Toán học - Chuyên đề Hàm số mũ và logarith

 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH 
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 1 
1) Khái niệm về Logarith 
Logarith cơ số a của một số x > 0 được ký hiệu là y và viết dạng log= ⇔ = yay x x a 
Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức logarith sau ( )2 3 2 2log 4; log 81; log 32; log 8 2 
Hướng dẫn giải: 
• 2 2log 4 2 4 2 log 4 2= ⇔ = ⇔ = → =
yy y 
• 
y 4
3 3log 81 y 3 81 3 y 4 log 81 4= ⇔ = = ⇔ = → = 
• ( ) ( )y 1052 2log 32 y 2 32 2 2 y 10 log 32 10= ⇔ = = = ⇔ = → = 
• ( ) ( ) ( ) ( )732 2log 8 2 2 8 2 2 . 2 2 7 log 8 2 7= ⇔ = = = ⇔ = → =yy y 
Ví dụ 2: Tính giá trị của 
a) 2 2log 32 = .......................................................................................................................................................... 
b) 32log 128 2 = ..................................................................................................................................................... 
c) 3log 81 3 = ........................................................................................................................................................ 
d) 3 3log 243 3 = ...................................................................................................................................................... 
Chú ý: 
Khi a = 10 thì ta gọi là logarith cơ số thập phân, ký hiệu là lgx hoặc logx 
Khi a = e, (với e ≈ 2,712818) được gọi là logarith cơ số tự nhiên, hay logarith Nepe, ký hiệu là lnx, (đọc là len-x) 
2) Các tính chất cơ bản của Logarith 
• Biểu thức logarith tồn tại khi cơ số a > 0 và a ≠ 1, biểu thức dưới dấu logarith là x > 0. 
• log 1 0 ;log 1,= = ∀
a a
a a 
• Tính đồng biến, nghịch biến của hàm logarith: 
1
log log
0 1
> ⇔ >
> ⇔  < ⇔ < <
a a
b c a
b c
b c a
3) Các công thức tính của Logarith 

Công thức 1: log ,= ∀ ∈
xa a x x ,(1) 
Chứng minh: 
Theo định nghĩa thì hiển nhiên ta có log = ⇔ =x x xa a x a a 
Ví dụ 1: ( )85 42 2 2 2 2log 32 log 2 5;log 16 log 2 log 2 8...= = = = = 
Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau: 
a) 
3 25
1 4
log .
a
a a aP
a a
= b) log .
a
Q a a a a= 
Hướng dẫn giải: 
a) Ta có 
1 2 1 2 28 671 28 3 67 673 25 5 3 5 3 15 60
15 4 60 60
1 11 1 1 1 34
2 4 2 4 4
. . 1 67log log .
60
.
a a
a a a a a a a a
a a P a
aa a
a a a a
+ + −
−
+
 = = = = = → = = =−  
b) Ta có ( )
157 15 151 3
88 16 162 4 15
. . . log log .
8a a
a a a a a a a a a a a a a a Q a a= = = = → = = = 
Ví dụ 3: Tính giá trị các biểu thức sau: 
Tài liệu bài giảng: 
02. CÔNG THỨC LOGARITH – P1 
Thầy Đặng Việt Hùng 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH 
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 2 
a) 3 5logaA a a a= b) 23 5logaB a a a a= c) 
5 33 2
1 4
log
a
a a a
a a
Hướng dẫn giải: 
a) 
1 133 5 2 5 1 1 37log log 3
2 5 10a a
A a a a a
+ + 
= = = + + = 
 
b) 
1
3
11 11 2 323 2 55
3
27 3log log 1 1
10 10a a
B a a a a a
 
+ + + 
 
 
  
= = = + = +     
 
c) 
3 215 33 2 5 3
1 1 14
2 4
34 3 91log log
15 4 60a
a
a a a a
a a
a
+ +
+
 
  
= − = − − = −     
 
Ví dụ 4: Tính giá trị các biểu thức sau: 
a) 1
5
log 125 .....................................................= b) 2log 64 ....................................................................= 
c) 16log 0,125 ..................................................= d) 0,125log 2 2 ..........................................................= 
e) 3 33log 3 3 ................................................= f) 7 8 77log 7 343 ............................................................= 
Ví dụ 5: Tính giá trị các biểu thức sau: 
a) ( )3 5log ..................................................................................................................................aP a a a= = 
b) ( )23 54log ............................................................................................................................= =aQ a a a a 

Công thức 2: log , 0= ∀ >a xa x x , (2) 
Chứng minh: 
Đặt ( )log , 2= ⇒ = ⇔ =t t ta x t x a a a 
Ví dụ 1: ( ) ( ) ( ) ( )33 352 log 4 11 1log 4 log 4log 6log 3 22 22 3, 5 6, 3 3 3 4 2...   = = = = = =     
Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau: 
1) 8log 152 .....................................................= 2) 2 2log 642 ....................................................................= 
3) 
81log 51
.....................................................
3
  =  
 4) ( ) 3
log 43 9 ....................................................................= 

Công thức 3: ( )log . log log= +a a ax y x y , (3) 
Chứng minh: 
Áp dụng công thức (2) ta có 
log
log log log log
log
. .
+
 =
→ = =
=
a
a a a a
a
x
x y x y
y
x a
x y a a a
y a
Áp dụng công thức (1) ta được : ( ) log loglog . log log log+= = + ⇒a ax ya a a ax y a x y dpcm 
Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau: 
a) ( ) 32 2 2 2 2 2 2log 24 log 8.3 log 8 log 3 log 2 log 3 3 log 3= = + = + = + 
b) ( ) 33 3 3 3 3 3log 81 log 27.3 log 27 log 3 log 3 log 3 3 1 4= = + = + = + = 
Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau: 
a) 
4
23 3 3
2 2 2 2 2
4 10log 4 16 log 4 log 16 log 2 log 2 2 .
3 3
= + = + = + = 
b) 
131 333 3 3
1 1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3 3
1 1 1 10log 27 3 log 27 log 3 log 3 log 3 log log 3 .
3 3 3 3
− −
     = + = + = + =− − =−       
c) ( ) ( )
6 235 5
2 2 2 2 2 2 2log 8 32 log 8 log 32 log 2 log 2 log 2 log 2 6 2 8.= + = + = + = + = 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH 
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 3 
Ví dụ 3: Cho biết log 2;log 2a ab c= = Tính giá trị của loga x với 
a) 3 2x a b c= ................................................................................................................................................................. 
........................................................................................................................................................................................ 
b) 3 3x ab a bc= ...................................................................................................................................................... 
........................................................................................................................................................................................ 

Công thức 4: log log log  = − 
 
a a a
x
x y
y
, (4) 
Chứng minh: 
Áp dụng công thức (2) ta có 
log log
log log
loglog
−
 =
→ = =
=
a a
a a
aa
x x
x y
yy
x a x a
a
y ay a
Áp dụng công thức (1) ta được : log loglog log log log−  = = − ⇒ 
 
a ax y
a a a a
x
a x y dpcm
y
Ví dụ 1: 
45
3 32
2 2 2 2 23
32 5 4 7log log 32 log 16 log 2 log 2 .
2 3 616
= − = − = − = 
Ví dụ 2: Cho biết 1log ;log 3
3a a
b c= = Tính giá trị của loga x với 
a) 
2
3 2
ab c
x
abc
= ................................................................................................................................................................. 
........................................................................................................................................................................................ 
b) 
5 3
34
a bc
x
a abc
= ......................................................................................................................................................... 
....................................................................................................................................................................................... 
Ví dụ 3: Tìm tập xác định của các hàm số sau : 
a) 1
2
1log
5
xy
x
−
=
+
 b) 
2
1 5
5
1log log
3
xy
x
 +
=  
+ 
 c) 2
3log
1
xy
x
−
=
+
f) 
2
0,3 3
2log log
5
xy
x
 +
=  
+ 
 d) 21 2
2
1log log 6
1
xy x x
x
−
= − − −
+
 e) ( )2
2
1lg 3 4
6
y x x
x x
= − + + +
− −
 g) 1log
2 3
xy
x
−
=
−
Hướng dẫn giải: 
a) 1
2
1log
5
xy
x
−
=
+
. Điều kiện : 
1
2
1 1log 0 1 21 1 0 0 11 1 1 1
11 1; 1 1; 100 11
x x
x
xx x
x x
xx
x x x x
xx
−
−≥
− −≤   
− ≤ ≤ → ≥ −+   +⇔ ⇔ ⇔+ +   
−
−    >>   ++
Vậy ( )1;D = +∞ 
b) 
2
1 5
5
1log log
3
xy
x
 +
=  
+ 
. Điều kiện : 
2 2
1 5
23
2 2
5 2
2
1 2log log 0 03 31 11 5 1430 log 1 0
3 310 5 31 30 5
3
x x x
x xx
x x xx
x xx
xx x
x
  +  − −≥   ≥+  +  + ≥  + − −  +≤ ≤ ⇔ ⇔ ≤  
+ ++  < ≤
> −  + +< ≤ 
+ 
( ) ( )3 1; 2 3; 2 2;7
3; 2 7
x x
x
x x
− 
⇔ ⇒ ∈ − − ∪
< − − < <
Phần còn lại các em tự giải nốt nhé!