Toán học - Định lí rollevà một số áp dụng

ffi„I HÅC THI NGUY–N
TRìÍNG ffi„I HÅC KHOA HÅC
NGUY™N THÀ DìèNG KI—U
ffiÀNH Lị ROLLE
V€ MậT Sẩ P DệNG
LUŁN V‹N TH„C Sž TON HÅC
THI NGUY–N - 2010
Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 
ffi„I HÅC THI NGUY–N
TRìÍNG ffi„I HÅC KHOA HÅC
NGUY™N THÀ DìèNG KI—U
ffiÀNH Lị ROLLE
V€ MậT Sẩ P DệNG
Chuyản ng nh: PHìèNG PHP TON Sè C‡P
M‚ Sẩ: 60.46.40
LUŁN V‹N TH„C Sž TON HÅC
Ngữới hữợng dăn khoa hồc:
GS.TSKH. NGUY™N V‹N MŁU
THI NGUY–N - 2010
Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 
iMửc lửc
Mð Ưu 1
1 ffiành lỵ Rolle v  mởt số mð rởng 4
1.1 ffiành lỵ Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 ffiành lỵ Lagrange v  ffiành lỵ Cauchy . . . . . . . . . . . 7
1.3 ffiành lỵ Rolle trản khoÊng vổ hÔn . . . . . . . . . . . . . 10
2 KhÊo sĂt tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa h m số 11
2.1 H m ỗng bián, nghàch bián . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 H m lỗi, lóm khÊ vi bêc hai . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.1 Tẵnh chĐt cừa h m lỗi, h m lóm . . . . . . . . . . 13
2.2.2 ffiở gƯn ãu v  sưp thự tỹ cĂc tam giĂc . . . . . . 18
3 Mởt số ựng dửng ành lỵ Rolle trong Ôi số 23
3.1 Chựng minh sỹ tỗn tÔi v  biằn luên số nghiằm cừa phữỡng
trẳnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 GiÊi phữỡng trẳnh v  bĐt phữỡng trẳnh . . . . . . . . . . 35
3.3 Sỹ phƠn bố nghiằm cừa a thực v  Ôo h m . . . . . . . 42
3.4 Mởt b i toĂn liản quan án khai triºn Taylor-Gontcharov. 48
3.5 Chựng minh bĐt ¯ng thực. . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4 B i têp bờ sung 61
Kát luên 65
Danh mửc cĂc cổng trẳnh liản quan án luên vôn 67
T i liằu tham khÊo 68
Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 
1Mð Ưu
ffiành lỵ Rolle v  mởt số mð rởng cừa ành lỵ Rolle (ffiành lỵ Lagrange,
ffiành lỵ Cauchy, ffiành lỵ Rolle trản mởt khoÊng khổng bà ch°n) l  cĂc
ành lỵ quan trồng vã giĂ trà trung bẳnh trong chữỡng trẳnh giÊi tẵch cờ
iºn. Ùng dửng cừa cĂc ành lỵ n y trong chữỡng trẳnh toĂn Trung hồc
phờ thổng rĐt a dÔng v  phong phú, °c biằt l  cĂc dÔng toĂn vã giÊi
phữỡng trẳnh, biằn luên số nghiằm cừa phữỡng trẳnh trản mởt khoÊng,
chựng minh bĐt ¯ng thực, x²t cỹc trà cừa h m số... Tuy nhiản, trong
cĂc t i liằu sĂch giĂo khoa d nh cho hồc sinh phờ thổng thẳ cĂc ựng dửng
n y cừa ành lỵ Rolle chữa ữủc trẳnh b y mởt cĂch hằ thống v  Ưy ừ.
Vợi suy nghắ v  theo ỵ tữðng õ, mửc tiảu chẵnh cừa bÊn luên vôn
n y l  nhơm cung cĐp thảm cho cĂc em hồc sinh, °c biằt l  cĂc em hồc
sinh khĂ, giọi, cõ nông khiáu v  yảu thẵch mổn toĂn mởt t i liằu, ngo i
nhỳng kián thực cỡ bÊn cỏn cõ thảm mởt hằ thống cĂc b i têp nƠng cao,
qua õ s³ thĐy ró hỡn cĂc dÔng toĂn ựng dửng rĐt phong phú cừa ffiành
lỵ Rolle, ffiành lỵ Lagrange v  mởt số ành lỵ mð rởng khĂc. ffi°c biằt,
luên vôn cụng ành hữợng cĂch giÊi v  cĂch vên dửng cĂc ành lỵ Â biát
º tẳm tỏi nhỳng lới giÊi hay, ởc Ăo °c thũ cho tứng dÔng toĂn cử
thº, tứ õ hẳnh th nh ỵ thực sĂng tÔo nhỳng b i toĂn mợi. Ngo i ra, Ơy
cụng l  nhỳng kát quÊ m  bÊn thƠn tĂc giÊ s³ tiáp tửc ho n thiằn trong
quĂ trẳnh nghiản cựu v  giÊng dÔy toĂn tiáp theo ð trữớng phờ thổng.
Luên vôn ngo i mửc lửc, lới nõi Ưu, kát luên v  t i liằu tham khÊo
gỗm bốn chữỡng.
Chữỡng 1. ffiành lỵ Rolle v  mởt số mð rởng.
Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 
2Nởi dung chữỡng n y nhơm trẳnh b y mởt cĂch cỡ bÊn nhĐt cĂc ành
lỵ vã giĂ trà trung bẳnh cũng mởt số hằ quÊ quan trồng. ffiƠy l  phƯn lỵ
thuyát cỡ sð º vên dửng cho cĂc b i toĂn ựng dửng ð nhỳng chữỡng
sau.
Chữỡng 2. KhÊo sĂt tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa h m số.
Chữỡng n y trẳnh b y mởt số ựng dửng trỹc tiáp cừa ành lỵ Rolle v 
ành lỵ Lagrange trong viằc khÊo sĂt hai tẵnh chĐt rĐt cỡ bÊn v  quan
trồng cừa h m số trong chữỡng trẳnh toĂn THPT, õ l  tẵnh ỗng bián,
nghàch bián v  tẵnh chĐt lỗi, lóm cừa h m số khÊ vi bêc hai.
Chữỡng 3. Mởt số ựng dửng ành lỵ Rolle trong Ôi số.
ffiƠy l  nởi dung trồng tƠm cừa luên vôn. Chúng tổi nảu ựng dửng
cừa ffiành lỵ Rolle v  cĂc ành lỵ mð rởng trong cĂc b i toĂn giÊi phữỡng
trẳnh, biằn luên số nghiằm cừa phữỡng trẳnh, chựng minh bĐt ¯ng thực,
sỹ phƠn bố nghiằm cừa a thực v  Ôo h m. CĂc b i têp minh hồa ữủc
lỹa chồn tứ ã thi cừa cĂc kẳ thi hồc sinh giọi Quốc gia, cĂc kẳ thi
Olympic khu vỹc v  Quốc tá, mởt số b i têp do tĂc giÊ tỹ sĂng tĂc. ffiối
vợi mội dÔng b i têp ãu nảu phữỡng phĂp giÊi cử thº, cõ ữa ra nhỳng
b i toĂn vợi lới giÊi ởc Ăo Ưy tẵnh sĂng tÔo v  bĐt ngớ.
Chữỡng 4. B i têp bờ sung.
Chữỡng n y giợi thiằu mởt số b i toĂn tiảu biºu  ữủc sưp xáp v 
lỹa chồn kò lữùng. Mội b i ãu cõ hữợng dăn cĂch giÊi nhơm vên dửng
nhỳng kián thực thu ữủc tứ ba chữỡng trữợc º nƠng cao kò nông lêp
luên v  kò nông tẵnh toĂn cử thº.
Luên vôn ữủc ho n th nh dữợi sỹ hữợng dăn khoa hồc cừa Nh  giĂo
nhƠn dƠn, GS-TSKH Nguyạn Vôn Mêu, tĂc giÊ xin ữủc tọ lỏng biát ỡn
chƠn th nh v  sƠu sưc tợi GS - Ngữới ThƯy rĐt nghiảm khưc v  tên tƠm
trong cổng viằc, Â truyãn thử nhiãu kián thực quỵ bĂu cụng nhữ kinh
nghiằm nghiản cựu khoa hồc cho tĂc giÊ trong suốt quĂ trẳnh hồc têp v 
nghiản cựu ã t i.
TĂc giÊ xin ữủc b y tọ lỏng biát ỡn chƠn th nh án Ban giĂm hiằu,
Phỏng  o tÔo sau ffiÔi hồc, Khoa ToĂn-Tin cừa trữớng ffiÔi hồc Khoa
Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 
3hồc - ffiÔi hồc ThĂi Nguyản, cũng quỵ thƯy cổ giĂo  tham gia giÊng
dÔy v  hữợng dăn khoa hồc cho lợp Cao hồc ToĂn K2.
TĂc giÊ xin chƠn th nh cÊm ỡn UBND T¿nh, Sð GiĂo dửc v  ffi o
tÔo T¿nh Cao Bơng, Ban giĂm hiằu v  têp thº cĂn bở giĂo viản Trữớng
THPT DƠn tởc Nởi trú T¿nh Cao Bơng  tÔo iãu kiằn cho tĂc giÊ cõ
cỡ hởi ữủc hồc têp v  nghiản cựu.
TĂc giÊ cụng xin ữủc cÊm ỡn sỹ quan tƠm, giúp ù nhiằt tẳnh cừa
cĂc bÔn hồc viản Cao hồc ToĂn K1, K2, K3 trữớng ffiHKH - ffiHTN ối
vợi tĂc giÊ trong suốt quĂ trẳnh hồc têp v  nghiản cựu khoa hồc.
ffiº ho n th nh luên vôn n y, tĂc giÊ Â têp trung hồc têp v  nghiản
cựu khoa hồc mởt cĂch nghiảm túc trong suốt khõa hồc, cụng nhữ rĐt
cân thên trong khƠu chá bÊn LaTex. Tuy nhiản do cỏn hÔn chá vã thới
gian, khÊ nông v  ho n cÊnh gia ẳnh nản trong quĂ trẳnh thỹc hiằn
khổng trĂnh khọi nhỳng thiáu sõt, tĂc giÊ rĐt mong nhên ữủc sỹ ch¿
bÊo cừa quỵ thƯy cổ v  nhỳng gõp ỵ cừa bÔn ồc º luên vôn ữủc ho n
thiằn hỡn.
ThĂi Nguyản, thĂng 09 nôm 2010.
Ngữới thỹc hiằn
Nguyạn Thà Dữỡng Kiãu
Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 
4Chữỡng 1
ffiành lỵ Rolle v  mởt số mð rởng
Trong chữỡng n y chúng tổi giợi thiằu nởi dung ffiành lỵ Rolle v  mởt
số mð rởng cừa ành lỵ Rolle (xem [3]-[4]-[8]-[10]-[11]). Mởt số hằ quÊ
quan trồng cụng ữủc trẳnh b y ð Ơy º thuên lủi cho viằc vên dửng
giÊi cĂc b i toĂn ữủc trẳnh b y trong hai chữỡng tiáp theo.
1.1 ffiành lỵ Rolle
Cỡ sð cừa ành lỵ Rolle dỹa v o hai ành lỵ cỡ bÊn nhĐt cừa Weier-
strass ối vợi h m liản tửc kh¯ng ành rơng khi f liản tửc trản oÔn
[a, b] thẳ nõ phÊi Ôt giĂ trà lợn nhĐt v  giĂ trà nhọ nhĐt trản oÔn õ
v  ành lỵ Fermat vã iºm cỹc trà cừa h m khÊ vi kh¯ng ành rơng náu
h m khÊ vi g(x) trong (a, b) Ôt cỹc trà (cỹc Ôi ho°c cỹc tiºu) tÔi mởt
iºm trong khoÊng õ thẳ Ôo h m tÔi iºm õ bơng 0.
ffiành lỵ 1.1 (ffiành lỵ Rolle). GiÊ sỷ f l  h m liản tửc trản oÔn [a; b]
v  cõ Ôo h m tÔi mồi x ∈ (a; b). Náu f(a) = f(b) thẳ tỗn tÔi ẵt nhĐt
mởt iºm c ∈ (a; b) sao cho f ′(c) = 0.
Chựng minh. Vẳ f liản tửc trản oÔn [a; b] nản theo ành lỵ Weierstrass
h m f phÊi Ôt giĂ trà cỹc Ôi v  giĂ trà cỹc tiºu trản oÔn [a; b], tực l 
Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 
5tỗn tÔi cĂc iºm x1, x2 ∈ (a; b) sao cho
f(x1) = min
[a;b]
f(x) = m, f(x2) = max
[a;b]
f(x) = M.
Cõ hai khÊ nông:
a) m = M. Khi Đy f(x) = const trản oÔn [a; b], do õ f ′(x) = 0 vợi
mồi x ∈ (a; b) v  c l  iºm bĐt kẳ trản khoÊng õ.
b) m < M . Khi õ vẳ iãu kiằn f(a) = f(b) nản ẵt nhĐt mởt trong
hai iºm x1, x2 s³ khổng trũng vợi cĂc Ưu mút cừa oÔn [a; b]. GiÊ sỷ
x1 ∈ (a; b), theo ành lỵ Fermat thẳ Ôo h m bơng 0 tÔi iºm n y.
ffiành lỵ Â ữủc chựng minh xong.
Nhên x²t 1.1.
1) ffiành lỵ Rolle nõi chung s³ khổng cỏn úng náu trong khoÊng
(a; b) cõ iºm c m  tÔi õ f ′(c) khổng tỗn tÔi. Ch¯ng hÔn, x²t h m
f(x) = 2− 3
√
x2, x ∈ [−1; 1]. Dạ thĐy f(x) thọa mÂn cĂc iãu kiằn: f(x)
liản tửc trản (−1; 1) v  f(−1) = f(1). Ta x²t Ôo h m f ′(x) = − 2
3 3
√
x
,
ró r ng tÔi x0 = 0 ∈ (−1; 1) Ôo h m khổng tỗn tÔi, nản h m số khổng
thoÊ mÂn ừ cĂc iãu kiằn cừa ành lỵ Rolle.
2) ffiiãu kiằn liản tửc trản oÔn [a; b] ối vợi h m f(x) cụng khổng
thº thay bði iãu kiằn f(x) liản tửc trong khoÊng (a; b). Ch¯ng hÔn, x²t
h m
f(x) =
1, náu x = 0,x, náu 0 < x ≤ 1.
é Ơy x = 0 l  iºm giĂn oÔn. Khi õ, ró r ng khổng tỗn tÔi x0 ∈ (0, 1)
º f ′(x0) = 0.
3) ị nghắa hẳnh hồc: Náu cĂc iãu kiằn cừa ành lỵ Rolle ữủc thoÊ
mÂn thẳ trản ỗ thà cừa h m số y = f(x),∀x ∈ [a; b] tỗn tÔi iºm
M(c; f(c)), c ∈ (a; b) m  tiáp tuyán tÔi õ song song vợi trửc ho nh Ox.
Hằ quÊ 1.1. Náu h m số f(x) cõ Ôo h m trản khoÊng (a; b) v  phữỡng
trẳnh f(x) = 0 cõ n nghiằm phƠn biằt thuởc khoÊng (a; b) thẳ phữỡng
Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 
6trẳnh f ′(x) = 0 cõ ẵt nhĐt n − 1 nghiằm phƠn biằt thuởc khoÊng (a; b).
(Phữỡng trẳnh f (k)(x) = 0 cõ ẵt nhĐt n − k nghiằm phƠn biằt thuởc
khoÊng (a; b), vợi k = 1, 2, . . . , n).
Chựng minh. GiÊ sỷ phữỡng trẳnh f(x) = 0 cõ n nghiằm phƠn biằt
thuởc khoÊng (a; b) Â ữủc sưp thự tỹ x1 < x2 < ã ã ã < xn. Khi õ
Ăp dửng àng lỵ Rolle cho n − 1 oÔn [x1;x2], [x2;x3], . . . , [xn−1;xn] thẳ
phữỡng trẳnh f ′(x) = 0 cõ ẵt nhĐt n − 1 nghiằm thuởc n − 1 khoÊng
(x1;x2), (x2;x3), . . . , (xn−1;xn). Gồi n − 1 nghiằm õ l  ξ1, ξ2, . . . , ξn−1
thẳ ta cõ
f ′(ξ1) = f ′(ξ2) = ã ã ã = f ′(ξn−1) = 0.
Tiáp tửc Ăp dửng ành lỵ Rolle cho n−2 khoÊng (ξ1; ξ2), . . . , (ξn−2; ξn−1)
thẳ phữỡng trẳnh f ′′(x) = 0 cõ ẵt nhĐt n− 2 nghiằm trản khoÊng (a; b).
Tiáp tửc lỵ luên trản, sau k bữợc phữỡng trẳnh f (k)(x) = 0 cõ ẵt nhĐt
n− k nghiằm phƠn biằt trản khoÊng (a; b).
Hằ quÊ 1.2. GiÊ sỷ h m số f(x) liản tửc trản oÔn [a; b] v  cõ Ôo h m
trản khoÊng (a; b). Khi õ, náu phữỡng trẳnh f ′(x) = 0 cõ khổng quĂ
n− 1 nghiằm phƠn biằt trản khoÊng (a; b) thẳ phữỡng trẳnh f(x) = 0 cõ
khổng quĂ n nghiằm phƠn biằt trản khoÊng õ.
Chựng minh. GiÊ sỷ phữỡng trẳnh f(x) = 0 cõ nhiãu hỡn n nghiằm
phƠn biằt trản khoÊng (a; b), ch¯ng hÔn l  n+ 1 nghiằm, thá thẳ theo hằ
quÊ 1.1 phữỡng trẳnh f ′(x) = 0 cõ ẵt nhĐt n nghiằm thuởc khoÊng (a; b).
ffiiãu n y trĂi vợi giÊ thiát. Vêy phữỡng trẳnh f(x) = 0 cõ khổng quĂ n
nghiằm trản khoÊng (a; b).
Tiáp theo, ta x²t mởt mð rởng cừa ành lỵ Rolle.
Hằ quÊ 1.3. Cho h m số f(x) thoÊ mÂn ỗng thới cĂc tẵnh chĐt sau
Ơy:
i) f(x) xĂc ành v  cõ Ôo h m cĐp n (n ≥ 1) liản tửc trản oÔn
[a; b].
ii) f(x) cõ Ôo h m cĐp n+ 1 trong khoÊng (a; b).
Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 
7iii) f(a) = f ′(a) = ã ã ã = f (n)(a) = 0, f(b) = 0.
Khi õ tỗn tÔi dÂy iºm b1, b2, . . . , bn+1 phƠn biằt thuởc khoÊng (a; b)sao
cho
f (k)(bk) = 0, k = 1, 2, . . . , n+ 1.
Chựng minh. Tứ giÊ thiát f(a) = f(b) = 0, theo ành lỵ Rolle tỗn
tÔi b1 ∈ (a; b) sao cho f ′(b1) = 0, kát hủp vợi iãu kiằn f ′(a) = 0, suy
ra tỗn tÔi b2 ∈ (a; b1) ⊂ (a; b) sao cho f ′′(b2) = 0. LÔi kát hủp vợi iãu
kiằn f ′′(a) = 0 v  tiáp tửc Ăp dửng ành lỵ Rolle ta cõ f ′′′(b3) = 0 vợi
b3 ∈ (a; b2) ⊂ (a; b).
Tiáp tửc nhữ vêy, án bữợc thự n, tỗn tÔi bn ∈ (a; bn−1) ⊂ (a; b)
sao cho f (n)(bn) = 0, kát hủp vợi iãu kiằn f
(n)(a) = 0, suy ra tỗn tÔi
bn+1 ∈ (a; bn) ⊂ (a; b) sao cho f (n+1)(bn+1) = 0.
Nhữ vêy tỗn tÔi dÂy iºm phƠn biằt b1, b2, . . . , bn+1 trong khoÊng (a; b)
sao cho
f (k)(bk) = 0, k = 1, 2, . . . , n+ 1.
Chẵnh nhớ nhỳng hằ quÊ n y m  ành lỵ Rolle trð th nh mởt cổng
cử rĐt mÔnh º giÊi toĂn, °c biằt l  ối vợi dÔng toĂn vã giÊi phữỡng
trẳnh v  kiºm chựng số nghiằm cừa phữỡng trẳnh trong mởt khoÊng n o
õ. CĂc ựng dửng n y s³ ữủc trẳnh b y chi tiát trong cĂc chữỡng sau.
1.2 ffiành lỵ Lagrange v  ffiành lỵ Cauchy
Tiáp theo ta x²t mởt số ành lỵ liản quan mêt thiát vợi ành lỵ Rolle.
ffiành lỵ 1.2 (ffiành lỵ Lagrange). GiÊ sỷ f l  h m liản tửc trản oÔn
[a; b] v  cõ Ôo h m tÔi mồi iºm trong khoÊng (a; b). Khi õ tỗn tÔi ẵt
nhĐt mởt iºm c ∈ (a; b) sao cho
f(b)− f(a) = f ′(c)(b− a). (1.1)
Chựng minh. Ta x²t h m phử
F (x) = f(x)− λx, (1.2)
Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 
8trong õ số λ ữủc chồn sao cho F (a) = F (b), tực l  sao cho
f(a)− λa = f(b)− λb.
ffiº cõ iãu õ ch¿ cƯn lĐy
λ =
f(b)− f(a)
b− a . (1.3)
Ró r ng h m F (x) liản tửc trản oÔn [a; b], cõ Ôo h m trong khoÊng
(a; b) v  F (a) = F (b), do õ theo ành lỵ Rolle tỗn tÔi c ∈ (a; b) sao cho
F ′(c) = 0. Tứ (1.2) ta cõ F ′(x) = f ′(x)− λ, do õ
F ′(c) = 0⇔ f ′(c)− λ = 0⇔ f ′(c) = λ.
