Một số phương pháp sử dụng phương trình bậc hai để giải một số bài tập dạng khác

Đặt vấn đề
 	Dạy học giải các bài toán có tầm quan trong đặc biệt và từ lâu nó đã trở thành trung tâm của phương pháp truyền thụ kiến thức cho học sinh. Đối với học sinh việc giải toán xem là hình thức chủ yếu của việc học toán.
Việc giải bài toán là hình thức tốt nhất để củng cố, đào sâu hệ thống hoá kiến thức và rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo, đây cũng là hình thức tốt nhất để dẫn dắt học sinh đi đến kiến thức mới. Và là phương pháp tốt nhất để giáo viên kiểm tra học sinh và học sinh tự kiểm tra về năng lực, mức độ tiếp thu, vận dụng kiến thức của mình. Việc giải toán có tác dụng gây hứng thú học tập cho học sinh, khả năng tư duy và nâng cao kiến thức cơ bản về nhiều mặt.
Qua thực tế giảng dạy tôi thấy rằng: khi giải toán “phương trình quy về phương trình bậc hai” các em thường mắc phải những sai lầm: không biết đặt ẩn phụ, không biết chuyển dạng phương trình... Từ đó, tôi đưa ra “Một số phương pháp sử dụng phương trình bậc hai để giải một số bài tập dạng khác”. Nhằm giúp các em có định hướng và phần nào gây được hứng thú cho học sinh khi gặp các dạng toán này.
Trong chương trình phổ thông chúng ta thường gặp các bài toán có thể đưa được về dạng phương trình bậc hai như:
 - Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
 - Phương trình vô tỷ.
 - Hệ phương trình.
- Phương trình hữu tỷ.
- Phương trình bậc ba.
- Phương trình bậc bốn. 
 Trong bản sáng kiến này tôi đưa ra một số ví dụ có tính chất minh hoạ nhằm thấy được hiệu quả, vai trò của phương trình bậc 2 trong giải toán .
Quá trình thực hiện
I- Sử dụng phương trình bậc hai giải Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối:
Cách 1: Sử dụng các phép biến đổi tương đương, bao gồm:
 Với Hoặc 
Cách 2: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
 (1)
 Giải
 Phương trình (1) tương đương với
Vậy phương trình có ba nghiệm phân biệt: x = và x =
Ví dụ 2 : Giải phương trình 
 Lưu ý: Học sinh gặp khó khăn là khử dấu giá trị tuyệt đối.
 Giải
 Ta khử dấu giá trị tuyệt đối:
 + Nếu x2- 3x + 2 = x - 2 x2- 3x + 20(*)
 Lúc đó: x2 - 3x + 2 = x - 2
 x2- 4x + 4 = 0 (x-2)2= 0 x = 2 thoả mãn (*)
 + Nếu -x2+ 3x - 2 = x-2 x2 - 3x + 2 0(**)
 Lúc đó: -x2+ 3x - 2 = x - 2 x2 - 2x = 0 x (x- 2) = 0
 x1= 0, x2 = 2 không thoả mãn (**).
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.
Ví dụ 3: Giải phương trình:
 x4- 4x2 + 5 = -8(1)
 Giải
 (1) x4- 4x2 + 4 + 4 + 5 = 0
 ( x4- 4x2+ 4) + 5 + 4 = 0
 (x2-2)2 + 5+ 4 = 0(2)
 Đặt t = 
 Lúc đó (2) t2 + 5t + 4 = 0
 Phương trình có dạng: a - b + c = 1 - 5 + 4 = 0
 t1 = -1 (Loại)
 t2 = (Loại)
 Vậy phương trình vô nghiệm
Ví dụ 4: Giải phương trình: (x-1)2 + 4 + 3 = 0
 Giải
 Đặt t = , điều kiện t0
 Khi đó phương trình được biến đổi về dạng:
 t2 + 4t + 3 = 0 ta có t = -1 (loại ) còn t = 3 (Thỏa mãn)
 Khi đó = 3 
 Vậy phương trình có 2 nghiệm là x = 4 và x = -2.
Một số bài toán áp dụng: 
 Giải phương trình: a> 
 b> 
 c> 
 d> 
II- sử dụng Phương trình bậc hai giải phương trình vô tỷ. 
Phương pháp thường dùng là biến phương trình đã cho thành phương trình tương đương bằng cách luỹ thừa cả hai vế để giảm bớt căn thức.
Phương pháp đặt ẩn phụ
Học sinh hay mắc phải trong việc lấy điều kiện để hạn chế những nghiệm không thích hợp.
Ví dụ 1:
 Giải phương trình: 
 Giải
 Điều kiện: 
 Phương trình viết lại dưới dạng:
 (TM)
Vậy phương trình có nghiệm x = 0.
Ví dụ 2 :
 Giải phương trình: 
 Giải
 Điều kiện để phương trình có nghĩa là:
 Hay là x 1
Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương với phương trình:
 ()2=()2
 x + 2 = 2
 (x + 2)2 = (2)2
 (x + 2)2 = 4(x- 1)( 3x - 2)
 11x2 - 24x + 4 = 0
 144 - 44 = 100
 x1= 2 (TMĐK)
 x2 = (Loại)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x = 2
 Ví dụ 3: Giải phương trình: (*)
 Giải: 
 Đặt t = điều kiện t và x 2
 (*)t2- 5t + 6 = 0
 Vì t1 + t2 = 5 và t1.t2 = 6 t1 = 2, t2 = 3
 Khi t = 2 = 2 x -2 = 4 x = 6 (Nhận)
 Khi t = 3 = 3 x - 2 = 9 x = 11(Nhận)
 Vậy nghiệm phương trình là: x = 6, x = 11.
Ví dụ 4:
 Giải phương trình: 
 Giải
Điều kiện: x0, - (1).
	Đặt (2) thì 2 - x2 = y2 .
	Khi đó ta có: x2 + y2 = 2 và 
	Đặt S = x + y, P = xy, các điều kiện trên trở thành S2 - 2P = 2 và S = 2P.
	Dễ dàng tìm được P = 1, S = 2 và P = -, S = -1.
	Với P = 1, S = 2 thì x, y là nghiệm của X2 - 2X + 1 = 0.
	Ta được X = 1, do đó x = 1, y = 1 thỏa mãn (1) và (2).
	Với P = -, S = -1 thì x, y là nghiệm của 2X2 + 2X -1 = 0.
	Ta được X = . Do y > 0 nên x = , y = .
Vậy nghiệm của phương trình là: x = 1; x = .
Một số bài tập áp dụng:
 Giải phương trình: a> 2x - x2 + =0
 b> = 7
 c> 
III- sử dụng phương trình bậc hai giải Hệ phương trình 
Để giải hệ phương trình ta phải dùng phương pháp thế sau đó thay vào và giải phương trình bậc hai .
Cách khác cũng có thể đặt ẩn phụ.
Ví dụ 1:
 Cho hệ phương trình: 
 Với những giá trị nào của a thì:
 a> Hệ có nghiệm duy nhất.
 b> Hệ có hai nghiệm phân biệt.
 Giải
 Từ (1) ta có x = 6 - y
 Thay giá trị x vào phương trình (2) ta có:
 2y2- 12y + 36 - a = 0(*)
 Với số nghiệm của hệ phương trình đã cho tương ứng với số nghiệm của phương trình (*).
 Vậy: a>Hệ đã cho có nghiệm duy nhất khi (*) có nghiệm duy nhất.
 Hay = 0 a =18
 Nghiệm phương trình (*) là: y1= y2=
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: .
b> Hệ đã cho có hai nghiệm phân biệt khi (*) có hai nghiệm phân biệt.
 Hay > 0 a > 18
Vậy: khi a = 18 thì hệ có nghiệm duy nhất
 Khi a > 18 thì hệ có hai nghiệm phân biệt.
Ví dụ 2: Giải hệ (I) 
 Giải
 Lập phương hai vế của phương trình (2) ta có:
 ()3= 43 x + y + 3() = 64
 x + y + 3.4 = 64 x + y = 28
 Ta có hệ (II) 
 Từ (3) ta có y = 28 - x thay vào (4) ta được
 x( 28 - x ) = 27 x2- 28x + 27 = 0
 Có dạng a + b + c = 1 - 28 + 27 = 0
 x1=1; x2 = 27
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: và 
Ví dụ 3: 
 Giải hệ phương trình: 
 Giải
 Đặt y= tx thay vào hệ phương trình ta có:
Từ (1) ta có x2 = thay vào phương trình (2) ta được
 216t2 - 291t - 115 = 0
 = (-291)2 - 4.216.(- 115) = 184041 > 0 
 t1= ; t2 = 
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
 * t1= ; 
* t2= ; 
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: 
 Giải 
 Để ý rằng x4 + y4 = [(x + y )2 - 2xy]2 - 2x2y2
 Đặt S = x + y, P = xy ta có hệ: 
Giải hệ ta tìm được S = 2, P = -3 Hoặc S = 2, P =11
Nếu S = 2, P = -3 khi đó x và y là nghiệm của: X2 - 2X - 3 = 0
 Ta có: > 0
 Ta được hoặc 
Nếu S = 2, P = 11 khi đó x, y là nghiệm của: X2 - 2X + 11 = 0
Ta có: < 0. vô nghiệm 
Vậy hê phương trình có nghiệm là: hoặc .
