Toán học - Tiếp tuyến của đồ thị hàm số – Phần 5

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ 
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 1 
DẠNG 3. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐI QUA MỘT ĐIÊM CHO TRƯỚC 
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C). Điểm A(xA ; yA) không thuộc đồ thị. 
Viết viết các phương trình tiếp tuyến kẻ từ A đến đồ thị ta thực hiện như sau : 
+ Gọi d là đường thẳng đi qua A và có hệ số góc k ( ):→ = − +A Ad y k x x y 
+ Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi hệ sau có nghiệm : ( ) ( )( )
( ) , 1
( ), 2
 = − +

′=
A Af x k x x y
k f x 
+ Ta giải hệ phương trình trên bằng cách thế (2) lên (1). Giải (1) được x rồi thay lại vào (2) tìm k, từ đó ta được phương 
trình dường d chính là tiếp tuyến cần tìm. 
Ví dụ 1. Cho hàm số 3 6= − −y x x 
Viết phương trình tiếp tuyến biêt tiêp tuyến 
a) tiếp tuyến song song với đường thẳng d: 2x – y + 1 = 0 
b) tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d’: 4x – y + 2 = 0 
c) biết tiếp tuyến đi qua A(2; 0) đến đồ thị hàm số. 
// câu c khi giảng thầy chép nhầm đề bài, đang lúc nhìn ví dụ 1 thì có con gì bay vào mắt nên nhìn nhầm sang ví dụ 2, 
các em thông cảm cho thầy nhé. He he// 
Ví dụ 2. Cho hàm số 3 9= − +y x x 
Viết phương trình tiếp tuyến biêt tiêp tuyến 
b) tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: 3x + 23y + 2 = 0 
c) biết tiếp tuyến đi qua A(3; 0) đến đồ thị hàm số. 
Ví dụ 3. Cho hàm số 3 9= − +y x x 
Viết phương trình tiếp tuyến biêt tiêp tuyến kẻ từ O(0; 0) đến đồ thị hàm số. 
Ví dụ 4. CMR không có tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số 
1
=
+
xy
x
 đi qua giao điểm I của 2 đường tiệm cận. 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến trong các trường hợp sau: 
a) Biết tiếp tuyến đi qua 2 ; 1
3
 
− 
 
A đến đồ thị hàm số y = x3 – 3x + 1 
b) Kẻ từ A(0; 4) đến đồ thị hàm số ( )222 .= −y x 
Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm ( )1; 2−A đến đồ thị hàm số 2 .
2 1
+
=
−
xy
x
Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm ( )0; 1−A đến đồ thị hàm số 3 2 2.= + − +y x x x 
Đ/s: 4 1= −y x 
Tài liệu bài giảng: 
01. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P5 
Thầy Đặng Việt Hùng 
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ 
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 2 
Bài 4. Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm A(1; 4) đến đồ thị hàm số 3 22 3 1.= − + +y x x x 
Đ/s: 3 1= +y x 
Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm A(3; 4) đến đồ thị hàm số 3 2 5.= − + +y x x 
Đ/s: 7 0+ − =x y 
Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm 1 ;4
2
 
 
 
A đến đồ thị hàm số 4 22 3.= + −y x x 
Đ/s: 8 8= −y x 
Bài 7. Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm ( )1; 6−A đến đồ thị hàm số 1 .
2
+
=
+
xy
x
Đ/s: 3 3= − −y x 
Bài 8. Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm A(2; 2) đến đồ thị hàm số 2 3.
2
−
=
−
xy
x
Đ/s: 4= − +y x 
Hướng dẫn giải: 
Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến trong các trường hợp sau: 
a) Biết tiếp tuyến đi qua  − 
 
2 ; 1
3
A đến đồ thị hàm số y = x3 – 3x + 1 
Gọi d là đường thẳng qua 2 ; 1
3
 
− 
 
A và có hệ số góc k 2: 1.
3
 
→ = − − 
 
d y k x 
Để d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 – 3x + 1 thì hệ sau có nghiệm: 
( )
( )
3
2
23 1 1, 1
3
3 3, 2
  