Thay giĂ trà λ tứ (1.3) v o ta cõ f ′(c) =
f(b)− f(a)
b− a , hay
f(b)− f(a) = f ′(c)(b− a).
Cổng thực (1.1) ữủc gồi l  cổng thực số gia hỳu hÔn Lagrange.
Nhên x²t 1.2.
1) Ta  thu ữủc ành lỵ Lagrange nhữ l  mởt hằ quÊ cừa ành lỵ
Rolle. Thá những chẵnh ành lỵ Rolle (vã dÔng cừa biºu thực) lÔi l  mởt
trữớng hủp riảng cừa ành lỵ Lagrange (ựng vợi giÊ thiát f(a) = f(b)).
2) ị nghắa hẳnh hồc: Náu h m f(x) thoÊ mÂn Ưy ừ cĂc iãu kiằn
cừa ành lỵ Lagrange thẳ trản ỗ thà cừa h m số y = f(x) phÊi tỗn tÔi
ẵt nhĐt mởt iºm M(c; f(c)) sao cho tiáp tuyán vợi ỗ thà tÔi iºm õ
song song vợi dƠy cung AB, ð õ A(a; f(a)) v  B(b; f(b)).
Hằ quÊ 1.4. GiÊ sỷ f : [a; b] −→ R l  h m liản tửc v  f ′(x) = 0, vợi
mồi x ∈ (a; b). Khi õ f = const trản oÔn [a; b].
Chựng minh. Thêt vêy, giÊ sỷ x0 ∈ (a; b) l  mởt iºm cố ành n o õ,
cỏn x l  iºm tuý ỵ cừa (a; b). ffioÔn th¯ng [x0;x] ho°c [x;x0] nơm trồn
trong khoÊng (a; b), vẳ thá f cõ Ôo h m (v  do õ nõ liản tửc) khưp nỡi
trản oÔn con Đy, Ăp dửng ành lỵ Lagrange ta cõ
f(x)− f(xo) = f ′(c)(x− x0), ∀c ∈ (xo;x).
Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 
9Những theo giÊ thiát f ′(x) = 0 vợi mồi x ∈ (a; b) nản f ′(c) = 0 vợi mồi
c ∈ (x0;x). Vẳ thá ta cõ f(x) = f(x0), ¯ng thực n y kh¯ng ành rơng
giĂ trà cừa h m f(x) tÔi iºm bĐt ký x ∈ (a; b) luổn luổn bơng giĂ trà
cừa h m tÔi mởt iºm cố ành. Do vêy, f = const trản oÔn [a; b].
Hằ quÊ 1.5. Náu hai h m f(x) v  g(x) cõ Ôo h m ỗng nhĐt bơng
nhau trản mởt khoÊng thẳ chúng ch¿ sai khĂc nhau bði hơng số cởng.
Chựng minh. Thêt vêy, theo giÊ thiát ta cõ
[f(x)− g(x)]′ = f ′(x)− g′(x) = 0.
Theo hằ quÊ 1.4 thẳ f(x)− g(x) = C (C = const) hay f(x) = g(x) +C.
ffiành lỵ 1.3 ( ffiành lỵ Cauchy). GiÊ sỷ cĂc h m f, g liản tửc trản oÔn
[a; b] v  cõ Ôo h m tÔi mồi iºm trong khoÊng (a; b), ngo i ra g′(x) 6= 0
vợi mồi x ∈ (a; b). Khi õ tỗn tÔi ẵt nhĐt mởt iºm c ∈ (a; b) sao cho
f(b)− f(a)
g(b)− g(a) =
f ′(c)
g′(c)
. (1.4)
Chựng minh. Trữợc khi chựng minh ành lỵ ta nhên x²t rơng cổng
thực (1.4) luổn cõ nghắa, tực l  g(b) 6= g(a). Thêt vêy, náu g(b) = g(a)
thẳ h m số g(x) thoÊ mÂn cĂc iãu kiằn cừa ành lỵ Rolle v  do õ
tỗn tÔi c ∈ (a; b) sao cho g′(c) = 0, những iãu n y trĂi vợi giÊ thiát
g′(x) 6= 0,∀x ∈ (a; b). BƠy giớ ta x²t h m phử
F (x) = f(x)− λg(x), (1.5)
trong õ số λ ữủc chồn sao cho F (a) = F (b), tực l 
f(a)− λg(a) = f(b)− λg(b).
ffiº cõ iãu õ ta ch¿ cƯn lĐy
λ =
f(b)− f(a)
g(b)− g(a) . (1.6)
Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 
10
H m F (x) thoÊ mÂn mồi iãu kiằn cừa ành lỵ Rolle, do õ ∃c ∈ (a; b)
sao cho F ′(c) = 0. M°t khĂc tứ (1.5) ta cõ F ′(x) = f ′(x)− λg′(x) nản
F ′(c) = 0⇔ f ′(c)− λg′(c) = 0⇔ λ = f
′(c)
g′(c)
. (1.7)
Tứ (1.6)v  (1.7) ta thu ữủc
f(b)− f(a)
g(b)− g(a) =
f ′(c)
g′(c)
.
Cổng thực (1.4) ữủc gồi l  cổng thực số gia hỳu hÔn Cauchy.
Nhên x²t 1.3. ffiành lỵ Lagrange l  trữớng hủp riảng cừa ành lỵ Cauchy
vợi giÊ thiát g(x) = x.
1.3 ffiành lỵ Rolle trản khoÊng vổ hÔn
Trong mửc n y, ta x²t mð rởng cừa ành lỵ Rolle ra khoÊng vổ hÔn.
Cỡ sð cừa cĂc mð rởng n y l  dỹa v o ành lỵ Bolzano-Cauchy kh¯ng
ành rơng miãn giĂ trà cừa h m liản tửc trản oÔn [a, b] lĐp Ưy cĂc giĂ
trà trong oÔn
[
min
[a,b]
f(x),max
[a,b]
f(x)
]
.
ffiành lỵ 1.4. GiÊ sỷ h m số f(x) liản tửc trản [a; +∞), cõ Ôo h m
trong (a; +∞) v  lim
x→+∞ f(x) = f(a). Khi õ, tỗn tÔi c ∈ (a; +∞) sao cho
f ′(c) = 0.
Chựng minh. Náu f(x) = f(a) vợi mồi x > a thẳ lĐy c l  mởt số bĐt
ký lợn hỡn a.
GiÊ sỷ tỗn tÔi b > a sao cho f(b) 6= f(a), ch¯ng hÔn f(b) > f(a). Gồi
à l  mởt số thỹc bĐt ký thuởc (f(a); f(b)), theo ành lỵ Bolzano-Cauchy,
tỗn tÔi α ∈ (a; b) sao cho f(α) = à. Vẳ lim
x→+∞ f(x) = f(a) < à nản tỗn
tÔi d > b sao cho f(d) < à. Do f(x) liản tửc trản [a; +∞) nản theo ành
lỵ Bolzano-Cauchy tỗn tÔi β ∈ (b; d) sao cho f(β) = à = f(α), do õ
theo ành lỵ Rolle, tỗn tÔi c ∈ (α; β) sao cho f ′(c) = 0.
Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 
11
Chữỡng 2
KhÊo sĂt tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa h m
số
Tẵnh chĐt ỗng bián, nghàch bián v  tẵnh lỗi, lóm cừa h m số l  nhỳng
vĐn ã cỡ bÊn trong chữỡng trẳnh toĂn THPT. ffiành lỵ Lagrange õng
mởt vai trỏ quan trồng trong viằc chựng minh cĂc ành lỵ, tẵnh chĐt cỡ
bÊn trong chữỡng trẳnh. Ngo i ra, trong chữỡng n y, chúng tổi cụng ã
cêp án khĂi niằm ở gƯn ãu v  sưp thự tỹ cĂc tam giĂc, m  dỹa v o
cĂc tẵnh chĐt cừa nõ ta cõ ữủc cĂch giÊi rĐt thú và ối vợi mởt số b i
toĂn vã bĐt ¯ng thực trong tam giĂc (xem [2]-[6]-[7]).
2.1 H m ỗng bián, nghàch bián
Tứ Ơy vã sau, ta sỷ dửng kẵ hiằu I(a; b) ⊂ R l  nhơm ngƯm ành
mởt trong bốn têp hủp (a; b), [a; b), (a; b] v  [a; b] vợi a < b.
ffiành nghắa 2.1. GiÊ sỷ h m số f(x) xĂc ành trản têp I(a; b) ⊂ R v 
thoÊ mÂn iãu kiằn
Vợi mồi x1, x2 ∈ I(a; b) v  x1 < x2, ta ãu cõ f(x1) ≤ f(x2) thẳ ta
nõi rơng f(x) l  mởt h m ỡn iằu tông trản I(a; b).
ffi°c biằt, khi ựng vợi mồi c°p x1, x2 ∈ I(a; b) v  x1 < x2, ta ãu cõ
f(x1) < f(x2) thẳ ta nõi rơng f(x) l  mởt h m ỡn iằu tông thỹc sỹ
Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 
12
trản I(a; b).
Ngữủc lÔi, náu vợi mồi x1, x2 ∈ I(a; b) v  x1 < x2, ta ãu cõ f(x1) ≥
f(x2) thẳ ta nõi rơng f(x) l  mởt h m ỡn iằu giÊm trản I(a; b).
ffi°c biằt, khi ựng vợi mồi c°p x1, x2 ∈ I(a; b) v  x1 < x2, ta ãu cõ
f(x1) > f(x2) thẳ ta nõi rơng f(x) l  mởt h m ỡn iằu giÊm thỹc sỹ
trản I(a; b).
Nhỳng h m ỡn iằu tông thỹc sỹ trản I(a, b) ữủc gồi l  h m ỗng
bián trản I(a; b) v  h m ỡn iằu giÊm thỹc sỹ trản I(a; b) ữủc gồi l 
h m nghàch bián trản I(a; b).
Trong chữỡng trẳnh giÊi tẵch, chúng ta  biát án cĂc tiảu chuân º
nhên biát ữủc khi n o thẳ mởt h m số khÊ vi cho trữợc trản khoÊng
(a; b) l  mởt h m ỡn iằu trản khoÊng õ. Sau Ơy chúng ta s³ dũng
ành lỵ Lagrange º chựng minh ành lỵ vã iãu kiằn ừ cừa tẵnh ỡn
iằu cừa h m số. ffiƠy l  mởt ành lỵ rĐt quan trồng trong chữỡng trẳnh
giÊi tẵch lợp 12- THPT.
ffiành lỵ 2.1. Cho h m số y = f(x) cõ Ôo h m trản khoÊng (a; b).
i) Náu f ′(x) > 0 vợi mồi x ∈ (a; b) thẳ h m số y = f(x) ỗng bián
trản khoÊng õ.
ii) Náu f ′(x) < 0 vợi mồi x ∈ (a; b) thẳ h m số y = f(x) nghàch
bián trản khoÊng õ.
Chựng minh. LĐy hai iºm x1, x2 (x1 < x2) trản khoÊng (a; b). Vẳ
f(x) cõ Ôo h m trản khoÊng (a; b) nản f(x) liản tửc trản [x1;x2] v  cõ
Ôo h m trong khoÊng (x1;x2).
p dửng ành lỵ Lagrange cho h m số y = f(x) trản [x1;x2], khi õ
∃c ∈ (x1;x2) sao cho
f(x2)− f(x1) = f ′(c)(x2 − x1).
i) Náu f ′(x) > 0 trản khoÊng (a; b) thẳ f ′(c) > 0, m°t khĂc x2−x1 > 0
nản f(x2) − f(x1) > 0 hay f(x2) > f(x1), suy ra h m f(x) ỗng bián
trản khoÊng (a; b).
Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 
13
ii) Náu f ′(x) 0
nản f(x2)− f(x1) < 0 hay f(x2) < f(x1), suy ra h m f(x) nghàch bián
trản khoÊng (a; b).
ffiành lỵ 2.2 (Mð rởng cừa ành lỵ 2.1). GiÊ sỷ h m số y = f(x) cõ Ôo
h m trản khoÊng (a; b). Náu f ′(x) ≥ 0 (ho°c f ′(x) ≤ 0) v  ¯ng thực
ch¿ xÊy ra tÔi mởt số hỳu hÔn iºm trản khoÊng (a; b) thẳ f(x) ỗng bián
(ho°c nghàch bián trản khoÊng õ).
Chựng minh. Thêt vêy, º ỡn giÊn cĂch lêp luên, giÊ sỷ rơng f ′(x) ≥ 0
trản (a; b) v  f ′(x) = 0 tÔi x1 ∈ (a, b) thẳ khi õ f(x) ỗng bián trong
tứng khoÊng (a, x1) v  (x1, b) v  liản tửc trong (a, x1] v  [x1, b) nản nõ
cụng ỗng bián trong (a, x1] v  [x1, b). Tứ õ suy ra nõ ỗng bián trản
cÊ khoÊng (a, b).
2.2 H m lỗi, lóm khÊ vi bêc hai
2.2.1 Tẵnh chĐt cừa h m lỗi, h m lóm
ffiành nghắa 2.2.
i) H m số f(x) ữủc gồi l  h m lỗi trản têp I(a; b) ⊂ R náu vợi
mồi x1, x2 ∈ I(a; b) v  vợi mồi c°p số dữỡng α, β cõ tờng α + β = 1, ta
ãu cõ
f(αx1 + βx2) ≤ αf(x1) + βf(x2). (2.1)
Náu dĐu ¯ng thực trong (2.1) xÊy ra khi v  ch¿ khi x1 = x2 thẳ ta nõi
f(x) l  h m lỗi thỹc sỹ (ch°t) trản I(a; b).
ii) H m số f(x) ữủc gồi l  h m lóm trản têp I(a; b) ⊂ R náu vợi
mồi x1, x2 ∈ I(a; b) v  vợi mồi c°p số dữỡng α, β cõ tờng α + β = 1, ta
ãu cõ
f(αx1 + βx2) ≥ αf(x1) + βf(x2). (2.2)
Náu dĐu ¯ng thực trong (2.2) xÊy ra khi v  ch¿ khi x1 = x2 thẳ ta nõi
f(x) l  h m lóm thỹc sỹ (ch°t) trản I(a; b).
Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 
14
Nhên x²t 2.1. Khi x1 < x2 thẳ x = αx1 + βx2 vợi mồi c°p số dữỡng
α, β cõ tờng α + β = 1 ãu thuởc (x1;x2) v 
α =
x2 − x
x2 − x1 ; β =
x− x1
x2 − x1 .
ffiành lỵ 2.3. Náu f(x) l  h m số khÊ vi trản I(a; b) thẳ f(x) l  h m lỗi
trản I(a; b) khi v  ch¿ khi f ′(x) l  h m ỡn iằu tông trản I(a; b).
Chựng minh. GiÊ sỷ f(x) lỗi trản I(a; b). Khi õ vợi x1 < x < x2,
(x, x1, x2 ∈ I(a; b)), ta cõ
x2 − x
x2 − x1 > 0;
x− x1
x2 − x1 > 0 v 
x2 − x
x2 − x1 +
x− x1
x2 − x1 = 1.
Vẳ thá
f(x) ≤ x2 − x
x2 − x1f(x1) +
x− x1
x2 − x1f(x2)
⇔f(x)− f(x1)
x− x1 ≤
f(x2)− f(x)
x2 − x . (2.3)
Trong (2.3) cho x→ x1, ta thu ữủc
f ′(x1) ≤ f(x2)− f(x1)
x2 − x1 . (2.4)
Tữỡng tỹ, trong (2.3) cho x→ x2, ta thu ữủc
f(x2)− f(x1)
x2 − x1 ≤ f
′(x2). (2.5)
Tứ (2.4) v  (2.5), ta nhên ữủc f ′(x1) ≤ f ′(x2), tực h m số f ′(x) l  h m
ỡn iằu tông.
Ngữủc lÔi, giÊ sỷ f ′(x) l  h m số ỡn iằu tông v  x1 < x < x2
(x, x1, x2 ∈ I(a; b)). Theo ành lỵ Lagrange, tỗn tÔi x3, x4 vợi x3 ∈ (x1;x)
v  x4 ∈ (x;x2) sao cho
f(x)− f(x1)
x− x1 = f
′(x3),
f(x2)− f(x)
x2 − x = f
′(x4).
Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 
15
Do f ′(x3) ≤ f ′(x4) nản f(x)− f(x1)
x− x1 ≤
f(x2)− f(x)
x2 − x , hay ta cõ
f(x) ≤ x2 − x
x2 − x1f(x1) +
x− x1
x2 − x1f(x2).
Tực f(x) l  h m lỗi trản I(a; b).
ffiành lỵ 2.4. Náu f(x) khÊ vi bêc hai trản I(a; b) thẳ f(x) lỗi (lóm) trản
I(a; b) khi v  ch¿ khi f ′′(x) ≥ 0 (f ′′(x) ≤ 0) trản I(a; b).
Chựng minh. Suy trỹc tiáp tứ ành lỵ 2.3.
Vã sau ta ch¿ x²t cĂc h m lỗi (lóm) khÊ vi, tực l  cĂc h m số khÊ vi
bêc hai cõ Ôo h m cĐp 2 khổng ời dĐu trong I(a; b).
Hằ quÊ 2.1. Náu h m số y = f(x) lỗi ho°c lóm trản I(a; b) thẳ phữỡng
trẳnh f(x) = 0 cõ khổng quĂ hai nghiằm thuởc I(a; b).
Chựng minh. Thêt vêy, giÊ sỷ h m số y = f(x) lỗi ho°c lóm trản
I(a; b), tực f ′′(x) > 0 ho°c f ′′(x) < 0 trản I(a; b). Khi õ h m số f ′(x)
luổn ỗng bián ho°c nghàch bián trản I(a; b), nản phữỡng trẳnh f ′(x) = 0
cõ khổng quĂ 1 nghiằm trong khoÊng I(a; b). Do õ theo hằ quÊ 1.2
phữỡng trẳnh f(x) = 0 cõ khổng quĂ 2 nghiằm trản khoÊng õ.
Nhên x²t 2.2. Vợi hằ quÊ n y, chúng ta cõ thảm mởt cổng cử hỳu hiằu
º Ăp dửng cho cĂc dÔng toĂn giÊi phữỡng trẳnh, chựng minh sỹ tỗn tÔi
nghiằm cừa phữỡng trẳnh... m  chúng tổi s³ giợi thiằu phữỡng phĂp giÊi
thổng qua cĂc vẵ dử cử thº trong chữỡng sau.
ffiành lỵ 2.5 (BĐt ¯ng thực Karamata). Cho hai dÂy số {xk, yk ∈
I(a; b), k = 1, 2, . . . , n}, thoÊ mÂn cĂc iãu kiằn:
x1 ≥ x2 ≥ ã ã ã ≥ xn, y1 ≥ y2 ≥ ã ã ã ≥ yn
Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 
16
v  
x1 ≥ y1,
x1 + x2 ≥ y1 + y2,
ã ã ã
x1 + x2 + ã ã ã+ xn−1 ≥ y1 + y2 + ã ã ã+ yn−1,
x1 + x2 + ã ã ã+ xn = y1 + y2 + ã ã ã+ yn.
Khi õ, ựng vợi mồi h m lỗi thỹc sỹ f(x) trản I(a; b), ta ãu cõ
f(x1) + f(x2) + ã ã ã+ f(xn) ≥ f(y1) + f(y2) + ã ã ã+ f(yn).
Chựng minh. Trữợc hát ta chựng minh bĐt ¯ng thực
f(x1) ≥ f(y1) + f ′(y1)(x1 − y1), ∀x1, y1 ∈ I(a; b). (2.6)
DĐu ¯ng thực xÊy ra khi v  ch¿ khi x1 = y1.
Thêt vêy, ta cõ
(2.6)⇔ f(x1)− f(y1) ≥ f ′(y1)(x1 − y1). (2.7)
Ta x²t 3 trữớng hủp.
i) Náu x1 = y1 thẳ ta cõ dĐu ¯ng thực, do õ (2.7) úng.
ii) Náu x1 > y1 thẳ x1 − y1 > 0 nản
(2.7)⇔ f(x1)− f(y1)
x1 − y1 ≥ f
′(y1). (2.8)
Theo ành lỵ Lagrange thẳ (2.8)⇔ f ′(x′1) ≥ f ′(y1) vợi y1 < x′1 < x1. BĐt
¯ng thực n y luổn úng vẳ f ′(x) l  h m ỗng bián do f ′′(x) > 0 (theo
giÊ thiát), vẳ thá bĐt ¯ng thực (2.6) úng.
iii) Náu x1 < y1 thẳ x1 − y1 < 0 nản
(2.7)⇔ f(x1)− f(y1)
x1 − y1 ≤ f
′(y1). (2.9)
Theo ành lỵ Lagrange thẳ (2.9)⇔ f ′(x′1) ≤ f ′(y1) vợi x1 < x′1 < y1. BĐt
¯ng thực n y luổn úng vẳ f ′(x) l  h m ỗng bián do f ′′(x) > 0 (theo
giÊ thiát), vẳ thá bĐt ¯ng thực (2.6) úng.
Số húa bởi Trung tõm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn 
17
Tữỡng tỹ ta chựng minh ữủc
f(xi) ≥ f(yi) + f ′(yi)(xi − yi), ∀xi, yi ∈ I(a; b), i = 1, 2, . . . , n.
Nhữ vêy ta cõ
f(x1) ≥ f(y1) + f ′(y1)(x1 − y1),
f(x2) ≥ f(y2) + f ′(y2)(x2 − y2),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f(xn