Toán học - Ứng dụng định lý larange chứng minh một dang bất đẳng thức hàm

Ứng Dụng Định Lý Larange Chứng Minh Một Dang BĐT Hàm
I. Định lý Larange: Cho hàm số liên tục trên và có đạo hàm trên khi đó sao cho: 
II. Bài toán: Cho hàm số xác định và có đạo hàm cấp hai trên CMR:
 a. Nếu ( chỉ bằng 0 tại các điểm rời rạc trên ) thì:
	 b. Nếu ( chỉ bằng 0 tại các điểm rời rạc trên ) thì:
Chứng minh: 
Không mất tính tổng quát giả sử 
Xét hàm số liên tục trên chứa . Theo định lý Larange ta có:
 sao cho: (1)
 sao cho: (2)
Trừ (1) cho (2) suy ra: (3)
+) Nếu đồng biến trên kết 	hợp với (3) suy ra: 
+) Nếu nghịch biến trên kết 	hợp với (3) suy ra: 
III. Mở rộng
 +) Dùng phương pháp qui nạp ta có thể chứng minh BĐT trên với n số:
	a. 	 	b.	
IV. Ứng dụng:
 1. trên Ta có: 
	Vậy: 
2. trên Ta có: 
	Vậy: 
3. trên Ta có: 
	Vậy: 
4. trên Ta có: 
	Vậy: 
5. Ta có: 
	Vậy: 
	Tổng quát: 
	Do hàm đồng biến nên suy ra: (BĐT Cauchy)
6. Ta có: 
 +) Nếu hoặc 
	Vậy
	Tổng quát: 
+) Nếu 
	Vậy
	Tổng quát: