Ðề thi tuyển sinh cao học năm 2011 ngành: Toán học môn thi: Giải Tích

f  x, y   

x y 

 
x 
n 
n 
k k 


BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO 
TRƯỜNG ðẠI HỌC QUY NHƠN 
ðỀ CHÍNH THỨC 
ðỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC NĂM 2011 
NGÀNH: TỐN HỌC 
Mơn thi: GIẢI TÍCH 
Thời gian làm bài: 180 phút, khơng kể thời gian phát đề. 
Câu 1. Chứng minh rằng hàm số f : 2  xác định bởi 
 x2  y 2  sin 

1 
x2  y 2 
khi  x, y   0, 0
0 khi  x, y   0, 0

liên tục, cĩ các đạo hàm riêng f ' , f ' gián đoạn nhưng f khả vi tại 0, 0 . 
Câu 2. a) Cho dãy số an  và hàm số f : 0,1  xác định bởi f 0  0 và f  x   an nếu 
x  
 1 
, 
1 

với mọi n  1. Chứng minh rằng nếu a  bị chặn thì f khả tích trên 0,1; và
 n  1 n  n
 
nếu an  n với mọi n thì f khơng khả tích trên 0,1; . 
1 
b) Xét tính khả tích Lebesgue của f và tính  L   fd  (nếu cĩ) với 
0 
8x2011 

, x   0;1
f  x    x2 
 x ln x 
, x   \ 
, x   \ 
  0;1 / 2
  1 / 2;1
Câu 3. a) Xét khơng gian định chuẩn c các dãy số hội tụ với chuẩn cho bởi x  supn xn với mọi 
x  xn   c . Chứng minh rằng tập hợp c0 
khơng đâu trù mật trong c. 
các dãy số hội tụ về 0 là khơng gian con đĩng và 
b) Cho X là khơng gian mê-tric đầy đủ và  fn : X  là các dãy hàm liên tục sao cho với n
mọi x  X tồn tại lim fn  x  . Chứng minh rằng tồn tại tập V  X n mở, khác rỗng và tồn tại 
M  0 sao cho fn  x   M với mọi x V và mọi n  . 
Câu 4. Cho X là khơng gian Banach trên trường số . Xét dãy x* n n0 
 X * và khơng gian vectơ 
l1  X   x  xn   X : n0 xn  
1) Chứng minh rằng l1  X  là khơng gian Banach với chuẩn x 0  

n0 n 
. 
2) a) Giả sử dãy x*  bị chặn. Với mỗi n  0 đặt A, An : l1  X   cho bởi 
Ax  x*  x ;
A x  x*  x 

x  x 

 l  X 

 k k n  k k k k 0 1 
k 0 0k n 
Chứng minh rằng A, An xác định các ánh xạ tuyến tính liên tục. Tính các chuẩn A , An . 
Chứng minh rằng  An  bị chặn và hội tụ theo điểm về A. 
b) Giả sử ánh xạ A cho trong câu a) hồn tồn xác định. Chứng minh rằng dãy x*  bị chặn. 
3) Cho dãy an   . Sử dụng câu 2) chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương: 
a) 
n 
a x 
k 1 
 l với mỗi x
 l ;
 
b) an   l . 
 n 1 
n0 
---------- HẾT ---------- 
Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.