Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện tư Duy học sinh qua bài toán: "Tìm số hạng tổng quát của dãy số"

Nguyễn Huy Khôi - Rèn luyện t− duy học sinh qua bài toán : "Tìm số hạng tổng quát của dãy số " 
 2
I- Đặt vấn đề 
1) Cơ sở lý luận: 
Đất n−ớc ta đang trên đ−ờng đổi mới và phát triển, nền kinh tế tri thức đòi 
hỏi cần phải có những con ng−ời toàn diện, có đủ Đức - Trí - Thể - Mỹ. Nhu cầu 
đó đặt ra cho nền giáo dục n−ớc ta nhiệm vụ mới, tr−ớc hết cần phải đổi mới nội 
dung ch−ơng trình sách giáo khoa sao cho phù hợp với thực tiễn, phải đ−a ra 
đ−ợc ph−ơng pháp dạy học thích hợp, có hiệu quả. Ph−ơng pháp dạy học mới 
phải làm thế nào để giúp học sinh chiếm lĩnh tri thức một cách chủ động tích cực 
đồng thời biết vận dụng các kiến thức đã học vào giải quyết các bài toán thực tiễn 
một cách linh hoạt, sáng tạo, ph−ơng pháp đó phải lấy trò làm trung tâm, thầy là 
ng−ời h−ớng dẫn học sinh đi tìm tri thức - Đó là ph−ơng pháp dạy học tích cực, 
thầy thiết kế, trò thi công. 
2) Cơ sở thực tiễn: 
 Thực tế trong những năm qua, nhìn chung chất l−ợng giáo dục của n−ớc ta nói 
chung và tr−ờng THPT Đô L−ơng 2 nói riêng còn thấp. Đại bộ phận học sinh vẫn 
tiếp thu các kiến thức một cách thụ động và vận dụng các kiến thức đã học vào 
giải toán một cách máy móc, thiếu sáng tạo. Hầu hết các em ch−a có cách học 
tập hiệu qủa, việc học còn mang tính áp đặt, bắt buộc, các em ch−a thấy đ−ợc 
nhu cầu cần phải học - Ch−a biết mình học để làm gì. Số ít còn lại đã thấy đ−ợc 
nhu cầu cần phải trang bị cho mình vốn tri thức để làm hành trang vào đời, tuy 
nhiên các em vẫn ch−a thực sự chủ động, tích cực, sáng tạo trong việc chiếm lĩnh 
tri thức. 
 Tr−ớc thực trạng đó, nghành giáo dục n−ớc ta đã không ngừng sửa đổi, chỉnh 
lý sách giáo khoa, đổi mới nội dung và ph−ơng pháp dạy học cho phù hợp phù 
hợp, trang bị các thiết bị, ph−ơng tiện dạy học phong phú, hiện đại . Cá nhân 
tôi, qua bốn năm giảng dạy tôi đã cố gắng sử dụng các ph−ơng pháp dạy học 
thích hợp để phần nào khắc phục các nh−ợc điểm trên của học sinh; Qua thực tế 
cho thấy những kiến thức tôi đ−a ra đều đã đ−ợc các em tiếp thu một cách chủ 
Nguyễn Huy Khôi - Rèn luyện t− duy học sinh qua bài toán : "Tìm số hạng tổng quát của dãy số " 
 3
động tích cực, hầu hết các em đã biết linh hoạt sử dụng các kiến thức đó vào giải 
toán. 
3- Thực trạng 
ài toán tìm số hạng tổng quát của một dãy số cho bởi công thức truy 
hồi là một bài toán khó đối với học sinh THPT nói chung và học sinh 
khối 11 nói riêng. Liên quan đến dạng toán này đã có nhiều cuốn sách 
giáo khoa đề cập đến, tuy nhiên có rất ít cuốn sách đề cập kỹ về cơ sở lý 
thuyết để dẫn đến ph−ơng pháp giải mà chỉ đ−a ra một công thức, một quy 
trình giải một cách “thiếu tự nhiên”. Có thể vì trong phạm vi cuốn sách đó 
các tác giả không tiện đề cập đến hoặc việc chứng minh các công thức đó 
không phù hợp với kiến thức học sinh phổ thông. Do không có đủ cơ sở lý 
thuyết nên khi áp dụng các kết quả đó học sinh th−ờng thắc mắc “tại sao 
lại có đ−ợc nh− vậy?” hay “Sao lại có kết quả đó?”...; Cũng chính vì không 
có đủ cơ sơ lý thuyết nên các em rất khó nhớ công thức, không tìm đ−ợc 
mối liên hệ giữa các bài toán, không tự xây dựng đ−ợc một lớp các bài 
toán cùng dạng và quy trình để giải các bài toán đó; Điều này làm ảnh 
h−ởng đến khả năng tìm tòi sáng tạo toán của học sinh – một yếu tố rất 
quan trọng đối với ng−ời làm toán. Việc nắm vững bản chất của dãy số và 
các kiến thức về dãy số sẽ giúp học sinh phát triển t− duy hàm, tạo nền cho 
việc học tốt môn giải tích phổ thông (học sinh bắt đầu đ−ợc làm quen ở 
học kỳ 2 của lớp 11 cho đến hết bậcTHPT). Trong phạm vi đề tài này tôi 
không có tham vọng đ−a ra một hệ thống kiến thức hoàn toàn mới, một kết 
quả mới và đẹp về mặt toán học; ở đây tôi chỉ trình bày những kết quả mà 
trong quá trình dạy học về dãy số tôi đã tích luỹ, tìm tòi để đ−a ra một hệ 
thống các bài toán cùng với quy trình giải các bài toán đó, qua đó giúp rèn 
luyện, phát triển t− duy giải toán cho học sinh. 
II- Giải quyết vấn đề 
A- Kiến thức áp dụng 
1- Dãy số: 
 1.1) Định nghĩa: 
B 
Nguyễn Huy Khôi - Rèn luyện t− duy học sinh qua bài toán : "Tìm số hạng tổng quát của dãy số " 
 4
Là một hàm số xác định trên M = { }m...,,3,2,1 - dãy số hữu hạn, (hoặc 
xác định trên N* - dãy số vô hạn) 
Kí hiệu: (un) hoặc nếu không sợ nhầm lẫn ta kí hiệu dãy số u là un 
Dãy số th−ờng đ−ợc viết d−ới dạng khai triển: 
 u1, u2, ..., un, ... 
 u1: gọi là số hạng đầu hay số hạng thứ nhất 
 u2: gọi là số hạng thứ hai 
 ... 
 un: gọi là số hạng thứ n hay “số hạng tổng quát” của dãy số u 
1.2) Cách cho dãy số: 
Ng−ời ta th−ờng cho dãy số d−ới các dạng sau: 
 - Cho số hạng tổng quát un của dãy số bằng công thức. 
 - Cho bằng ph−ơng pháp truy hồi 
 - Cho bằng mệnh đề mô tả các số hạng của dãy 
2- Cấp số cộng 
 2.1) Định nghĩa: 
 Là dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) thoả mãn: 
 d là số thực không đổi gọi là “công sai” 
 2.2) Tính chất: 
- Số hạng tổng quát của cấp số cộng: 
 - Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng: 
3- Cấp số nhân 
 3.1) Định nghĩa: 
 Là dãy số (hữu hạn hay vô hạn) thoả mãn: 
un+1 = un + d (n Ν∈ , n>1) 
un+1 = un + (n-1)d
S=u1+ u2+ u3+...+ un = ( )( )dnun 122 1 −+ = ( )nuu
n +12 
Nguyễn Huy Khôi - Rèn luyện t− duy học sinh qua bài toán : "Tìm số hạng tổng quát của dãy số " 
 5
 q là số không đổi gọi là “công bội” 
3.2) Tính chất: 
 - Số hạng tổng quát: 
- Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân 
B- Nội dung 
Chúng ta bắt đầu từ bài toán đơn giản sau : 
Bài toán 1: Cho dãy số (un) xác định nh− sau : *
1
1
2
1
Nn
uu
u
nn
∈∀


+=
=
+
 Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy ? 
Nhận xét: Việc giải quyết bài toán trên không có gì khó khăn. Ta có thể giải theo 
 2 cách nh− sau : 
Cách 1: 
 Từ giả thiết ta có : u1 = 1 = 1 = 1+(1-1).2 
 u2 = 3 = 1+2 =1+(2-1).2 
 u3 =5 = 1+2+2 =1+(3-1).2 
 (Ta dự đoán ) 
 Ta dễ dàng chứng minh kết qủa đó bằng ph−ơng pháp quy nạp toán học. 
Cách 2 : 
 Từ giả thiết ta có : un+1 – un = 2 ∀n∈N* 
 Nên theo định nghĩa cấp số cộng thì (un) lập thành cấp số cộng với u1=1, 
 công sai d=2 suy ra : un=u1+(n-1).d = 1+(n-1).2 
 Vậy : 
un+1 = un .q (n Ν∈ , n>1) 
un+1 = un .q
n-1 , (q≠ 0)
S=u1+ u2+ u3+...+ un = 1
1.1 −
−
q
qu
n
 , (q≠ 1) 
un = 1+(n-1).2
un = 1+(n-1).2
Nguyễn Huy Khôi - Rèn luyện t− duy học sinh qua bài toán : "Tìm số hạng tổng quát của dãy số " 
 6
Việc định h−ớng để học sinh tìm ra các cách giải trên là không khó. Tuy nhiên từ 
cách giải trên giáo viên có thể đặt ra cho học sinh một vấn đề mới : "Liệu có thể 
thể đề xuất bài toán tổng quát hơn cùng với quy trình để giải bài toán đó" 
Học sinh có thể đ−a ra bài toán nh− sau : 
 Bài toán 1.1: 
Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) xác định nh− sau : 
Đây cũng là bài toán tổng quát nh−ng ta thấy nó ch−a có gì “đặc sắc”, cách 
giải bài toán này không có gì mới và khác với việc giải bài toán trên 
Giáo viên có thể đặt vấn đề: Hệ số của un trong bài toán trên là 1. Nếu ta thay hệ 
số đó bởi một số thực k thì việc giải quyết nó có gì thay đổi. Từ đó ta có bài toán 
mới: 
Bài toán 2 
Cho dãy số (un) xác định nh− sau : 
Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy ? 
 (Chú ý rằng: nếu k= 1 thì bài toán trên trở thành bài toán 1.1 đã xét) 
 Rõ ràng đây là bài toán tổng quát hơn, cách giải bài toán này đòi hỏi sự t− duy 
và sáng tạo mới của học sinh. Qua thực tế giảng dạy tôi thấy : Đối với bài toán 
mới này một số học sinh giải đ−ợc theo cách 1 nh−ng các em gặp khó khăn khi 
đoán tìm số hạng tổng quát un . Liệu có thể giải quyết bài toán này theo cách 2 ? 
Từ giả thiết bài toán ta có: un+1 - un = k(un – un-1) 
Đến đây nhiều học sinh có thể ch−a nhìn nhận ra vấn đề, giáo viên có thể yêu cầu 
học sinh : "Hãy lập hiệu un – un-1 = ? " 
Giáo viên biểu diễn cho học sinh thấy : 
 un+1 - un = k(un – un-1) = k
2(un-1 – un-2) = k
3(un-2 – un-3) =  
Lúc này ta đã thấy rõ bản chất của vấn đề là : Dãy (un+1 - un) lập thành một cấp 
số nhân với công bội k, từ đó ta có cách giải quyết bài toán 2 nh− sau : 
 Từ giả thiết bài toán ta có: un+1 - un = k(un – un-1) 
*
1
1 Nn
buu
au
nn
∈∀


