Đề thi chọn đội tuyển tham dự kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2003 - 2004

đề thi chọn đội tuyển tham dự kỳ thi
HSG cấp tỉnh năm học 2003-2004
Bài I : Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n + 26 và n-11 đều là lập phương của số nguyên dương.
Bài II: Tính tích xyz biết :
Bài III:	
Bài IV:Cho tam giác ABC ( có 3 góc nhọn) AM là trung tuyến thuộc cạnh BC, trên đoạn thẳng AM lấy điểm K . Hạ KH ^ BC .Trên KH lấy điểm N , hạ NP ^ AB ; NQ ^ AC (P; Q lần lượt nằm trên AB và AC ). Chứng minh rằng : 3 điểm P ; K ; Q thẳng hàng khi và chỉ khi điểm N là gia điểm của đường phân giác góc BAC và KH.
Hướng dẫn chấm đề thi chọn đội tuyển toán lớp 9
Bài I : Giả sử : n+26= a3 ; n-11 = b3 (a và b là những số nguyên dương).
	Lấy (1) trừ cho (2) ta có : a3 - b3 = 37
	Hay (a-b)(a2 + ab + b2) =37
Chú ý a-b 0 suy ra a – b > 0
Do đó : a-b = 1 và a2 + ab + b2 =37 
Thay a= b + 1 vào biểu thức thứ 2 ta có :
(b+1)2 + (b+1)b + b2 = 37 rút gọn PT được b2 + b –12 =0
Giải ra ta được : b = 3; b=- 4 ( loại)
B= 3 tìm được n =38.
Bài II:
Bài III:
Bài IV:
Học sinh ghi GT, kết luận và vẽ hình:
Ta chứng minh P ; K; Q thẳng hàng thì AN là phân giác góc A.
Học sinh chứng minh được tam giác NEJ cân tại N => góc NEJ = góc NJE
Vì tứ giác NPEK nội tiếp => góc NPK = góc NEK 
Tương tự tứ giác NKQJ nội tiếp => góc NQK = góc = NJK 
kết luận được : góc NPK = góc NQK ( vì cùng bằng góc NJK)
Kết luận được tam giác NPQ cân tại N => NP=NQ
Vì NP và NQ vuông góc với AB và AC => N nằm trên tia phân giác góc BAC
Ngược lại ta chứng minh N vừa thuộc tia phân giác góc A và KH thì P ; K ; Q thẳng hàng:
Qua K kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB và AC lần lượt tại E và J.
Chứng minh được K là trung điểm EJ
Chứng minh được tam giác NEJ cân tại N => EN = NJ.
Chứng minh được tứ giác APNQ nội tiếp => góc NQP = góc NAP và góc NPQ= góc NAQ.
góc NPQ = góc NQP (theo giả thiết AN là phân giác góc BAC)
Kết luận được tam giác NPQ cân tại N => NP=NQ 
xét 2 tam giác vuông PNE và tam giác QNJ có NP=NQ và NE=NJ =>D PNE = D QNJ
góc QJN = góc PEN.
Chứng minh được tứ giác NKEP nội tiếp => góc PEN = góc PKN
Kết luận được góc PKN = góc QJN ( cùng bằng góc PEN).
Kết luận được tứ giác NKQJ nội tiếp => góc PKN + góc NKQ = 1800 
P ; K; Q thẳng hàng.