− + = − − 
 

= −
x x k x
k x
Thế (2) lên (1) ta được ( )3 2 3 2 023 1 3 3 1 2 2 0 13
= 
− + = − − − ⇔ − = ⇔  
=  
x
x x x x x x
x

 Với 20 3 : 3 1 3 1
3
 
= ⇒ = − → = − − − ⇔ = − + 
 
x k d y x y x 

 Với 1 0 : 1.= ⇒ = → = −x k d y 
b) Tiếp tuyến kẻ từ A(0; 4) đến đồ thị hàm số ( )= − 222 .y x 
Gọi d là đường thẳng qua A(0; 4) và có hệ số góc k : 4.→ = +d y kx 
Để d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( )22 4 22 4 4= − = − +y x x x thì hệ sau có nghiệm: ( )( )
4 2
3
4 4 4, 1
4 8 , 2

− + = +

= −
x x kx
k x x
Ta có ( ) 4 2 3
0
1 4
4
=
⇔ − = ⇔ 
= −
x
x x kx
k x x

 Với ( )0, 2 0 : 4= ⇔ = → =x k d y 

 Với 
3
3 3 3 3
23
0
4
4 4 4 8 3 4 0 4 2
4 8 3 3
=
 = − 
= − → → − = − ⇔ − = ⇔  = ⇔ = ±= − 
xk x x
k x x x x x x x x
x xk x x
+ Nếu x = 0 thì ta được d : y = 4. 
+ Nếu 2 8 8 16 16: 4.
3 3 3 3 3 3 3 3
= ⇒ = − = − → = − +x k d y x 
+ Nếu 2 8 8 16 16: 4.
3 3 3 3 3 3 3 3
= − ⇒ = − + = → = +x k d y x 
Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm ( )−1; 2A đến đồ thị hàm số +=
−
2
.
2 1
xy
x
Gọi d là đường thẳng qua A(1; −2) và có hệ số góc k : ( 1) 2.→ = − −d y k x 
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ 
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 3 
Để d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2
2 1
+
=
−
xy
x
 thì hệ sau có nghiệm: 
( )
( ) ( )2
2 ( 1) 2, 1
2 1
5
, 2
2 1
+
= − −
−

−
 =
 −
x k x
x
k
x
Thay (2) lên (1) ta được ( ) ( )( ) ( ) ( )
2
2
2 5 ( 1) 2 2 2 1 5 1 2 2 1 0
2 1 2 1
+ −
= − − ⇔ + − + − + − =
−
−
x
x x x x x
x x
2 110 5 0
2
⇔ − = ⇔ = ±x x 

 Với ( ) ( )2
1 5 5 5
: 1 2
2 2 2 3 2 2 32 1
−
= ⇒ = = → = − −
− −
−
x k d y x 

 Với ( ) ( )2
1 5 5 5
: 1 2
2 3 2 2 3 2 22 1
− − −
= − ⇒ = = → = − −
+ +
− −
x k d y x 
Nhận xét : Ngoài cách giải trên, ta còn có thể thực hiện biến đổi hệ (1), (2) một cách linh hoạt hơn như sau : 
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )2
2
1 52 1
2 2 2 1 2 1 5 1 52 1 2 21 , 2 . 2 1 2
2 2 2 1 22 2 15
2 1

− +
= − − −
−
−⇔ → + = − − −
−
−
−
=
−
x k k
x kx x
x x
k
x
1 5 1 5 1 5 5 1 5
. . 2
2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 10
− −
⇔ + = − − − ⇔ = − − ⇔ =
− − − −
k k k
x x x x
Khi đó ( )
2 2
21 52 5. 5. 30 25 0 15 10 2
2 1 10
− −   
⇔ = − ⇔ = − ⇔ + + = ⇔ = − ±   
−   
kk k k k k
x
Từ đó ta được các tiếp tuyến cần tìm là ( )( )15 10 2 1 2.= − ± − −y x