Toán học - Phương trình không mẫu mực

Phương trỡnh khụng mẫu mực Trần Xuõn Bang- GV Trường THPT Chuyờn Quảng Bỡnh 
Trần Xuõn Bang- GV Trường THPT Chuyờn Quảng Bỡnh Phương trỡnh khụng mẫu mực 
1
PHƯƠNG TRèNH KHễNG MẪU MỰC 
 Ta xem phương trỡnh khụng mẫu mực những phương trỡnh khụng thể biến ủổi 
tương tương, hoặc biến ủổi hệ quả từ ủầu cho ủến khi kết thỳc. Một sự phõn loại 
như thế chỉ cú tớnh tương ủối. 
I. PHƯƠNG TRèNH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ðẶT ẨN PHỤ. 
 1. Mục ủớch ủặt ẩn phụ. 
 1.1. Hạ bậc một số phương trỡnh bậc cao. 
• ðưa một số phương trỡnh bậc 4 về phương trỡnh trựng phương. 
Phương trỡnh bậc bốn: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 ( a ≠ 0 ) ủưa về ủược phương 
trỡnh trựng phương chỉ khi ủồ thị hàm số: 
f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e 
cú trục ủối xứng. Gọi x = x0 là trục ủối xứng. Phộp ủặt ẩn phụ x = x0 + X sẽ ủưa 
phương trỡnh ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 về phương trỡnh trựng phương. 
Vớ dụ 1: Giải phương trỡnh x4 - 4x3 - 2x2 + 12x - 1 = 0 
Giải. ðặt y = x4 - 4x3 - 2x2 + 12x - 1 
Giả sử ủường thẳng x = x0 là trục ủối xứng của ủồ thị hàm số. 
Khi ủú qua phộp biến ủổi: 0x x X
y Y
= +

=
hàm số ủó cho trở thành: 
Y = (x0 + X)4 - 4(x0 + X)3 - 2(x0 + X)2 + 12(x0 + X) - 1 
 = 
4 3 2 2 3 4
0 04 6 4o ox x X x X x X X+ + + + - 
 - 
3 2 2 3
0 0 04 12 12 4x x X x X X− − − - 
 - 
2 2
0 02 4 2x x X X− − + 
012 12
1
x X+ + −
−
Y là hàm số chẵn của X 03 2
0 0 0
4 4 0
4 12 4 12 0
x
x x x
− =
⇔ 
− − + =
Suy ra: x0 = 1 và Y = X4 - 8X2 + 6 
Phương trỡnh ủó cho tương ủương với: X4 - 8X2 + 6 = 0 ⇔ X2 = 4 10± 
 ⇔ X = 4 10± − , X = 4 10± + 
Suy ra phương trỡnh cú 4 nghiệm: x = 1 4 10± − , x = 1 4 10± + 
Vớ dụ 2: Giải phương trỡnh x4 + 8x3 + 12x2 - 16x + 3 = 0 
Giải. ðặt y = x4 + 8x3 + 12x2 - 16x + 3. 
Giả sử ủường thẳng x = x0 là trục ủối xứng của ủồ thị hàm số. 
www.VNMATH.com
Phương trỡnh khụng mẫu mực Trần Xuõn Bang- GV Trường THPT Chuyờn Quảng Bỡnh 
Trần Xuõn Bang- GV Trường THPT Chuyờn Quảng Bỡnh Phương trỡnh khụng mẫu mực 
2
Khi ủú qua phộp biến ủổi: 0x x X
y Y
= +

=
hàm số ủó cho trở thành: 
Y = (x0 + X)4 + 8(x0 + X)3 + 12(x0 + X)2 - 16(x0 + X) + 3 = 
 = 
4 3 2 2 3 4
0 04 6 4o ox x X x X x X X+ + + + - 
3 2 2 3
0 0 08 24 24 8x x X x X X+ + + + + 
2 2
0 012 24 12x x X X+ + + + 
016 16
3
x X− − +
+
Y là hàm số chẵn, suy ra: x0 = - 2 
Y = X4 - 12X2 + 35 
Y = 0 ⇔ X2 = 5, X2 = 7 ⇔ X = 5± , X = 7± 
Suy ra bốn nghiệm X = - 2 5± , X = - 2 7± 
Bài tập tương tự: 
 BT1. Giải phương trỡnh 2x4 - 16x3 + 43x2 - 44x + 14 = 0 
 ðSố: x = 2 1
2
± , x = 2 2± . 
 BT2. Giải phương trỡnh 6x4 + 24x3 + 23x2 - 2x - 1 = 0 
 ðSố: x = - 1 2
3
± , x = - 1 3
2
± . 
• ðưa phương trỡnh bậc bốn dạng: (x - a)(x - b)(x - c)(x - d) = m, trong ủú a + d 
= b + c về phương trỡnh bậc hai. 
Do a + d = b + c nờn phương trỡnh ủó cho tương ủương: 
(x - a)(x - d)(x - b)(x - c) = m ⇔ [x2 - (a+d)x + ad] [x2 - (b+c)x + bc] = m 
2 2
( )( )
( ) ( )
X ad X bc m
x a d x X x b c x
+ + =
⇔ 
− + = = − + 
Phương trỡnh ủó cho chuyển ủược chuyển về: (X + ad)(X + bc) = m 
 ⇔ X2 + (ad + bc)X + abcd - m = 0 
Vớ dụ 1: Giải phương trỡnh (x - 1)(x - 2)(x + 3)(x + 4) = 14. 
Giải. Phương trỡnh ủẫ cho tương ủương với: 
 (x - 1)(x + 3)(x - 2)(x + 4) = 14 
 ⇔ (x2 + 2x - 3)(x2 + 2x - 8) = 14 
2
( 3)( 8) 14
2
X X
x x X
− − =
⇔ 
+ = ⇔ 
2
2
11 10 0
2
X X
x x X
 − + =

+ =
⇔ 2
1, 10
2
X X
x x X
= =

+ =
 ⇔ x = - 1 2± , x = - 1 11± . 
www.VNMATH.com
Phương trỡnh khụng mẫu mực Trần Xuõn Bang- GV Trường THPT Chuyờn Quảng Bỡnh 
Trần Xuõn Bang- GV Trường THPT Chuyờn Quảng Bỡnh Phương trỡnh khụng mẫu mực 
3
Vớ dụ 2: Giải phương trỡnh (x2 - 1)(x + 2)(x + 4) = 7 
Giải. Phương trỡnh ủẫ cho tương ủương với: 
 (x - 1)(x + 4)(x + 1)(x + 2) = 7 
 ⇔ (x2 + 3x - 4)(x2 + 3x + 2) = 7 
2
( 4)( 2) 7
3
X X
x x X
− + =
⇔ 
+ = ⇔ 
2
2
2 15 0
3
X X
x x X
 − − =

+ =
⇔ 2
3, 5
3
X X
x x X
= − =

+ =
⇔ x = 
3 29
2
− ±
Vớ dụ 3: Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của tham số m ủể phương trỡnh sau: 
 (x2 - 1)(x + 3)(x + 5) = m 
 a) Cú nghiệm. 
 b) Cú bốn nghiệm phõn biệt. 
Giải. Phương trỡnh ủẫ cho tương ủương với: 
 (x - 1)(x + 5)(x + 1)(x + 3) = m 
 ⇔ (x2 + 4x - 5)(x2 + 4x + 3) = m 
2
( 5)( 3)
4
X X m
x x X
− + =
⇔ 
+ = ⇔ 
2
2
2 15 (1)
4 (2)
X X m
x x X
 − − =

+ =
 a) Phương trỡnh (2) cú nghiệm ⇔ X ≥ - 4 
Phương trỡnh ủó cho cú nghiệm chỉ khi phương trỡnh (1) cú nghiệm X ≥ - 4. 
Cỏch 1: Phương trỡnh (1) cú nghiệm X ≥ - 4 
( 4) 0
' 0
( 4) 0
4
2
f
f
b
a
− ≤


∆ ≥
⇔ 
− ≥− ≥ −
 ⇔ m ≥ - 16 
Cỏch 2: Hàm số f(X) = X2 - 2X - 15 , X ≥ - 4 cú f '(X) = 2X - 2. f(X) liờn tục trờn 
[- 4; + ∞ ) và cú cực tiểu duy nhất trờn ủú tại X = 1. 
 Suy ra, trờn [- 4; + ∞ ) ta cú min f(X) = f(1) = - 16. Vậy phương trỡnh (1) cú 
nghiệm X ≥ - 4 khi m ≥ - 16. 
 b) 4 nghiệm phõn biệt ? 
Thấy ngay là cỏc phương trỡnh x2 + 4x = X1, x2 + 4x = X2 cú nghiệm trựng nhau khi 
và chỉ khi X1 = X2. Do vậy phương trỡnh ủó cho cú 4 nghiệm phõn biệt khi và chỉ 
khi phương trỡnh (1) cú hai nghiệm phõn biệt X1 > X2 ≥ - 4. 
www.VNMATH.com
Phương trỡnh khụng mẫu mực Trần Xuõn Bang- GV Trường THPT Chuyờn Quảng Bỡnh 
Trần Xuõn Bang- GV Trường THPT Chuyờn Quảng Bỡnh Phương trỡnh khụng mẫu mực 
4
Cỏch 1. Ta phải cú: 
' 0
( 4) 0
4
2
f
b
a

∆ >

− ≥

− > −

 ⇔ - 16 < m ≤ 9 
Cỏch 2: Hàm số f(X) = X2 - 2X - 15 , X ≥ - 4 cú f '(X) = 2X - 2. 
X - 4 1 
+ ∞ 
f '(X) - 0 + 
f(X) 
 9 
+ ∞ 
 - 16 
Bài tập tương tự: 
 BT1. Giải phương trỡnh x4 - 2x3 - 7x2 + 8x + 7 = 0. 
HD. Tỡm a, b: (x2 - x + a)(x2 - x + b) = x4 - 2x3 - 7x2 + 8x + 7. ðặt x2 - x = t 
 BT2. Cho phương trỡnh (x + 1)(x + 2)(x + 3)( x + 4) = m. 
• ðưa phương trỡnh bậc bốn dạng: ax4 + bx3+ cx2 + bx + a = 0(a ≠ 0) 
Thấy ngay x = 0 khụng thoả phương trỡnh. 
Chia hai vế của phương trỡnh cho x2: 
Phương trỡnh ủó cho tương ủương : ax2 + bx + c + b 1
x
 + a 2
1
x
 = 0 
2
2
1 1( ) 0a x b x c
x x
 
⇔ + + + + = 
 
 ( )2 2 0a X bX c⇔ − + + = , 
trong ủú X = x + 1
x
 hay x2 - Xx + 1 = 0, 2X ≥ 
VD1. Giải phương trỡnh 2x4 + 3x3 - 10x2 + 3x + 2 = 0. 
2
2
1 12 3( ) 10 0x x
x x
 
⇔ + + + − = 
 
( )22 2 3 10 0X X⇔ − + − = 22 3 14 0X X⇔ + − = 
72,
2
X X⇔ = = − , trong ủú X = x + 1
x
 hay x2 - Xx + 1 = 0, 2X ≥ 
 i) X = 2: x2 - 2x + 1 = 0 ⇔ x = 1 
 ii) X = - 7
2
: 2x2 + 7x + 2 = 0 ⇔ 7 33
4
− ±
VD2. Cho phương trỡnh x4 + hx3 - x2 + hx + 1 = 0. 
Tỡm h ủể phương trỡnh cú khụng ớt hơn hai nghiệm õm phõn biệt. 
www.VNMATH.com
Phương trỡnh khụng mẫu mực Trần Xuõn Bang- GV Trường THPT Chuyờn Quảng Bỡnh 
Trần Xuõn Bang- GV Trường THPT Chuyờn Quảng Bỡnh Phương trỡnh khụng mẫu mực 
5
Giải. 2 2
1 1( ) 1 0x h x
x x
 
⇔ + + + − = 
 
( )2 2 1 0X hX⇔ − + − = 2 3 0X hX⇔ + − = (1), trong ủú 
X = x + 1
x
 hay x2 - Xx + 1 = 0 (2) , 2X ≥ . 
Cỏch 1. Phương trỡnh (2) nếu 2X ≥ thỡ cú hai nghiệm cựng dấu. Nờn muốn cú 
nghiệm õm thỡ 
- b/a = X < 0. Suy ra X ≤ - 2. Nhưng (1) luụn luụn cú hai nghiệm X1 < 0 < X2 nờn 
chỉ mang về cho (2) ủược X1. Vậy X1 < - 2 < 0 < X2. Khi ủú f(- 2) < 0, f(X) = 
2 3X hX+ − 
1 2 0h⇔ − < 1
2
h⇔ > . 
Cỏch 2. (1) ⇔
23 Xh
X
−
= , 2X ≥ 
ðặt 
23( ) Xf X
X
−
= , 2X ≥ ⇒
2 2
2
3 3
'( ) 0,X Xf X
X X
− − −
= = < 2X ≥ 
X - ∞ - 2 2 
+ ∞ 
f '(X) - - 
f(X) + ∞ - 
1
2
1
2
- ∞ 
Phương trỡnh (2) nếu 2X ≥ thỡ cú hai nghiệm cựng dấu. Nờn muốn cú nghiệm õm 
thỡ 
- b/a = X < 0. Suy ra X ≤ - 2. Nhưng (1) luụn luụn cú hai nghiệm X1 < 0 < X2 nờn 
chỉ mang về cho (2) ủược X1. Vậy X1 . 
Bài tập tương tự: 
 BT1. Giải phương trỡnh 2x4 - 5x3 + 2x2 - 5x + 2 = 0. 
 BT2. Cho phương trỡnh x4 + mx3 - 2x2 + mx + 1 = 0. 
Tỡm m ủể phương trỡnh cú khụng ớt hơn hai nghiệm dương phõn biệt. 
 1.2. Làm mất căn thức. 
VD1. Giải phương trỡnh x(x + 5) = 2 3 2 5 2 2x x+ − − 
Giải. ðặt 3 2 5 2x x+ − = X ⇒ 3 22 5X x x+ = + 
Phương trỡnh ủó cho ⇔ 3 2 4 0X X− + = ⇔ X = - 2 ⇒ 2 5 6 0x x+ + = ⇒ x = - 2, x = - 3 
VD2. Cho phương trỡnh 3 6 (3 )(6 )x x x x m+ + − − + − = (1) 
www.VNMATH.com
Phương trỡnh khụng mẫu mực Trần Xuõn Bang- GV Trường THPT Chuyờn Quảng Bỡnh 
Trần Xuõn Bang- GV Trường THPT Chuyờn Quảng Bỡnh Phương trỡnh khụng mẫu mực 
6
 1) Giải phương trỡnh khi m = 3 
 2) Tỡm tất cả cỏc giỏ trị m ủể phương trỡnh (1) cú nghiệm. 
Giải. ðặt 3 6 , 3 6x x t x+ + − = − ≤ ≤ ⇒ 1 1' , 3 6
2 3 2 6
t x
x x
= − − < <
+ −
. 
3
' 0 3
2
t x≥ ⇔ − < ≤ 
X - 3 3/ 2 
6 
f '(X) + 0 - 
f(X) 
 3 2 
3 
3 
Suy ra: 3 ≤ t ≤ 3 2 
Ta cú 
2 9(3 )(6 )
2
t
x x
−
+ − = 
Phương trỡnh ủó cho tương ủương: t - 
2 9
2
t −
 = m ⇔ t2 - 2t + 2m - 9 = 0 (*) 
VD3. Cho phương trỡnh 1( 3)( 1) 4( 3)
3
x
x x x m
x
+
− + + − =
−
 (1) 
 1) Giải phương trỡnh khi m = - 3 
 2) Tỡm tất cả cỏc giỏ trị m ủể phương trỡnh (1) cú nghiệm 
 HD. ðặt 1( 3)
3
x
x t
x
+
− =
−
 (1) 
 ⇒ 2( 3)( 1)x x t− + = , x ≤ - 1 hoặc x > 3 (2) 
Phương trỡnh ⇔ t2 + 4t = m (3) 
 1) m = - 3: Phương trỡnh (3) ⇔ t2 + 4t + 3 = 0 ⇔ t = - 1, t = - 3. 
Thay vào (1): 
* t = - 1: 2
3 03 01( 3) 1 ( 3)( 1) 13 2 4 0
xxx
x
x xx x x
− <
− < +
− = − ⇔ ⇔ 
− + =− − − = 
1 5x⇔ = − 
1 5x = − thoả ủiều kiện x ≤ - 1. 
* t = - 3: 2
3 03 01( 3) 3 ( 3)( 1) 93 2 12 0
xxx
x
x xx x x
− <
− < +
− = − ⇔ ⇔ 
− + =− − − = 
1 13x⇔ = − 
1 13x = − thoả ủiều kiện x ≤ - 1. 
2) (3) cú nghiệm t ⇔ m ≥ - 4. 
