Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh giải toán trên máy tính cầm tay khối 11 THPT - Năm học 2009 - 2010

Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o	Kú thi chän häc sinh giái tØnh
	Thõa Thiªn HuÕ	Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh CÇM TAY 
	§Ò thi chÝnh thøc	Khèi 11 THPT - N¨m häc 2009-2010
Thời gian làm bài: 150 phút 
Ngày thi: 20/12/2009 - Đề thi gồm 5 trang
§iÓm toµn bµi thi
C¸c gi¸m kh¶o
(Hä, tªn vµ ch÷ ký)
Sè ph¸ch
(Do Chñ tÞch Héi ®ång thi ghi)
B»ng sè
B»ng ch÷
GK1
GK2
Qui định: Học sinh trình bày vắn tắt cách giải, công thức áp dụng, kết quả tính toán vào ô trống liền kề bài toán. Các kết quả tính gần đúng, nếu không có chỉ định cụ thể, được ngầm định chính xác tới 4 chữ số phần thập phân sau dấu phẩy 
Bài 1. (5 điểm) Tính giá trị của hàm số tại :
Tóm tắt cách giải:
Kết quả:
Bài 2. (5 điểm) 
Tìm tọa độ giao điểm của của đồ thị hai hàm số và .
Tóm tắt cách giải:
Kết quả:
Bài 3. (5 điểm) 
Cho biết: và .
Tính: 	 
Tóm tắt cách giải:
Kết quả:
Bài 4. (5 điểm) Cho dãy hai số xác định như sau:
, là số nguyên dương cho trước.
Chứng tỏ rằng chỉ có một giá trị bé hơn 30 để cho các giá trị của dãy số đều nguyên. Khi đó tính chính xác các giá trị 
Với giá trị tìm được ở câu a), lập công thức truy hồi tính theo và . Chứng minh.
Tóm tắt cách giải:
Kết quả:
Bài 5. (5 điểm) Tìm các chữ số hàng đơn vị, hàng chục và hàng trăm của số tự nhiên: 
Tóm tắt cách giải:
Kết quả:
Bài 6. (5 điểm) 
Bác An gửi tiết kiệm số tiền ban đầu là 20 triệu đồng theo kỳ hạn 3 tháng với lãi suất 0,72%/tháng. Sau một năm, bác An rút cả vốn lẫn lãi và gửi lại theo kỳ hạn 6 tháng với lãi suất 0,78%/tháng. Gửi đúng một số kỳ hạn 6 tháng và thêm một số tháng nữa thì bác An phải rút tiền trước kỳ hạn để sửa chữa nhà được số tiền là 29451583,0849007 đồng (chưa làm tròn). Hỏi bác An gửi bao nhiêu kỳ hạn 6 tháng, bao nhiêu tháng chưa tới kỳ hạn và lãi suất không kỳ hạn mỗi tháng là bao nhiêu tại thời điểm rút tiền ? Biết rằng gửi tiết kiệm có kỳ hạn thì cuối kỳ hạn mới tính lãi và gộp vào vốn để tính kỳ hạn sau, còn nếu rút tiền trước kỳ hạn, thì lãi suất tính từng tháng và gộp vào vốn để tính tháng sau. Nêu sơ lược quy trình bấm phím trên máy tính để giải.
Tóm tắt cách giải:
Kết quả:
Bài 7. (5 điểm) Cho đa thức 
Tính gần đúng 
Tìm hệ số chính xác của số hạng chứa trong khai triển và rút gọn đa thức P(x). 
Tóm tắt cách giải:
Kết quả:
Bài 8. (5 điểm) 
	Trong ngày thi giải toán trên máy tính cầm tay (20/12/2009), bạn Bình đố bạn Châu tìm số nguyên x nhỏ nhất sao cho khi bình phương lên thì được một số nguyên có 4 chữ số đầu là 2012 và 4 chữ số cuối là 2009. Em hãy giúp bạn Bình tìm số x này và viết chính xác số . Nêu sơ lược cách giải.
Tóm tắt cách giải:
Kết quả:
Bài 9. (5 điểm) 
Cho tứ diện ABCD có AB = 12 dm; AB vuông góc với mặt (BCD); BC = 7 dm; CD = 9 dm và góc CBD = 520. 
Tính gần đúng thể tích và diện tích toàn phần của tứ diện ABCD.
Tính gần đúng bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và số đo (độ, phút, giây) của góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (BCD). Cho biết: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là mặt cầu có tâm cách đều 4 đỉnh của tứ diện đó một đoạn bằng bán kính.
