| A + B| ta có : | + | 3 - | ³ 1
Dấu "=" xảy ra khi : ()( 3 - ) ³ 0
	Û 2 Ê Ê 3 	Û 2Ê x Ê 7
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = 
Bài 3: 3 điểm ( mỗi câu 1 điểm)
	Đường thẳng (d) có hệ số góc k và đi qua điểm M (0;1) nên (d0 có tung độ gốc là 1. ị Phương trình đường thẳng (d) là : y = kx+1
a) Phương trình hoành độ giao điểm của ( P) và (d) là: x2 - kx - 1 = 0 (1)
	 D = k2 + 4 > 0 với mọi k
ị Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ị đpcm.
b) Ta có : x1 + x2 = k ; x1.x2 = -1 ị x2 = -
ị | x1 - x2| = | x1 + | = |x1| +|| ( vì x1 và cùng dấu)
mà |x1| +|| ³ 2. Vậy | x1 - x2| ³2
Cách 2: ( x1 - x2)2 = k2 + 4 ³ 4 ị | x1 - x2| ³2
c) Giải sử A(x1;y1) và B(x2; y2).
	Gọi phương trình đường thẳng OA là y= k1x, ta có : y1 = k1.x1 
ị k1 = = 
	Gọi phương trình đường thẳng OB là y= k2x, ta có : y2 = k2.x2 
ị k1 = = 
Ta có : k1.k2 = x1.x2 = -1 . Vậy OA ^ OB ị DAOB vuông.
Bài 4: ( 3 điểm) ( mỗi câu 1,5 điểm)
a) Ta có : M = ( x2 + )( y2 + ) = 
Mặt khác : xy + = ( xy + + 	( 1).
áp dụng BĐT Côsi : xy + ³ 2=	(2).
	ị xyÊ 	( 3)
Từ (1), (2) và (3) ta có : xy + ³ + =
	ị (xy + )2 ³ ()2 = 
Vậy minM = , đạt được khi Û x = y = 
b) áp dụng BĐT : A2 + B2 ³ , ta có : 
	N = ( x + )2 + ( y +)2 ³ = 
Mặt khác : (x + y)2 ³ 4xy ( do ( x -y)2 ³0) 
	Û 1 ³ 4xy Û xy Ê 
N³ . Vậy N ³.
A
M
B
C'
I
C
B'
Dấu "=" xảy ra khi Û x = y = 
Bài 5: ( 2 điểm).
	Vẽ hình đúng, ghi GT, KL . ( 0,5 điểm).
	Tính góc BIM. ( 1,5 điểm)
Từ giả thiết DABC vuông tại A có:
AB = 6cm, AC = 8cm. ị BC = 
	ị MC = MB = 5cm
Gọi B' là giao điểm của BI và AC. Ta có : 
ị 
ị 	AB' = .AB = 3cm
	CB' = .CB = 5cm 	ị CB' = CM ị DIMC = DIB'C ( c.g.c)
	ị góc IMC = IB'C ị góc AB'B = góc IMB 
ị Tam giác AB'B đồng dạng với tam giác IBM ị góc BIM = góc BAB'
E
D
A
B
M
C
N
L
mà góc BAB' = 900 ị góc BIM = 900
Bài 6: ( 2 điểm).
	Gọi E là giao điểm của AC và ML
Ta có: góc NCD = gócNCB
	(cùng phụ với goc BCN)
góc NBC = góc NAM ( cùng chắn cung MN)
ị Tam giác NCL đồng dạng với 
tam giác NAM ị
Mặt khác : góc ANC = góc MNL
( cùng bằng 900 + gócMNC)
ị tam giác ANC đồng dạng với tam giác
MNL ị góc NAC = góc NML hay góc NAE = góc NME
ị Tứ giác AMEN nội tiếp ị E thuộc đường tròn đường kính AM
ị góc AEM = 900 hay ML vuông góc với AC ( đpcm).
Bài 7: ( 2điểm).
L
B
D
C
F
G
H
E
K
I
A
Vẽ hình đúng, ghi GT, KL : ( 0,5điểm).
Gọi I là chân đường vuông góc kẻ từ G
đến LK. 
Gọi độ dài cạnh hình lập phương là 2a
( a>0), ta có: Tam giác ALK vuông tại A
ị LK = = 
	 = a
Tam giác DHG vuông tại H.
ị DG2 =DH2 + HG2 = 8a2
Tam giác LDG vuông góc tại D
( Vì AD ^mp(DCGH) ị AD^DG)
ị LG2 = LD2 + DG2 =a2 + 8a2 = 9a2
Từ DLDG = DKBG (c.g.c)
( Vì có : góc LDG = góc KBG = 900,
LD = KB , DG = BG).
ị GL = GK ị DGLK cân tại G.
ị I là trung điểm của LK ị IL =LK : 2 = 
DLIG vuông tại I nên ta có: LG2 = LI2 + IG2
hay 9a2 = 2a2:4 + 100 Û a2 = 200: 17 ị a = 
Vậy độ dài cạnh hình lập phương là 
ị Thể tích hình lập phương là ( đơn vị diện tích).
*-------&--------*