Xột phương trỡnh 2( 3)( 1)x x t− + = , x ≤ - 1 hoặc x > 3 
 ⇔ x
2
 - 2x - 3 = t2, x ≤ - 1 hoặc x > 3 
ðặt f(x) = x2 - 2x - 3, x ≤ - 1 hoặc x > 3 
www.VNMATH.com
Phương trỡnh khụng mẫu mực Trần Xuõn Bang- GV Trường THPT Chuyờn Quảng Bỡnh 
Trần Xuõn Bang- GV Trường THPT Chuyờn Quảng Bỡnh Phương trỡnh khụng mẫu mực 
7
f '(x) = 2x - 2 
x - ∞ - 1 3 + ∞ 
f '(x) - + 
f(x) 
+ ∞ + ∞ 
 0 0 
 vỡ t2 ≥ 0 nờn (2) luụn luụn cú nghiệm. 
Cỏch 2. Nếu dựng ủịnh lý ủảo về dấu của tam thức bậc hai thỡ với m ≥ - 4. 
Xột 3 trường hợp khi thay vào (1): 
 i) t = 0: 1( 3) 0
3
x
x
x
+
− =
−
 : Phương trỡnh cú nghiệm x = - 1. 
 ii) t > 0: (1) 2 2 2
3 0 3
( 3)( 1) ( ) 2 3 0
x x
x x t F x x x t
− > > 
⇔ 
− + = = − − − = 
Thấy ngay F(3) = - t2 3. 
 3i) t < 0: (1) 2 2 2
1 0 1
( 3)( 1) ( ) 2 3 0
x x
x x t F x x x t
+ ≤ ≤ − 
⇔ 
− + = = − − − = 
Thấy ngay F(- 1) = - t2 < 0 nờn F(x) cú nghiệm x ≤ - 1. 
VD4. Giải phương trỡnh 2 2 2( 1) 3 ( 1) 2 1, 2nn nx x x n+ − − = − − ≥ 
HD. Thấy ngay x = ± 1 khụng thoả phương trỡnh. 
Với x ≠ ± 1: 
Chia hai vế của phương trỡnh cho 2 1n x − , ta cú: 1 13 2
1 1
n n
x x
x x
+ −
− = −
− +
 (1) 
ðặt 1
1
n
x
t
x
+
=
−
, khi ủú (1) ⇔ t - 31
t
 + 2 = 0 ⇔ t2 + 2t - 3 = 0 ⇔ t = 1, t = - 3 
 i) t = 1 : 1 11 1
1 1
n
x x
x x
+ +
= ⇔ =
− −
: Vụ nghiệm 
 ii) t = - 3: 1 3
1
n
x
x
+
= −
−
 (2) 
 + n chẵn: (2) vụ nghiệm 
 + n lẻ: (2) ⇔ ( )1 3 13 1 ( 1)( 3) (3 1) 3 1
1 3 1
n
n n n n
n
x
x x x x
x
+ −
= − ⇔ + = − − ⇔ + = − ⇔ =
− +
 1.3. Làm mất giỏ trị tuyệt ủối. 
VD1. Tỡm m ủể phương trỡnh sau cú nghiệm 
2 22 1 0x x m x m− − − + = 
www.VNMATH.com
Phương trỡnh khụng mẫu mực Trần Xuõn Bang- GV Trường THPT Chuyờn Quảng Bỡnh 
Trần Xuõn Bang- GV Trường THPT Chuyờn Quảng Bỡnh Phương trỡnh khụng mẫu mực 
8
HD. ðặt 1 0x t− = ≥ ⇒ 2 22 1x x t− = − 
Phương trỡnh ủó cho tương ủương t2 - mt + m2 - 1 = 0 (1) 
Phương trỡnh ủó cho cú nghiệm khi chỉ khi phương trỡnh (1) cú nghiệm t ≥ 0. 
∆ = m2 - 4m2 + 4 = 4 - 3m2 
i) ∆ = 0 ⇔ 4 - 3m2 = 0 ⇔ m = 2
3
± : Pt(1) cú nghiệm kộp t = 
2
m
 ⇒ m = 
2
3
 thoả 
ii) ∆ > 0 ⇔ - 2
3
 < m < 
2
3
: 
 + (1) cú 2 nghiệm dương ⇔ P > 0, S > 0 ⇔ m > 1. Suy ra 1 < m < 2
3
 thoả 
 + (1) cú hai nghiệm trỏi dấu ⇔ P < 0 ⇔ - 1 < m < 1 
 + (1) cú 1 nghiệm bằng 0 ⇔ m = 1± . Khi ủú nghiệm kia t = m nờn m = 1 
thoả 
KL: - 1 < m ≤ 2
3
VD2. Cho phương trỡnh 2 2 1x x m x− + = − (1) 
 1) Giải phương trỡnh khi m = 0. 
 2) Tỡm m ủể phương trỡnh (1) cú 4 nghiệm phõn biệt. 
HD. ðặt x - 1 = t ⇒ 2 22 1x x t− = − 
Pt(1) ⇔ 2 1t m t− + = ⇔
2
2
0
1 0
0
1 0
t
t t m
t
t t m
 ≥

