Đề kiểm tra Học Kỳ II năm học 2018-2019 môn Toán Khối 11 Chương trình nâng cao - Trường Phổ Thông Năng Khiếu Đại Học Quốc Gia TPHCM (Có đáp án)

 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2018 – 2019 
TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU MÔN THI : TOÁN 
 -------------------------------------- KHỐI 11 – CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO 
 Ngày thi : Thứ Hai 02/5/2019 
 Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian giao đề 
 ---------------------------------------------- 
 Bài 1. (1,5đ) Tính các giới hạn sau: 
 2
 2 3 x x 7 4( x 3)
 a) lim 9x 12 x 3 x . b) lim2 .
 x x 3 (x 3)
 Bài 2. (1đ) Tính đạo hàm của các hàm số sau: 
 a) y (1 2 x ) 1 x 2 x2 . b) y cos22 (1 2 x ). 
 Bài 3. (1đ) Chứng minh phương trình (m2 2m 3)( x 3 3 x 4) 3 m 2 x 0 có ít nhất một nghiệm 
 với mọi số thực m. 
 22 xx 
 ,khi 2 x 0
 Bài 4. (1đ) Tìm m để hàm số y f() x x liên tục trên [ 2;2]. 
 m 2 x , khi 0 x 2
 21x 
 Bài 5. (1,5đ) Cho hàm số y f() x (C). 
 1 x
 a) Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số (C) và đường thẳng yx 21. 
 b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 
 xy 3 1 0 . 
 Bài 6. (4đ) Hình chóp S.ABCD có O là tâm của hình thoi ABCD, AB = a, , SA ⊥
 ( ), SA a 3 . Dựng OK ⊥ SC ( K thuộc SC). 
 a) Chứng minh BD  (SAC) . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC. 
 b) Tính góc tạo bởi đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD). 
 c) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD). 
 d) Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (KBC) và (OBC). 
 HẾT 
 Đáp án và cho điểm 
Bài 1 Tìm giới hạn 
 2 12x 
 lim 9x 12 x 3 x lim 
 x x 2
a) 9x 12 x 3 x 
 12 
 lim 
 x 12 
 93 2 
 x 
 2 
 3 x x2 7 4( x 3) x2 7 4
 lim 2 lim
b) x 3 (xx 3) x 3 ( 3)
 x 3
 lim 
 x 3 x2 7 4
 3 (m2 2m 3)( x 3 3 x 4) 3 m 2 x 0
 4
Bài 2 
 Tính đạo hàm hàm số 
 y (1 2 x ) 1 x 2 x2 . 
 '
 22
 y'(12)'1 x x 2 x (12)1 x x 2 x 
 14 x 
 2 1 x 2 x2 (1 2 x ) 
 2
 2 1 xx 2 
 4(1 x 2 x2 ) (1 2 x )(1 4 x ) 16x2 10 x 3
 2 1 x 2 x22 2 1 x 2 x
 b) y cos22 (1 2 x ) 
 y' 2cos(1 2x2). cos(1 2x2) ' 
 2cos(1 2x2 ).sin(1 2 x2 ). (1 2 x2 )' 
 = 8x cos(1 2 x22 ).sin(1 2 x ). 
 4xx .sin(2 42 ).
Bài 3 Chứng minh rằng phương trình (1) có ít nhất 
 một nghiệm với mọi số thực m. 
 2 3 3 2
 Đặt f( x ) (m 2 m 3)( x 3 x 4) m x . Hàm số fx() xác định và liên tục trên R 
 Hàm số liên tục trên [-1;1] 
 fm(1) 2 0 
 3 2 2  
 f(1)(8)( m 2 m 3) m 0 
 f( 1). f (1) 0,  m
 x11 [ 1;1] sao cho f ( x ) 0.
 Vậy pt (1) có ít nhất 1 nghiệm với mọi m. 
Bài 4 
 (1đ) Tìm m để hàm số 
 liên tục trên . 
 2 xx 2 2 1
 limfx ( ) lim lim 
 x 0 x 0 x x 0 2 xx 2 2
 lim(m 2 x ) m 
 22 xx 
 x 0 ,khi 2 x 0 
 y f() x x [ 2;2]
 fm(0) m 2 x , khi 0 x 2
 21x 
 Hàm số liên tục trên y f() x khi và chỉ khi 
 1 x 
 limf ( x ) lim( f ( x ) f (0)
 xx 00 
 yx 21 
 1
 m 
 2
Bài 5 
 Cho hàm số có đồ thị (C). 
 a)Viết pt tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số (C) và đường thẳng . 
 3 
 y' f '( x ) 2 . 
 (1 x ) 
 1 
 21x x 
 Pthđ giao điểm : 2xx 1; ( 1) 2 
 1 x 
 x 0
 1 1 4 
 x y 0; f '( ) 
 2 2 3 
 x 0 y 1; f '(0) 3
 1 42 
 Tại M1 ;0 , pttt: y x 
 2 33 
 Tại M2(0;1), pttt: y 3 x 1 
 b)Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C ) biết tiếp tuyến song song với đường 
 thẳng . 
 Gọi M(xo;yo) là tọa độ tiếp điểm. tt song song với (d): 
 31 
 2 
 (1 x0 ) 3
 xy 21 0 
 xy 43 0 
 11 
 pttt tại M(-2;-1); yx ( loại) 
 33
 1 13 
 pttt tại M(4;-3); yx 
 33
Bài 6 
 (4đ) Hình chóp S.ABCD có O là tâm của hình thoi ABCD, AB = a, , SA ⊥
 ( ), . Dựng OK ⊥ SC ( K thuộc SC). 
 a) Chứng minh . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC. 
 b) Tính góc tạo bởi đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD). 
 c) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD). 
 xy 3 d) 1 Tính 0 góc tạo bởi hai mặt phẳng (KBC) và (OBC). 
 S
 SA a 3
 H K
 DBD  (SAC)
 C
 O
 A
 B
 I 
 a) Học sinh chứng minh 
 * Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC là OK. 
* Tam giác SAC có SA AC a 3 . Gọi M là trung điểm SC 
 1 1a 6
Suy ra OK AM SC 
 2 4 4
 b)Tính góc tạo bởi đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD). 
Xác định SH là hình chiếu vuông góc của SA lên (SBD), suy ra góc 
[SA ;( SBD )] ASH ASO 
 1 0
tanASO ASO 26 34' 
 2
c)Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD). 
d[C;(SBD)] d[A;(SBD)] 
AH (SBD) d[A;(SBD)] AH 
 1 1 1a 15
 AH 
AH2 SA 2 AO 2 5
d)Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (KBC) và (OBC). 
Xác định đúng [(KBC );( OBC )] [( SBC );( ABC )] SIA 
 a2 3 
AI. BC AC . BO 2 S ABC 
 4 
 a 3
 AI 
 2
 SA
tan SIA 2 
 AI
 0
 [(KBC);(OBC)] [(SBC);(ABC)] SIA 63 26'