Một số bài tập áp dụng: 
Giải hệ phương trình: a> 
 b> 
IV- sử dụng phương trình bậc hai giải Phương trinh hữu tỷ.
 Trong cách giải phần này học sinh hay nhầm khi xét lấy điều kiện và khó khăn trong việc tìm mẫu thức chung . Khi giải cần phải tập cho học sinh thói quen trong việc lấy điều kiện và xét điều kiện .
 Muốn giải phương trình này ta cần thực hiện:
 *Đặt điều kiện để mẫu số khác không.
 *Quy đồng mẫu số, trục mẫu và rút gọn.
Đặt ẩn phụ rồi giải phương trình mới (giải phương trình bậc hai).
Ví dụ 1:
Giải phương trình: 
Giải
 ĐK: x- 4 và x
 (x + 4)2 + ( 2x - 3 )2 = 2( 2x - 3 )( x + 4)
 x2 - 14x + 49 = 0 
 = 49 - 49 = 0 x1 = x2 = 7 (TMĐK)
Vậy nghiệm phương trình là: x = 7.
Ví dụ 2: Giải phương trình: 
 Giải.
 ĐK: x0; x -1; x -2
Vì (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 nên ta đặt x( x + 2) = y thì phương trình trở thành
 Với điều kiện trên thì y và y + 1 đều khác 0 Khử mẫu số
 ta có: 12(y + 1 - y) = y( y + 1)
 y2 + y - 12 = 0(*)
 = 1 + 4.12 = 49 
 Phương trình (*) có 2 nghiệm: y1= 3; y2= -4
 +/ y = 3 x2 + 2x = 3 x2 + 2x - 3 = 0 (1)
 Phương trình (1) có 2 nghiệm: x1= 1; x2= -3
 +/ y = -4 x2 + 2x = -4 x2 + 2x + 4 = 0 
 < 0 nên phương trình vô nghiệm.
 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x1= 1; x2 = -3
Ví dụ 3: Giải phương trình: 
Lưu ý HS: Khi giải bài này cần chú y đổi dấu để đưa về x2- 4
 Giải
 Điều kiện: x 2 và x -2
(*) = 0.
 (x2 + 6)2 - ( 5x )2 = 0
 (x2 + 5x + 6)( x2- 5x + 6) = 0
 Giải (1) ta có: x1= -2 (Loại)
 x2= -3 (Nhận)
 Giải (2) ta có: x3= 3 (Nhận)
 x4= 2 (Loại)
 Vậy phương trình có nghiệm là: x1= -3; x2= 3.
Ví dụ 4: Giải phương trình: 
 Giải
 Cách 1> Điều kiện: x0.
2(x2+1)2+2x2= -5x(x2+1)
 2x4+4x2+2+2x2+5x3+5x = 0
2x2(x2+2x+1)+x(x2+2x+1)+2(x2+2x+1) = 0
( x2+2x+1)(2x2+x+2) = 0
Phương trình: x2+ 2x + 1(x+1)2 = 0 Phương trình có nghiệm x = -1(TMĐK).
Phương trình: 2x2+x + 2 = 0 có = 1- 16 = -15 < 0 nên phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là x = -1.
 Cách 2: Ta đặt thì rồi giải y sau đó giải x để tìm nghiệm.
 */ Dạng phương trình chứa ẩn ở mẫu và phương trình có chứa tham số.
Ví dụ:
 Giải phương trình: (*)
Lưu ý HS khi giải phương trình này cân phải lấy nghiệm của tham số m.
 Giải
 Điều kiện: 
Phương trình (*) 
 x2 + 2x - 2mx - 2m = 3 - m2
 x2 + 2( 1 - m)x + m2 - 2m -3 = 0 (1)
 Nghiệm của phưong trình (*) là nghiệm của phưong trình (1) thoả mãn điều kiện trên.
 Phương trình (1) có 2 nghiệm là:
 x1= m + 1; x2= m - 3 
 Để (*) có nghiệm ta phải loại giá trị của m để x-1; x-2 và m0
Ta thấy với 
 x1= m + 1= -2 m = -3 khi đó x2 = -6
 x1= m + 1 = -1 m = -2 khi đó x2 = -5
 x2= m - 3 = -2 m = 1 khi đó x1 = 2
 x2= m - 3 = -1 m = 2 khi đó x1 = 3
 Vậy với m = -3 thì x = -6 là nghiệm 
 m = -2 thì x = -5 là nghiệm
 m = 1 thì x = 2 là nghiệm
 m = 2 thì x = 3 là nghiệm
 m = 0 thì phương trình vô nghiệm.
 Với m0; m-3; m-2; m2; m1 thì phương trình đã cho có nghiệm là:
 x1= m + 1; x2= m - 3 
Một số bài tập áp dụng: 
Giải phương trình: a> x2 + 
 b> 
 c> 
V- sử dụng Phương trình bậc hai giải phương trình bậc ba.
1> Phương trình có dạng:
 ax3 + bx2 + cx + d = 0 có hai tính chất sau để áp dụng:
 1- Nếu a + b + c + d = 0 thì phương trình có 1 nghiệm x = 1.
 2- Nếu a - b + c - d = 0 thì phương trình có 1 nghiệm x = -1
 3- Nếu a,b,c,d nguyên thì phương trình có nghiệm hữu tỷ thì p, q theo thứ tự
 là ước của d và a.
 4 - Nếu ac2 = bd2 (a,d 0) thì phương trình có nghiệm x= 
Đoán nhận được một nghiệm ta có thể phân tích ra các thừa số.
 Ví dụ 1:
 Giải phương trình: x3- 3x2 + 4x - 2 = 0 (**)
 Giải
 Ta thấy a + b + c + d = 1 - 3 + 4 - 2 = 0 do đó phương trình có một nghiệm x = 1
 Phương trinh (**)( x- 1)( x2 - 2x + 2 ) = 0
 Với x-1 = 0 x = 1
 Với x2 - 2x +2 = 0 ta có Phương trình vô nghiệm.
 Vậy phương trình (**) chỉ có một nghiệm x = 1.
Ví dụ 2:
 Giải phương trình: 2x3 + 4x2 +3x + 1 = 0 (1)
 Giải
 Ta thấy có dạng: a - b + c - d = 2 - 4 + 3 - 1 = 0 
 Nên phương trình có một nghiệm là: x= -1
 Lúc đó (1) ( x + 1 ) ( 2x2 + 2x + 1 ) = 0
 * Với x + 1 = 0 x = - 1
 * Với 2x2 + 2x + 1 = 0 ta có Phương trình vô nghiệm
Vậy phương trình (1) có nghiệm là: x = -1.
Ví dụ 3: 
 Giải phương trình: x3 + x2 -x - 2= 0.
Giải.
 Nhận xét rằng: ac3 = 1(-)3 = -2 = bd3.
 Do đó phương trình có nghiệm x = = .
 Biến đổi phương trình về dạng: ( x - ) [ x2 + (+1)x + 2] = 0
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: x= .
2> Phương trình dạng chứa tham số.
Có thể coi tham số là ẩn để thực hiện việc phân tích đa thức.
Ví dụ:
Xác định m để phương trình: m2x3 - 3mx2 + (m2 + 2)x - m = 0 (1)
 Có ba nghiệm phân biệt.
 Giải.
Viết lại phương trình về dạng: (x3 + x)m2 - (3x2 + 1)m + 2x = 0
Coi m là ẩn và x là tham số ta được phương trình bậc hai theo m.
Giải ra ta được: m = hoặc m = .
Do đó phương trình được chuyển về dạng:
 (mx - 1) ( mx2 - 2x + m ) = 0 
Phương trình có ba nghiệm phân biệt 
 	Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác .
Vậy với m phương trình có ba nghiệm phân biệt.
Một số bài toán áp dụng: 
Giải phương trình: a> 4x3 - 9x2 + 6x - 1 = 0
 b> 2x3 + x2 - 5x + 2 = 0
 c> 2x3 + x + 3 = 0
 d> 2x3 - 9x + 2 = 0.