− − + =
 ≥
 + − + =
⇔
2
2
0
( ) 1
0
( ) 1
t
f t t t m
t
g t t t m
 ≥

= − − = −
 ≥
 = + − = −
f '(t) = 2t - 1, g'(t) = 2t + 1 
 Vỡ x = 1 + t nờn mỗi nghiệm t cho (1) một nghiệm x. Suy ra khụng cú m thoả 
1.4. Lượng giỏc hoỏ cỏc phương trỡnh. 
VD. Giải phương trỡnh 3 2 3 2(1 ) 2(1 )x x x x+ − = − 
 HD. Do 1 - x2 ≥ 0 ⇔ - 1 ≤ x ≤ 1. ðặt x = cost, [ ]0;t pi∈ 
Ptrỡnh ủó cho ⇔ 3 3cos sin 2 sin cost t t t+ = 
x 0 + ∞ 
g '(x) + 
g(x) 
 + ∞ 
- 1 
x 0 1/2 + ∞ 
f '(x) - 0 + 
f(x) 
- 1 + ∞ 
 - 5/4 
www.VNMATH.com
Phương trỡnh khụng mẫu mực Trần Xuõn Bang- GV Trường THPT Chuyờn Quảng Bỡnh 
Trần Xuõn Bang- GV Trường THPT Chuyờn Quảng Bỡnh Phương trỡnh khụng mẫu mực 
9
⇔ 3(cos sin ) 3sin cos (sin cos ) 2 sin cost t t t t t t t+ − + = (1) 
ðặt sint + cost = X ⇒ 
2 1
cos , 2,sin cos
4 22
X X
x X t tpi − − = ≤ = 
 
. 
(1) ⇔
2 2
3 1 13 2
2 2
X XX X − −− = 3 22 3 2 0X X X⇔ + − − = 
2( 2)( 2 2 1) 0X X X⇔ − + + = 2, 2 1X X⇔ − = − ± . 
Nhưng 2 2, 1 2X X X≤ ⇒ = = − . 
i) X = 2 : sint + cost = 2 21 2x x⇔ + − = 
21 2x x⇔ − = −
2 21 2 2 2
2 0
x x x
x

− = − +
⇔ 
− ≥
22 2 2 1 0
2
x x
x

− + =
⇔ 
≤
1
2
x⇔ = . 
i) X = 1- 2 : sint + cost = 1 - 2 21 1 2x x⇔ + − = − 
21 1 2x x⇔ − = − −
2 21 2 2 2 2(1 2)
1 2 0
x x x
x

− = − − − +
⇔ 
− − ≥
2 (1 2) 1 2 0
1 2
x x
x

− − + − =
⇔ 
≤ −
1 2 2 2 1
2
x
− − −
⇔ = . 
 1.5. ðại số hoỏ cỏc phương trỡnh lượng giỏc, mũ, loga. 
VD1. Giải phương trỡnh ( ) ( )2 3 2 3 4x x− + + = 
HD. ðặt ( )2 3 0x t+ = > ⇒ ( ) 12 3 x t− = 
Pt ⇔ 1 4t
t
+ = ⇔ t2 - 4t + 1 = 0 ⇔ 2 3t = ± 
⇔
( )
( )
2 3 2 3
2 3 2 3
x
x

+ = +

 + = −
 ⇔ ( ) ( ) 2
2
2 3 2 3 2 3
x
x
−
=

 + = − = +

2, 2.x x⇔ = = − 
VD2. Cho phương trỡnh ( ) ( )tan5 2 6 5 2 6x tanx m+ + − = 
 1) Giải phương trỡnh khi m = 4 
 2) Giải và biện luận phương trỡnh (1) theo m. 
HD. ðặt ( )tan5 2 6 0x t+ = > ⇒ ( )tan 15 2 6 x
t
− = 
Pt ủó cho tương ủương 21 1 0t m t mt
t
+ = ⇔ − + = (1) 
www.VNMATH.com
Phương trỡnh khụng mẫu mực Trần Xuõn Bang- GV Trường THPT Chuyờn Quảng Bỡnh 
Trần Xuõn Bang- GV Trường THPT Chuyờn Quảng Bỡnh Phương trỡnh khụng mẫu mực 
10
 1) m = 4: 2 3t = ± ( ) ( )tan 5 2 65 2 6 2 3 log 2 3x tanx +⇔ + = ± ⇔ = ± 
 ( )5 2 6log 2 3x arctan kpi+ ⇔ = ± +  
 2) Ptrỡnh ủó cho cú nghiệm khi và chỉ khi Pt(1) cú nghiệm t > 0 
Thấy ngay rằng, nếu (1) cú nghiệm thỡ cú hai nghiệm cựng dấu. Do vậy nếu pt (1) 
cú nghiệm dương thỡ cú hai nghiệm dương. Suy ra, cần và ủủ là: 
2 4 0
2
0
m
m
S m
∆ = − ≥
⇔ ≥
= >
. Khi ủú t = 
2 4
2
m m± −
⇔ ( ) 2tan 45 2 6 2
x m m± −
+ = 
⇔
2 2
5 2 6 5 2 6
4 4
tan log arctan log
2 2
m m m m
x x kpi
+ +
 ± − ± −
= ⇔ = + 
 
 
. 
 2. Cỏc kiểu ủặt ẩn phụ. 
 1.1. ðặt một ẩn phụ chuyển phương trỡnh về phương trỡnh của ẩn phụ. 
VD. Giải và biện luận phương trỡnh 243 1 1 2 1x m x x− + + = − 
HD. Thấy rằng x = - 1 khụng thoả ptrỡnh. 
Pt ủó cho tương ủương với 41 13 2
1 1
x x
m
x x
− −
+ =
+ +
 (1) 
ðặt 4 1 0
1
x
t
x
−
= ≥
+
. Khi ủú (1) ⇔ 23 2 0t t m− + = (2) 
Ptrỡnh ủó cho cú nghiệm khi và chỉ khi (2) cú nghiệm khụng õm 
Cỏch 1: Phương trỡnh (2) cú 2 nghiệm trỏi dấu ⇔ m < 0 
 Phương trỡnh (2) cú 2 nghiệm khụng õm ⇔
' 0
0
0
P
S
∆ ≥
 ≥
 ≥
 ⇔
10
3
m≤ ≤ 
Hai nghiệm của (2) là 1 1 3
3
m
t
± −
= 
Như thế, khi m < 0: 
1 1 3
3
m
t
+ −
= 4
1 1 1 3
1 3
x m
x
− + −
⇒ =
+
4
1
1
1
11 1 1 3
1 3 1
Mx m M x
x M
 
−− + −
⇒ = = ⇒ =  + + 
 khi 0 ≤ m 1
3
≤ : 4
1 1 1 3
1 3
x m
x
− ± −
⇒ =
+
4
1
1
1
11 1 1 3
1 3 1
Mx m M x
x M
 