+=
=
+
1,
.
*
1
1 ≠∈∀


+=
=
+
kNn
buku
au
nn
Nguyễn Huy Khôi - Rèn luyện t− duy học sinh qua bài toán : "Tìm số hạng tổng quát của dãy số " 
 7
Đặt vn = un+1 - un ∀n∈N* lúc đó : vn+1 = k.vn , ∀n∈N* 
 suy ra dãy (vn) lập thành cấp số nhân với công bội là k, v1 = (k-1)a + b 
 Theo công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân thì : vn = v1.kn-1 
 Mặt khác ta có : 
 un = (un - un-1 ) + (un-1 – un-2) + (un-2 – un-3) + + (u2 – u1) + u1 
 = vn-1 + vn-2 + vn-3 +  + v1 + u1 
 = v1.k
n-2 + v1.k
n-3 + v1.k
n-4 +  + v1 + u1 
 = v1 (k
n-2 + kn-3 + kn-4 +  + 1) + u1 
 = v1 1
11
−
−−
k
k n
 + u1 
 (do k ≠ 1) 
 Vậy ta có: 
Với kết quả này ta đã giúp học sinh giải quyết đ−ợc một lớp nhiều các bài toán 
liên quan. Nh−ng đến đây ta có thể phát triển bài toán trên ở mức độ tổng quát 
hơn ? ở bài toán trên nếu ta thay b bởi một biểu thức chứa un-1 thì sao ? Cụ thể 
hơn, nếu hệ thức truy hồi ở bài toán 2 đ−ợc cho bởi dạng : 
Thì việc tìm số hạng tổng quát của dãy số này sẽ đ−ợc giải quyết nh− thế nào? 
Ví dụ: Cho dãy số (un) đ−ợc xác định nh− sau: 
Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số đó 
 (Bài ra ở sách nâng cao ĐS> 11, NXBGD năm 1993 của Phan Huy Khải) 
Với bài này, Sách giáo khoa đã trình bày bài giải nh− sau: 
Tr−ớc hết ta xét ph−ơng trình: x2-px+q = 0 (*) . Giả sử x1, x2 là hai 
nghiệm của ph−ơng trình trên. Theo định lý Vi-et ta có: 
 x1 + x2 = p ; x1.x2 = q 
un = ((k-1)a + b) 1
11
−
−−
k
k n
 + a
1,
, *
11
21 >∈∀


−=
==
−+
nNn
qupuu
buau
nnn
2,
26
,6,2
11
21 ≥∈∀


−=
==
−+
nNn
uuu
uu
nnn
Nguyễn Huy Khôi - Rèn luyện t− duy học sinh qua bài toán : "Tìm số hạng tổng quát của dãy số " 
 8
 Đặt Sn = x1
n + x2
2 dễ thấy : Sn+1 = p.Sn – q.Sn-1 
áp dụng cho bài toán trên với p = 6 ; q = 2 ta có ph−ơng trình x2 - 6x + 2 = 0 
Ph−ơng trình này có hai nghiệm là x1 = 113− , x2 = 113+ 
Chú ý rằng: x1
0
 + x2
0 = 2 ; x11 + x21 = 6 
 Vậy un = Sn = ( 113− )n + ( 113+ )n 
Bài toán đã đ−ợc giải quyết. Tuy nhiên khi tham khảo cách giải này học sinh sẽ 
thắc mắc: “Tại sao lại có ph−ơng trình (*) ?, Nếu (*) vô nghiệm thì sao?, ” .ở 
bài toán trên chúng ta thấy “rất may” là ph−ơng trình x2-px+q = 0 có nghiệm và 
hơn nữa: 2 = u1 = x1
0
 + x2
0 
Từ đó ta đặt ra câu hỏi: “Nếu ta thay 2 bởi một số thực bất kỳ thì bài toán trên có 
giải quyết đ−ợc không?” Chẳng hạn bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy 
Fibonaci 
 (Dãy số Fibonaci là dãy un đ−ợc cho bởi công thức: 
Tổng quát hơn ta đề xuất bài toán sau : 
Bài toán 3: Cho dãy số (un) xác định nh− sau: 
Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số đó? 
(Rõ ràng đây là bài toán tổng quát của cả bài toán 1 và bài toán 2) 
Bây giờ ta tìm cách giải bài toán này. Giáo viên có thể định h−ớng cho học sinh 
giải quyết bài toán trên theo h−ớng giải bài toán 2, muốn vậy ta cần tìm 2 số α 
và β sao cho: un+1 - α un = β (un - α un-1) 
Do un+1 = pun – qun-1 nên ta có : 
(ta luôn có thể giả thiết rằng β ≠ 0, vì nếu β = 0 thì q = 0, bài toán trên trở 
thành bài toán 2 đã xét) 
Đặt vn = un+1 - α un ta có vn = β .vn-1 do đó dãy số (vn) lập thành cấp số nhân 
với công bội là β và v1 = u2 – α u1 = b – α a suy ra vn = β n-1v1 
)2,
1
11
21 ≥∈∀


+=
==
−+
nNn
uuu
uu
nnn
2,
,,
11
21 ≥∈∀


−=
==
−+
nNn
qupuu
buau
nnn
(**)
.