Tóm tắt cách giải:
Kết quả:
Bài 10. (5 điểm) Một chậu nước hình bán cầu bằng nhôm có bán kính , đặt trong một khung hình hộp chữ nhật (hình 1). Trong chậu có chứa sẵn một khối nước hình chỏm cầu có chiều cao . Người ta bỏ vào chậu một viên bi hình cầu bằng kim loại thì mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi (hình 2). Tính bán kính của viên bi (kết quả làm tròn đến 2 chữ số lẻ thập phân)
Cho biết công thức tính thể tích khối chỏm cầu của hình cầu (O, R), có chiều cao là: 
	Hình 1	Hình 2
Tóm tắt cách giải:
Kết quả:
--------------HẾT-------------
Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o	Kú thi chän häc sinh giái tØnh
	Thõa Thiªn HuÕ	Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh CÇM TAY 
	§Ò thi chÝnh thøc	Khèi 11 THPT - N¨m häc 2009-2010
	Đáp án và biểu điểm 
Bµi
C¸ch gi¶i
§iÓm TP
§iÓm toµn bµi
1
5
2
Phương trình cho hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số: và là:
 .
Dùng chức năng SOLVE ta tìm được hai nghiệm (khi lấy giá trị đầu là 0 và 1):
 và .
Dùng chức năng CALC để tính các giá trị tung độ giao điểm:
 và .
Vậy: Hai đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại hai điểm 
3
, nên lưu vào biến nhớ A
Giải phương trình: , ta được:
 . Theo điều kiện bài toán cho thì (trong quá trình tìm nghiệm, ta lưu kết quả đó vào biến nhớ B)
Tính tử số và lưu vào biến X, tính mẫu và lưu vào biến Y. Tính 
4
a) .
Để thì (k < 30).
Thử với : chỉ có là số nguyên, còn 
 Với : Ta có: 
Công thức truy hồi của un+2 có dạng: . Ta có hệ phương trình:
Do đó: 
Chứng minh sơ lược:
Ta có: (1)
Thay n bởi n +1: (2).
Trừ (1) cho (2) ta có: 
Dãy số đơn điệu tăng, nên: 
Hay: 
5
Ta có: 
Do đó chu kỳ lặp lại là 10, nên
Vậy: có ba chứ số cuối là: 752
6
Số tiền nhận được cả vốn lẫn lãi sau 4 kỳ hạn 3 tháng và sau 1; 2; 3 ; 4; 5; 6; 7 kỳ hạn 6 tháng lần lượt là:
. Dùng phím CALC lần lượt nhập giá tri của A là 1; 2; 3; 4; 5; 6 ta được: 22804326,3 đồng; 232871568,78 đồng; 24988758,19 đồng; 26158232,06 đồng; 27382437,34 đồng ; 28663935,38 đồng; 30005407,56 đồng
Ta có: 28663935,38 < 29451583,0849007< 30005407,56,
Nên số kỳ hạn gửi sáu tháng đủ là: 6 kỳ hạn.
Giải phương trình sau, bằng dùng chức năng SOLVE và nhập cho A lần lượt là 1 ; 2; 3 ; 4; 5, nhập giá trị đầu cho X là 0,6 (vì lãi suất không kỳ hạn bao giờ cũng thấp hơn có kỳ hạn)
X = 0,68% khi A = 4.
Vậy số kỳ hạn 6 tháng bác An gửi tiết kiệm là: 6 kỳ hạn ; số tháng gửi không kỳ hạn là: 4 tháng và lãi suất tháng gửi không kỳ hạn là 0,68%
7
a) 
b) Hệ số của số hạng chứa là:
8
Các số có 4 chữ số khi bình phương lên có 4 chữ số cuối là 2009 là:
 2003, 7003, 3253, 8253, 1747, 6747, 2997, 7997.
 Số cần tìm là: x = 14186747 
9
a) Xét tam giác BCD, ta có:
Giải phương trình bậc hai theo BD, ta có hai nghiệm: 
 (loại) và .
Do đó: .
Thể tích của tứ diện ABCD: 
Xét tam giác ACD: dm
Nửa chu vi của tam giác ACD: 
Vậy diện tích toàn phần của tứ diện ABCD là: 
b) Tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD cách đều B, C, D nên I ở trên trục Ox của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD (Ox (BCD) tại tâm O của đường tròn (BCD), nên Ox//AB). Trong mặt phẳng (SA, Ox), trung trực đoạn AB cắt Ox tại I. I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và bán kính của mặt cầu là: (là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD): 
.
Ta có: 0,5038687188 ( là góc giữa 2 mặt phẳng (ACD) và (BCD))
10
Gọi là bán kính viên bi hình cầu. Điều kiện: 
Thể tích khối nước hình chỏm cầu khi chưa thả viên bi vào: 
Khi thả viên bi vào thì khối chỏm cầu gồm khối nước và viên bi có thể tích là:
Ta có phương trình: .
Giải phương trình ta có các nghiệm: (loại); và (loại).
Vậy: Bán kính viên bi là 
: