Một số bài tập chọn lọc và nâng cao - Trường THPT Đốc Binh Kiểu
Bạn đang xem trước 20 trang mẫu tài liệu Một số bài tập chọn lọc và nâng cao - Trường THPT Đốc Binh Kiểu, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
TÀI LIỆU Bài 1: Cho phương trình: cos3x + asinx.cosx + sin3x = 0. a/ Giải phương trình khi a = . b/ Với giá trị nào của a thì phương trình có nghiệm. Hướng dẫn. Phương trình: cos3x + asinx.cosx + sin3x = 0. + Đặt t = sinx + cosx = cos3x + sin3x = (cosx + sinx)(sin2x + cos2x – sinxcosx) = (cosx + sinx)(1 – sinxcosx) vì t2 = 1 + 2sinxcosx nên sinxcosx = và cos3x + sin3x = . + Phương trình (1) trở thành: + a. = 0 Û t3 – at2 – 3t + a = 0 (2). Câu a / + Với a = : (2) trở thành: t3 – t2 – 3t + = 0 Û (t +)(t2 - 2t + 1) = 0 Û (t +)(t - + 1)(t -- 1) = 0 Û t = - hay t =- 1 hay t =+ 1. + So lại điều kiện: | t | £ nên phương trình (1) tương đương với: . Câu b / + Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi f(t) = t3 – at2 – 3t + a = 0 có nghiệm t Î[-; ] + f(t) liên tục trên R f(-) = - a ; f() = -- a; f(0) = a. a = 0: f(t) có nghiệm t = 0 Î [-; ] a < 0: f(-).f(0) = a(- a) < 0 Þ f(t) = 0 có nghiệm t Î(-;0). a > 0: f(0).f() = a(-- a) < 0 Þ f(t) = 0 có nghiệm t Î(0;). + Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi a. Bài 2: Giả sử phương trình x3 + x2 + ax + b = 0 có 3 nghiệm phân biệt. Hãy xét dấu của biểu thức: a2 – 3b. Hướng dẫn. Xét hàm số: y = f(x) = x3 + x2 + ax + b + Tập xác định: R. y’ = 3x2 + 2x + a là tam thức bậc hai có biệt số D’ = 1 – 3a. + Pt: x3 + x2 + ax + b = 0 có 3 nghiệm phân biệt nên y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và f(x1).f(x2)< 0. + Suy ra: (x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 3x2 + 2x + a = 0). + Thực hiện phép chia đa thức ta được: f(x) = x3 + x2 + ax + b = . Suy ra f(x1) = ; f(x2) = + f(x1).f(x2) < 0 Þ (6a-2)2x1x2 + (6a-2)(9b-a)(x1 + x2) + (9b-a)2 < 0. + Vì x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình: 3x2 + 2x + a = 0 nên x1 + x2 = ; x1.x2 = . Do đó: suy ra: 4(3a – 1)(a2 – 3b) + (9b – a)2 < 0 + Vì (9b – a)2 ³ 0 và 3a – 1 0. Bài 3: Tìm cực trị của hàm số: y = sin2x + cotg2 + 4cos2 - 4sinx – 4cotg ( 0 < x < p). Hướng dẫn. Hàm số: y = sin2x + cotg2 + 4cos2 - 4sinx – 4cotg + Đặt z = sinx + cotg; z2 = sin2x + cotg2 + 4cos2. Do đ ó: y = z2 – 4z. + y’x = y’z . z’x = (2z – 4)() = 2(sinx + cotg - 2). + Do: 0 < x < p Þ cosx < 1 Þ < 0 Nên: y’ cùng dấu với: - sinx - cotg + 2 + Đặt t = tg suy ra: - sinx - cotg + 2 = . + Tam thức 2t2 – t + 1 luôn dương với mọi t vì có biệt số âm; 0 0. Do đó: y’ cùng dấu với t – 1. + y’ = 0 Û t – 1 = 0 Û tg = 1 Û x = ( vì 0< x < p). x 0 p tg-1 - 0 + y’ - 0 + y -4 Vậy: hàm số có điểm cực tiểu (; -4). Bài 4: Cho phương trình: a/ Giải phương trình khi a = 64. b/ Tìm a để phương trình có nghiệm. Hướng dẫn. Câu a: +Đặt u = v = +Ta có hệ +Hàm số f(u) = u5 – (u – 1)4 có f’(u) = 5u4 – 4(u – 1)3 > 0 "uÎ [1; + ¥), nên f(u) tăng trên [1; + ¥). +a = 64, f(u) = 31 = f(2) và f(u) tăng nên hệ (I) chỉ có một nghiệm: (u = 2,v = 1) từ đó ta có nghiệm của phương trình là: x = 17 . Câu b: + f(u) tăng trên [1; + ¥) mà f(1) = 1 nên phương trình có nghiệm khi a – 33 ³ 1 hay a ³ 34. Bài 5: Cho cấp số nhân có u1 = x, công bội q = x, (x≠1) Tính f(x)=Sn. Chứng minh: với Hướng dẫn. Câu a: + Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân có u1=x và q=x với x≠1 là: + Vậy . Câu b: + Đạo hàm của là: + Chọn x=2, ta có: + Vậy với (đpcm). Bài 6: Cho hàm số f(x)=(1+x)n, với Tính f’(x). Chứng minh rằng: Hướng dẫn. Câu a: + Khai triển nhị thức newton (1+x)n, ta được: + Tính đạo hàm của hàm số f(x). Câu b: + Theo câu a, ta có: (1) + Do (1) đúng với mọi x, nên ta chọn x=1, khi đó ta có: (đpcm). Bài 7: Cho các số thực a, b, c thoả điều kiện: 5a+2b+3c=0. Chứng minh rằng phương trình ax2+bx+c= 0 có nghiệm. Hướng dẫn. + Trường hợp 1: Xét a=0, khi đó từ giả thuyết ta suyra 3b+2c=0 Nếu b= 0 thì c=0 khi đó phương trình có nghiệm với mọi x. Nếu b≠0 thì pt đã cho có nghiệm . + Trường hợp 2: a≠0. Từ giả thuyết suyra: . Khi đó ta có: Suyra pt bậc hai ax2+bx+c=0 có nghiệm. + Vậy pt ax2+bx+c=0 có nghiệm. (đpcm). Bài 8: Cho a, b, c là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Hướng dẫn. + Ta có: + Amin khi và chỉ khi dấu đẳng thức xảy ra. a = b = c Vậy khi a=b=c Bài 9: Cho là các số thực. Chứng minh rằng: Hướng dẫn. + Vì nên . Áp dụng BĐT Cauchy, ta có: suyra + Tương tự, ta củng có: + Khi đó: (đpcm). Bài 10: Cho x, y, z là các số dương và thoả điều kiện x+y+z=1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Hướng dẫn. + Áp dụng BĐT Cauchy cho 4 số dương ta có: + Tương tự, ta có: + Vậy + Amin khi và chỉ khi dấu đẳng thức xảy ra. x = y = z Mà x+y+z=1 Nên + Vậy minA=4 khi Bài 11: Các số thực không âm a, b, c thoả điều kiện a+b+c=1. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Hướng dẫn. + Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki, ta có: +Pmax khi và chỉ dấu đẳng thức xảy ra: + Vậy khi Chú ý sai lầm thường gặp sau: + a, b, c là ba số thực không âm (theo gthuyết) nên theo BĐT Cauchy, ta có: + Pmax khi và chỉ dấu đẳng thức xảy ra: + Vậy maxP = 4 khi Bài 12: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: Hướng dẫn. + Đặt + Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki, ta có: (đpcm). Bài 13: Cho các số thực a, b, c thay đổi và thoả mãn điều kiện 0<a, b, c<2. Chứng minh rằng: Hướng dẫn. + Sử dụng phương pháp chứng minh bằng phản chứng. + Giả sử + Mặt khác áp dụng BĐT Cauchy, ta có: (Mâu thuẩn giả thuyết). Bài 14: Cho 4 số thực a, b, c, d khác 1 thoả a2+b2+c2+d2=1. Tìm giá trị lớn nhất của Hướng dẫn. + Ta có: 2(1−a)(1−b) = (2−2a)(1−b) = 2−2b−2a+2ab = = a2+b2+c2+d2+2ab−2a−2b+1 = (a+b−1)2 +c2+d2 ≥ c2+d2 ≥ 2cd (1) + Tương tự: 2(1−c)(1−d) = (2−2c)(1−d) = 2−2d−2c+2cd = = a2+b2+c2+d2+2cd−2c−2d+1 = (c+d−1)2 +a2+b2 ≥ a2+b2 ≥ 2ab (2) + Từ (1) và (2) có: + Pmin khi và chỉ khi dấu đẳng thức xảy ra Vậy maxP = 1 khi Bài 15: Cho a+b=2. Hãy chứng minh 1/ a2+b2 ≥ 2 2/ a4+b4 ≥ 2 Hướng dẫn. Câu 1/: + Đặt + Lúc đó: a2+b2 = (1+x)2 + (1+y)2 = = 1+2x+x2+1+2y+y2 = 2+2(x+y)+x2+y2 = 2+x2+y2 ≥ 2 + Vậy a2+b2 ≥ 2 Câu 2/: + Ta có: a4+b4 = (1+x)4 + (1+y)4 = = (1+4x+6x2+4x3+x4) + (1+4y+6y2+4y3+y4) = 2 + 4(x+y) + 6(x2+y2) + 4(x3+y3) + x4 + y4 = 2+ 6(x2+y2) + x4+y4 ≥ 2 + Vì x3+y3 = (x+y)(x2-xy+y2)=0 Bài 16: Cho a+b+c≠0, chứng minh Hướng dẫn. + Chứng minh a3+b3+c3 = 3abc + (a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca) + Ta có: a3+b3 = (a+b)3−3ab(a+b) => a3+b3+c3 − 3abc = (a+b)3 +c3 −3ab(a+b+c) = = (a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca) => a3+b3+c3 = 3abc + (a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca) + Khi đó ta có: + Vậy Bài 17: Cho ba số x, y, z dương. Chứng minh: Hướng dẫn. Cách 1: + Áp dụng BĐT Cauchy ta có: + Vậy Cách 2: làm tương tự bài 12 Bài 18: Giải hệ bất phương trình sau: Hướng dẫn. + Đặt suyra: + Ta có: (thoả mãn hệ) + Vậy nghiệm của hệ là: Bài 19: Cho 0 ≤ a, b, c, d ≤1. Chứng minh rằng: Hướng dẫn. + Ta có: + Suyra: + Vậy (đpcm). Bài 20: Cho a, b, c là ba số không âm thoả a+b+c=3. Tìm giá trị lớn nhất của Hướng dẫn. + Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki, ta có: + Fmax khi và chỉ khi dấu đẳng thức xảy ra. a = b = c = 1 + Vậy khi a = b = c =1 Bài 21: Giải bất phương trình: Hướng dẫn. + BPT xác định khi: + Áp dụng BĐT Bunhiacốpski, ta có: + Vậy đúng với mọi + Tập nghiệm BPT là Bài 22: Cho 1/ Tìm giá trị lớn nhất của 2/ Tìm giá trị nhỏ nhất của Hướng dẫn. Câu 1/: + Áp dụng BĐT cauchy, ta có: + Tương tự, ta củng có: + Do đó + Vậy khi a = b = c = 1 Câu 2/: + Ta có + Vậy khi a = b = c = 1 Bài 23: Cho Tìm giá trị lớn nhất của Hướng dẫn. Cách 1: + Ta có: + Vậy khi Cách 2: + Xét hàm số với t>0 + Theo BĐT JenSen, ta có: + Vậy khi Bài 24: Cho các số thực x, y, z dương thoả hệ thức . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Hướng dẫn. Cách biến đổi 1: + Chứng minh phụ BĐT: với a,b>0 + Xét hàng đẳng thức: + Khi đó ta có: (1) (2) (3) + Cộng (1),(2),(3) ta được: + Vậy khi Cách biến đổi 2: + Áp dụng BĐT Cauchy, ta có: (1) (2) + Nhân (1) và (2) lại ta được: + Làm tương tự, ta củng có: (Bạn đọc tự giải quyết tiếp.) Bài 25: Cho ba số thực a, b, c thuộc . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức Hướng dẫn. + Hiển nhiên ta có P ≥ 0. Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 0 (bạn đọc thử chứng minh) + Vậy minP=0 khi a=b=c=0 + Mặt khác, ta có: Suyra: + Vậy maxP=3 khi a=b=c=1 Bài 26: Cho a,b,c là các số thực thoả mãn −1 ≤a,b,c≤ 2 và a+b+c=0. Chứng minh rằng a2+b2+c2≤6 Hướng dẫn. + Theo giả thuyết ta có: a+1≥0 và a−2≤0 => (a+1)(a-2)≤0 => a2≤a+2 + Làm tương tự ta củng được: b2≤b+2 c2≤c+2 + Vậy a2+b2+c2 ≤ (a+b+c)+6 = 6 Bài 27: Cho các số thực dương a, b, c thoả điều kiện a+b+c=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Hướng dẫn. + Theo giả thuyết ta có: (1) (2) (3) + Nhân (1), (2) và (3) ta được: + Vậy minP=64 khi Bài 28: Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và luôn thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Hướng dẫn. + Từ giả thuyết ta có: + Từ đó suyra: + Vậy minP=4 khi x=y=z Bài 29: Cho a, b, c, x là các số thực thoả mãn điều kiện . Chứng minh rằng Hướng dẫn. + Từ giả thuyết ta có: => + Áp dụng BĐT Bunhiacốpski, ta có: => + Vậy Bài 30: Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn ab+bc+ca=abc. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Hướng dẫn. + Áp dụng BĐT Bunhiacốpski, ta có: => + Làm tương tự ta được: + Vậy khi a=b=c=3 Bài 31: Cho a≠b và x, y là các số thực thoả điều kiện Chứng minh rằng a+b=2ab Hướng dẫn. + Theo giả thuyết ta có: cosx ≠0 và cosy ≠0. Khi đó củng từ giả thuyết ta có: => + Khai triển hằng đẳng thức rồi thu gọn ta được đpcm. Bài 32: Cho a,b,c là các số thực thoả mản điều kiện a+b+c=3. Chứng minh rằng: a4+b4+c4 ≥ a3+b3+c3 Hướng dẫn. + Ta có: a4+b4+c4 ≥ a3+b3+c3 => a4+b4+c4 −a3−b3−c3−(a+b+c)+3 ≥ 0 => a(a3−1)+b(b3−1)+c(c3−1) − (a3−1) − (b3−1) − (c3−1) ≥ 0 => (a−1)(a3-1) + (b−1)(b3-1) + (c−1)(c3-1) ≥ 0 => (a−1)2(a2+a+1) + (b−1)2(b2+b+1) + (c−1)2(c2+c+1) ≥ 0 (đúng) + Vậy a4+b4+c4 ≥ a3+b3+c3 (đpcm). Bài 33: Cho a,b,c là các số dương chứng minh rằng: Hướng dẫn. + Xét BĐT (a+b)(a−b)2 ≥ 0 => a(a−b)2 + b(a−b)2 ≥ 0 => a3+b3−a2b−ab2 ≥ 0 => a3+b3 ≥ ab(a+b) => a3+b3+abc ≥ ab(a+b+c) + suyra: + Tương tự, ta củng có: + Vậy Bài 34: Cho a,b,c là các số dương thoả abc=1. Chứng minh rằng: Hướng dẫn. + Áp dụng BĐT với x,y,z > 0 (Đả được chứng minh ở bài 33) + Với a,b,c>0 và abc=1 Đặt + Ta có: abc = x3y3z3 => (xyz)3 = 1 => xyz=1 + Vậy (đpcm). Bài 35: Tính giá trị của biểu thức . Với là biểu thức có nghĩa và thoả điều kiện Hướng dẫn. + Ta có: => + Tương tự, ta củng có: + Vậy S = −3 Bài 36: Giả sử hệ phương trình có nghiệm. Chứng minh rằng: Hướng dẫn. + Từ giả thuyết ta suy ra hệ phương trình: + Ta có: + Theo giả thuyết thì có hai khả năng xảy ra: D=Dx=Dy=0. Khi đó ta có: => D≠Dx≠Dy≠0. Khi đó hệ pt có nghiệm duy nhất là: Nghiệm này phải thoả phương trình: + Khi đó ta có: + Thu gọn lại ta được điều phải chứng minh. Bài 37: Cho các số thực a, b, c thoả mãn điệu kiện: . Chứng minh rằng: . Hướng dẫn. + Theo giả thyết ta có: + Hoàn toàn tương tự ta có: + Từ (1) và (2) suyra: Bài 38: Chứng minh rằng: , Hướng dẫn. + Ta có: + Cho k nhận các giá trị từ 2 đến n ta có: (đpcm). Bài 39: Cho (Sn) là cấp số nhân. Chứng mihn rằng: Hướng dẫn. + Gọi q là công bội của cấp số nhân (Sn). + Nếu q=1 thì đẳng thức hiển nhiên đúng. + Nếu q≠1, ta có: => => + Từ đó suy ra: (1) + Tương tự ta có: (2) + Từ (1) và (2) suyra: (đpcm). Bài 40: Tính giới hạn của hàm số: Hướng dẫn. + Trước hết ta chứng minh: sinx ≤ x, với x≥0 + Ta có: + Do nên Bài 41: Tính giới hạn: Hướng dẫn. Cách 1: Biến đổi về dạng: với u(x0) = 0 Ta có: Cách 2: Sử dụng định nghĩa đạo hàm. ( không sử dụng được trong trường hợp này). + Đặt + Ta có: (Đạo hàm một bên không tồn tại.) Bài 42: Tính các giới hạn sau: 1/ 2/ Hướng dẫn. Câu 1/ + Hiển nhiên ta có: + Từ đó suyra: + Mặt khác ta có: + Áp dụng định lí kẹp về giới hạn của dãy số ta có: Câu 2/ Cách 1: Biến đổi về dạng: với u(x0) = 0 + Ta có: + Trong đó: + Vậy Cách 2: Sử dụng định nghĩa đạo hàm. + Đặt: + Khi đó ta có: + Vậy + Lưu ý: ta có dạo hàm. Bạn đọc thử chứng minh lại để kiểm tra tính dúng của công thức trên. Bài 43: Tính đạo hàm cấp n của hàm số: Hướng dẫn. + Điều kiện x≠1, ta có: + Từ đó suyra: + Theo nguyên lí quy nạp toán học ta có: Bài 44: Tính tổng Hướng dẫn. + Với , => + Xét + Ta có: + Trong đó: Bài 45: Cho số thực x thoả điều kiện . Lập dãy số (un) như sau: . Tìm lim(un) Hướng dẫn. Từ giả thuyết ta có: (do ) Bài 46: Tính giới hạn sau: Hướng dẫn. + Ta có: + Suyra: Bài 47: Dãy số (un) được xác định như sau: . Tính lim(un) Hướng dẫn. + Do là đại lượng cho trước, nên kể từ số n đủ lớn trở đi ta luôn có , => + Khi đó ta có: + Suyra: => Bài 48: Cho x, y, z là các số thực thoả điều kiện 0≤x, y, z≤1 và . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: Hướng dẫn. + Áp dụng BĐT Bunhiacốpski, ta có: Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi + Mặt khác do: 0≤x, y, z≤1 => => Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi => trong ba số x, y, z có một số bằng 1 một số bằng và một số bằng 0. + Từ kết quả trên ta nhận được (trên khoảng này hàm côsin nghịch biến). + Từ đó suyra: Bài 49: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số với điều kiện a2>0, , Hướng dẫn. + Nhận xét rằng: Khi x≠0, thì Khi thì + Tiếp theo ta xét các giá trị và + Giả sử y là một giá trị của biểu thức, và . Khi đó ta có pt tương ứng: phải có nghiệm. + Hay phương trình: (1a). + Do (1a) là phương trình bậc hai nên pt (1a) có nghiệm khi và chỉ khi: Hay phải có nghiệm + Vì g(y) có nên theo định lí đảo của tam thức bậc hai thì: Và với + Suyra: Bài 50: Cho x, y là các số thực sao cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = x2+y2 Hướng dẫn. + Đặt , . Khi đó: + Nếu y=0 thì + Nếu y≠0, suyra: với + Ta chỉ cần xác định giá trị , sao cho pt: có nghiệm. + Nghĩa là phương trình: + Thế thì , ta có: Hay + Giải BPT, ta được: Suyra: + Vậy đạt được khi và chỉ khi: với Bài 51: Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức: Hướng dẫn. + Ta viết A dưới dạng: + Nếu y=0 thì A=1 + Nếu y≠0 thì với + Cần xác định A để phương trình: có nghiệm. Hay có nghiệm. + Từ đó ta được: + Vậy khi + Vậy khi Với A1 và A2 là hai nghiệm của pt và A1 ≤ A2 Bài 52: Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức Hướng dẫn. + Từ giả thuyết ta suyra: + Từ đó ta có: + Mặc khác, từ giả thuyết ta có: nên: , Với + Vậy cần tìm min và max của tam thức bậc hai: , + Ta có: được khi và chỉ khi: Hay là: (Bạn đọc tự tìm tiếp minM) Bài 53: Giả sử x0 là nghiệm của phương trình bậc hai ax2+bx+c=0. Đặt . Chứng minh rằng: Hướng dẫn. + Nếu thì hiển nhiên đúng. + Nếu Ta có: Do đó: Suyra: + Vậy (đpcm). Bài 54: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Hướng dẫn. + Vì Nên + Từ đó suyra: + Ta lại có: + Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta có: + Mmin khi và chỉ khi dấu đẳng thức xảy ra: , + Vậy minM=3 khi , Bài 55: Cho tam giác ABC nhọn. Chứng minh rằng: a/ b/ Hướng dẫn. Câu a/ + Do tam giác ABC không là tam giác vuông nên: + Do tam giác ABC nhọn + Áp dụng BĐT Cauchy ta có: + Dấu đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi: Câub/ + Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương, ta có: + Mà: + Suyra: + Dấu đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi: Tam giác ABC đều Mở rộng: Cho tam giác ABC nhọn. Chứng minh rằng: , Bài 56: Cho tam giác ABC nhọn. Chứng minh rằng: a/ b/ Hướng dẫn. Câu a/ Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số dương, ta có: Mà: Do đó: Dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi: hay tam giác ABC đều. Câu b/ Mời bạn đọc tự tìm lời giải. Mở rộng: Cho tam giác ABC nhọn. Chứng minh rằng: , Bài 57: Cho tam giác ABC nhọn. Chứng minh rằng: Hướng dẫn. Áp dụng BĐT Cauchy cho 6 số dương, ta có: Dấu đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi: Bài 58: Cho hai số thực x≠0, y≠0 thay đổi và thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Hướng dẫn. Từ giả thuyết ta có: Đặt x=yt, cũng từ gthyết suyra Do đó: ; Từ đó ta tính được Xét hàm có suyra Lại có Bảng biến thiên của f(t): t −∞ −1 1 +∞ f/(t) − 0 + 0 − f(t) 4 1 1 0 Từ bảng biến thiên của hàm số, ta có maxA=16 Bài 59: Cho tam giác ABC nhọn, chứng minh rằng: Hướng dẫn. Do nên ta có: (1) Xét (2) (do , nên ) Từ (1) và (2) suyra: (đpcm). Bài 60: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của trên miền Hướng dẫn. Đưa P về dạng: Do x+y=1, nên với ta có: Đặt t=xy, vì nên Xét hàm số với , ta có: Lập bảng xét dấu f/(t) ta được: t 0 f/(t) − f(t) 1 Kết luận: ; Chú ý: maxP đạt được khi: t=0 . Do đó minP đạt được khi: Bài 61: Tìm giá trị nhỏ nhất của trên miền Hướng dẫn. Theo BĐT Cauchy, ta có: Do đó: Đặt t=x+y+z, suyra: Xét hàm số với . Ta có: Lập bảng xét dấu f/(t) ta được: t −3 0 3 f/(t) 0 − 0 f(t) Từ đó ta có: . Suyra: Kết luận: khi Sai lầm mắt phải trong khi giải: Ta viết Áp dụng BĐT Cauchy ta có: Vậy MinP=6 khi x=y=z=1 (không thoả mãn giả thyết đề cho) Bài 62: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: a/ trên miền b/ trên miền Hướng dẫn. Câu a/ Đặt x2=t, thì 0≤t≤1. Ta có: Vậy , Ở đây:, với 0≤t≤1 Ta có: Ta có bảng xét dấu: t 0 1 2 f/(t) − 0 + 0 f(t) 4 1 Vậy: , Câu b/ Ta có: nên suyra bảng biến thiên sau: x −1 1 2 f/(x) − 0 + f(x) 0 Từ đó ta có: Bài 63: Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn Hướng dẫn. Đưa pt đã cho về dạng: Đặt sin2x=t vì nên . Bài toán trở thành tìm m để hệ có nghiệm. Điều đó xảy ra khi: (1) Ta có: . Ta có bảng xét dấu f/(t). t 0 1 f/(t) − 0 + f(t) 0 1 Do dó: Thay vào (1) ta được: Bài 64: Tìm m để phương trình sau có nghiệm. Hướng dẫn. Điều kiện để phương trình có nghĩa là: −1≤x≤1 Đặt . Bây giờ ta tìm miền xác định của biến mới t. Dễ thấy: thì suyra: Lại có: Vậy: , chính là miền xác định của biến mới t. Cũng từ biến đổi trên, ta có: . Vì thế với biến mới t, phương trình đã cho có dạng: Do đó bài toán đã cho trở thành: Tìm m để hệ sau có nghiệm: Điều đó có nghĩa là: (2) Ta có: , nên ta có bảng biến thiên sau: t −4 0 f/(t) 0 + 0 − f(t) Vậy: Thay vào (2) ta có: Đó chính là giá trị m cần tìm. Bài 65: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với hệ sau: (I) Xét chiều biến thiên của f(x) trên miền . Ta có : Vậy ta có bảng biến thiên sau: x 1 3 4 +∞ f/(x) 0 − 0 + f(x) +∞ 3 Từ đó ta có: , còn Vậy hệ (I) có nghiệm khi m≥3 Bài 66: Tìm m để phương trình có nghiệm trên đoạn Hướng dẫn. Rõ ràng với mọi m, thì 1+cosx≠0 ( vì 1+cosx=0 thì vế trái bằng 2 là điều vô lí). Vì thế viết lại phương trình đã cho dưới dạng: Đặt: . Khi thì . Khi đó ta có: Bài toán trở thành: Tìm m để hệ sau đây có nghiệm: Điều đó xảy ra khi và chỉ khi: Ta có: Vì thế ta có bảng biến thiên sau: t −1 1 f/(t) − − 0 + 0 − 0 + f(t) Từ đó suyra: Khi đó: Đó chính là các giá trị cần tìm của tham số m. Bài 67:
File đính kèm:
BAI TAP.doc