=
=+
q
p
βα
βα
Nguyễn Huy Khôi - Rèn luyện t− duy học sinh qua bài toán : "Tìm số hạng tổng quát của dãy số " 
 9
Mặt khác ta có: 
un = (un - α un-1 ) + α (un-1 – α un-2) + α 2(un-2 – α un-3) + + α n-2 (u2 – α u1) + 
 + α n-1u1 
 = vn-1 + α vn-2 + α 2vn-3 + + α n-2v1 + α n-1u1 
 = β n-2v1 + α β n-3v1 +α 2β n-4v1 + + α n-2v1 + α n-1u1 
 = ( β n-2 + α β n-3 +α 2β n-4 + + α n-2)v1 + α n-1u1 
 = (β n-2 . ) v1 + α n-1u1 
 = 1
11
v
nn
βα
βα
−
− −−
 + α n-1u1 
 = ( )abnn αβα
βα −−
− −− 11
 + α n-1. a 
Vậy số hạng tổng quát của dãy đã cho là : 
Bài toán đã đ−ợc giải quyết. (Với chú ý rằng hệ (**) có thể có nghiệm thực hoặc 
không có nghiệm thực. Đối với học sinh THPT ch−a đựơc trang bị các kiến thức 
về số phức thì tất cả các bài toán ở dạng này đều đ−ợc các tác giả lựa chọn các hệ 
số p, q thích hợp để (**) có nghiệm thực. Cách giải trên cũng hoàn toàn đúng 
cho tr−ờng hợp hợp hệ (**) có nghiệm phức). 
Trở lại với bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy Fibonaci : 
 Cho dãy số (un) xác định bởi công thức : 
Tìm số hạng tổng quát của dãy số đó ? 
un = ( )abnn αβα
βα −−
− −− 11
 + α n-1. a 
)2,
1
11
21 ≥∈∀


+=
==
−+
nNn
uuu
uu
nnn
1
1
1
−
−

 −
β
α
β
α n
Nguyễn Huy Khôi - Rèn luyện t− duy học sinh qua bài toán : "Tìm số hạng tổng quát của dãy số " 
 10
Giải : 
 áp ụng kết quả trên với a = b = 1 ; p = 1 ; q = -1 
 Ta cần tìm các số α , β thoả mãn : 
Giải ra đ−ợc : ; 
Suy ra : un = + α n-1. a 
 = + 
= + 
 = + 
 = 
Vậy số hạng tổng quát của dãy Fibonaci là : 
 un= 
(**)
1.
1


−=
=+
βα
βα



 −−+−−



 +−


 − −−
2
511
2
51
2
51
2
51
2
51
11 nn
1
2
51
−



 − n



 +


 −−


 + −−
2
51
5
2
51
2
51
11 nn
1
2
51
−



 − n
n



 +
2
51
5
1
( )abnn αβα
βα −−
− −− 11
2
51−=α
2
51+=β



 +−


 − −
52
511
2
51
1n







 −−


 + nn
2
51
2
51
5
1







 −−


 + nn
2
51
2
51
5
1
Nguyễn Huy Khôi - Rèn luyện t− duy học sinh qua bài toán : "Tìm số hạng tổng quát của dãy số " 
 11
ắ Một số bài tập vận dụng 
Bài 1: Cho dãy số (un) xác định nh− sau : *
1
1
3
2
Nn
uu
u
nn
∈∀


−=
−=
+
 Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy ? 
 Bài 2: Cho dãy số (un) xác định nh− sau : 
*
1
1
12
2
Nn
uu
u
nn
∈∀