Cho phương trình: 
 mx3 + (3m - 4) x2 + ( 3m - 7)x + m - 3 = 0
Giải phương trình với m = 3.
Xác định m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt không dương. 
VI- sử dụng Phương trình bậc hai giải phương trình bậc bốn.
1> Phương trình dạng trùng phương .
 Để giải phương trình: ax4 + bx2 + c = 0 (1) ta thực hiện các bước sau.
Bước 1: Đặt x2 = t với điều kiện t 0
Bước 2: Khi đó phương trình được biến đổi về dạng:
 at2 + bt + c = 0 (2)
Bước 3: Giải (2) để tìm nghiệm t, từ đó suy ra nghiệm x cho phương trình.
Ví dụ : 
Giải phương trình: x4 - 3x2 - 4 = 0 (*)
 Giải
 Đặt t = x2, điều kiện t 0
 Khi đó phương trình (*) biến đổi về dạng:
 t2 - 3 t - 4 = 0 
	 Với t = 4 x2 = 4 x1 = 2 , x2 = -2
Vậy phương trình có nghiệm là: x1 = 2 , x2 = -2.
2> Phương trình dạng.
(x + a)( x + b)( x + c)( x + d) = m
Với a + b = c + d hoặc a + c = b + d hoặc a + d = b + c 
Ta thực hiện các bước:
Bước 1: Viết lại phương trình dưới dạng:
 [x2 + (a+b)x + ab] [x2 + ( c + d )x +cd ] = m (1)
Bước 2: Đặt t = x2 + (a + b)x + ab x2 + ( c + d) + cd = t - ab + cd
 Khi đó phương trình (1) có dạng: 
 t(t - ab + cd) = m
 t2 - ( ab - cd)t - m = 0
Ví dụ : 
Giải phương trình: ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) = 3(*)
 Giải 
 Phương trình (*)( x + 1)( x + 4)( x + 2)( x + 3) = 3
 ( x2 + 5x + 4)( x2 + 5x + 6) = 3
 Đặt ( x2 + 5x + 4) = t ta được t (t + 2) = 3 t2 + 2t - 3 = 0
 = 1 + 3 = 4 > 0
 t1=; t2= 
 a> Với t = 1 ta có: x2 + 5x + 4 = 1 x2 + 5x + 3 = 0
 = 25 - 12 = 13 > 0 
Nghiệm của phương trinh là: x1= ; x2 = 
 b> Với t = -3 ta có x2 + 5x + 4 = -3 x2 + 5x + 7 = 0
 = 25 - 28 = -3 < 0
 Phương trình vô nghiệm.
 Vậy phương trình (*) có nghiệm là: x1= ; x2 = .
3> Phương trình có dạng.
ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 (*)
Cách giải: Chia hai vế phương trình cho x2 ta có.
 (*)ax2 + bx + c +
 a (x2 + ) + b ( x + ) + c = 0 (1)
 Đặt x + = y với ; y2= x2 + 2 + x2 + = y2 - 2
 Vậy (1) a (y2-2) + by + c = 0
Giải phương trình bậc hai ẩn y rồi xét thêm điều kiện để tìm x.
Nếu a = 0 khi đó phương trình trở thành bx3 + cx2 + bx = 0
 x(bx2 + cx+ b) = 0 
 Giải phương trình (1) tìm được nghiệm x.
Ví dụ:
 Giải phương trình: x4 + 5x3 -12x2 +5x +1 = 0 (1)
Giải
Chú ý x= 0 không phải là nghiệm của phương trình chia cả hai vế phương trình cho x2 ta được phương trình (1) (x2 +) +5 (x + ) -12 = 0
 Đặt x + = t ta có điều kiện (x2 +) = t2 - 2
 Khi đó phương trình (1) có dạng: t2 + 5t -14 = 0
 = 25 + 96 = 121 > 0 = 11
 Phương trình này cho ta hai nghiệm: t1 = 2; t2 = -7 (TMĐK)
 	a> Với t = 2 ta có x + = 2 hay x2 - 2x + 1 = 0
 x1,2=1
 	b> Với t = -7 ta có x + = -7 hay x2 +7x + 1 = 0
 = 49 - 4 = 45 > 0 =3
 x1 =; x2 = 
Vậy phương trình (1) có các nghiệm là:
 	 x1,2= 1; x1 =; x2 = 
4> Phương trình có dạng .
 ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 (**)
Bằng cách sử dụng ẩn phụ bậc hai, ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng:
 A(x2 + b1x + c1)2 + B(x2 + b1x + c1) + C =0
Bước 2: Đặt t = x2 + b1x + c1, khi đó phương trình được chuyển về dạng:
 At2 + Bt + C = 0
Ví dụ:	Giải phương trình: x4 - 8x3 +7x2 +36x -36 = 0 (1) 
 Giải
 Viết lại phương trình dạng: ( x2 - 4x)2 - 9 (x2 - 4x) + 36 = 0
 Đặt t = x2 - 4x Khi đó phương trình có dạng: t2 - 9t + 36 = 0
 Với t = 12 ta được x2 - 4 x = 12 x2 - 4x -12 =0 
 Với t = - 3 ta được:
 x- 4x = -3x2 - 4x + 3 = 0 
Vậy phương trình có bốn nghiệm phân biệt: x= 1, x = -2, x= 6, x=3.
5> Phương trình có dạng .
 ( x + a)4 + ( x + b )4 = c
 Để giải phương trình ta thực hiện các bước sau:
 	Bước 1: Đặt t = x + suy ra 
 Khi đó phương trình có dạng 
 2t4 + 12()2.t2 + 2 ()4 = c
Bước 2: Đặt u = t2 điều kiện u 0 khi đó phương trình có dạng 
 2u2 + 12()2.u + 2 ()4 = c (1)
 Bước 3: Giải (1) nhận được nghiệm u, từ đó suy ra nghiệm t rồi tìm x.
Ví dụ: Cho phương trình: ( x + 1)4 + ( x + 3)4 = 2m (1)
Giải phương trình với m = 1.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt .
 Giải
Đặt t = x + = x + 2, suy ra 
Khi đó phương trình (1) chuyển về dạng:
( t -1 ) 4 + ( t + 1)4 = 2m 2t4 + 12t2 + 2 = 2m
 t4 + 6t2 + 1 - m = 0 (2)
Đặt u = t2, điều kiện u 0.
Khi đó phương trình (2) được chuyển về dạng:
f(u)= u2 + 6u +1 - m = 0
Với m = 1 ta có 
 u2 + 6u = 0 . Do u 0 nên u = - 6 (loại)
Khi u = 0 t2 = 0 x + 2 = 0 x = -2
Vậy với m = 1 phương trình có nghiệm x = -2
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, điều kiện là (3) phải có hai nghiệm trái dấu P 1.
Vậy với m > 1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Một số bài tập áp dụng:
Giải phương trình: 
 a> 4x4 - 5x2 + 1 = 0
b>( x - 1 )( x + 1 )( x + 3)(x + 5) = 9
x4 + 3x3 - x2 - 3x + 1 = 0
( x2 - 2x + 3)2 - ( x2 - 2x ) - 5 = 0
( x + 3 )4 + ( x + 5 )4 = 2.
Kết quả khi thực hiện.
 Sau khi thực hiện đề tài này đã đem lại cho học sinh hứng thú học tâp. Quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh rất say mê giải bài và hỏi bài, những chỗ chưa hiểu học sinh rất phấn khởi khi tìm ra lời giải cho một bài toán với những cách giải khác nhau. Trong lần này tôi đã tìm tòi và tham khảo một số tài liệu để bổ sung thêm về phương pháp sử dụng phương trình bậc hai để giải các phương trình bậc cao. 
Kết luận
 	Dạy học giải các bài tập ở trường trung học cơ sở không chỉ nhằm củng cố, khắc sâu kiến thức đã học cho học sinh mà còn giúp các em có phát triển khả năng tư duy sáng tạo, biết vận dụng kiến thức đó vào thực tế cuộc sống. Qua bài học giải phương trình bậc hai và các bài toán giải phương trình quy về phương trình bậc hai đã đem lại cho học sinh và giáo viên hứng thú, phát huy hết khả năng của mình trong khi giải các bài tập.
 	 Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ của tôi, đây là bản sáng kiến kinh nghiệm mà tôi đã viết và sửa lại sau khi nghiên cứu thêm cùng với sự cố vân của ban giám khảo, chắc chắn còn thiếu sót nhiều nên rất mong được sự góp ý của người đọc để tôi tích luỹ thêm kinh nghiệm cho bản thân trong việc giảng dạy.