+=
=
+
 Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy ? 
Bài 3: Cho dãy số (un) xác định nh− sau : 
 Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy ? 
Bài 4: Cho dãy số u1, u2, , un, thoả mãn đẳng thức : 
un+1 = aun + b, (n ≥ 1) 
a) Hãy biểu diễn số hạng tổng quát un qua u1 và a, b và n ? 
b) Tính tổng n số hạng đầu tiên của dãy số 
(Trích sách Tuyển tập 200 bài vô địch toán) 
Bài 5: Cho dãy số u1, u2, , un, thoả mãn đẳng thức : 
un-2 = a1un+1 + a2un , (n ≥ 1) trong đó a , a2 là hai số d−ơng cho tr−ớc. 
 Hãy biểu diễn số hạng tổng quát un qua a1 , a2, u1 , u2 và n ? 
(Trích sách “ Tuyển tập 200 bài vô địch toán”) 
Bài 6: Cho dãy số u1, u2, , un, đ−ợc xác định nh− sau : 
u1= 2, un = nun-1 + 1 , (n ≥ 2) 
 Chứng minh rằng số hạng tổng quát của dãy số trên là : 
 [ ]enun != , (n ≥ 1) (Số e = ...!
1...
!3
1
!2
1
!1
11 ++++++
n
) 
(Trích sách “ Tuyển tập 200 bài vô địch toán”) 
Bài 7: Cho dãy số u1, u2, , un, thoả mãn các điều kiện : 
 10 ≤≤ nu và 02 11 ≥+− +− nnn uuu , với mọi n > 1. 
 Chứng minh rằng : ( )( ) 210 1 ≤−+≤ +nn uun 
 (Trích sách “ Tuyển tập 200 bài vô địch toán”) 
2,
65
,2,1
11
21 ≥∈∀


+=
−==
−+
nNn
uuu
uu
nnn
Nguyễn Huy Khôi - Rèn luyện t− duy học sinh qua bài toán : "Tìm số hạng tổng quát của dãy số " 
 12
V – Kết Quả 
 Với cách xây dựng và phát triển các bài toán, xây dựng quy trình giải quyết 
các bài toán một cách "tự nhiên” nh− vậy, trong quá trình giảng dạy toán tôi thấy 
các em đã nắm đ−ợc vấn đề, các em đã biết vận dụng các kết quả trên vào giải 
quyết các bài toán một cách linh hoạt, sáng tạo. Với hình thức nh− vậy tôi đã 
giúp cho các em yêu thích môn toán hơn, giờ học toán của tôi luôn đ−ợc các em 
chờ đón và thực hiện giờ học một cách nghiêm túc, tự giác, chất l−ợng giờ học đã 
đ−ợc nâng cao rõ rệt. Bài tập về nhà đ−ợc các em tự giác nghiên cứu và trao đổi 
kết quả với nhau, ngoài ra các em còn đọc và nghiên cứu trao đổi thêm các bài 
tập ở các sách tham khảo. 
VI - Kết luận 
 Trên đây là một số kinh nghiệm tôi tích luỹ đ−ợc trong quá trình giảng dạy 
bộ môn toán (Tôi có may mắn là trong quá trình đi thực tập và 4 năm liên tục đều 
đ−ợc phân công giảng dạy bộ môn Đại số & Giải tích 11). Tôi đã có dịp trao đổi 
những suy nghĩ trên với nhiều bạn bè đồng nghiệp và đều đ−ợc sự đồng tình 
h−ởng ứng, thực tế tôi đã trực tiếp vận dụng vào giảng dạy và thấy có kết quả rõ 
rệt. Do vậy tôi mạnh dạn viết ra đây không ngoài mục đích trao đổi kinh nghiệm 
giảng dạy với các thầy giáo, cô giáo. 
 Vì thời gian nghiên cứu còn hạn chế, kinh nghiệm giảng dạy của tôi ch−a 
nhiều nên đề tài chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót, rất mong đ−ợc sự góp ý 
nhiệt thành của quý thầy cô để sáng kiến của tôi đ−ợc hoàn thiện hơn. 
Tôi xin chân thành cảm ơn