−− + −
⇒ = = ⇒ =  + + 
 hoặc 
4
2
2
2
11 1 1 3
1 3 1
Mx m M x
x M
 
−− − −
= = ⇒ =  + + 
 1.2. ðặt một ẩn phụ và duy trỡ ẩn cũ trong cựng một phương trỡnh. 
VD1. Giải phương trỡnh 2(1 - x) 2 22 1 2 1x x x x+ − = − − 
www.VNMATH.com
Phương trỡnh khụng mẫu mực Trần Xuõn Bang- GV Trường THPT Chuyờn Quảng Bỡnh 
Trần Xuõn Bang- GV Trường THPT Chuyờn Quảng Bỡnh Phương trỡnh khụng mẫu mực 
11
 HD. Cỏch 1: ðặt 2 2 1x x t+ − = ≥ 0 2 2 2 22 1 2 1 4x x t x x t x⇒ + − = ⇒ − − = − 
Pt ⇔ 22(1 ) 4x t t x− = − ⇔ 2 2(1 ) 4 0t x t x− − − = 
2
' ( 1)x∆ = + ⇒ (1 ) ( 1) 2, 2t x x t t x= − ± + ⇔ = = − 
2 0 0t x x= − ≥ ⇒ ≤ : 2 2 2 22 1 2 2 1 4 3 2 1 0x x x x x x x x+ − = − ⇔ + − = ⇒ − + = : VN 
2t = : 2 22 1 2 2 5 0 1 5x x x x x+ − = ⇔ + − = ⇒ = − ± 
 Cỏch 2: Pt ⇔ (x - 1)2 - 2(x - 1) 2 2 1x x+ − - 2 = 0 
VD2. Giải phương trỡnh (4x - 1) 2 21 2 2 1x x x+ = + + 
 Cỏch 1: ðặt 2 1x t+ = 
 Cỏch 2: Bỡnh phương hai vế 
 1.3. ðặt một ẩn phụ và duy trỡ ẩn cũ trong một hệ phương trỡnh. 
VD1. Giải phương trỡnh x2 + 5 5x + = 
 HD. ðặt 25 0 5x y y x+ = ≥ ⇒ = + (1) 
 Từ Pt ủó cho ⇒ x2 = 5 - y (2) 
Trừ từng vế (1) và (2) ta cú: y2 - x2 = x + y ⇔ x + y = 0 hoặc y - x - 1 = 0 
 i) x = y = 0 ⇔ y = - x ≥ 0 ⇒ x ≤ 0: (1) ⇔ x2 - x - 5 = 0 ⇔ x = 1 21
2
− ±
Nhưng x ≤ 0 nờn 1 21
2
x
− −
= 
 ii) y - x - 1 = 0 ⇔ y = x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ - 1: (2) ⇔ x2 - x - 4 = 0 
 ⇔ x = 
1 17
2
− ±
Nhưng x ≥ - 1 nờn 1 17
2
− +
Cỏch 2.(Biến ủổi Pt về dạng tớch) 
 x
2
 + 5 5x + = 2 ( 5) ( 5) 0x x x x⇔ − + + + + = ( 5)( 5 1) 0x x x x⇔ + + − + + = 
VD2. Giải phương trỡnh x3 + 1 = 32 2 1x − 
HD. ðặt 33 2 1 2 1x y y x+ = ⇒ = + (1) 
 Từ Pt ủó cho ⇒ x3 = 2y - 1 (2) 
Hệ (1)&(2) là một hệ ủối xứng loại 2. 
Cỏch 2.(Dựng tớnh chất ủồ thị của hai hàm ngược nhau) 
Pt ủó cho tương ủương 
3
31 2 1
2
x
x
+
= − (1) 
Cỏc hàm số 
3
31
, y 2 1
2
xy x+= = − là cỏc hàm số ngược của nhau. Vậy nờn phương 
trỡnh (1) tương ủương 
3 1
2
x
x
+
= 
3 2 1 0x x⇔ − + = -1 51, x = 
2
x
±
⇔ = 
www.VNMATH.com
Phương trỡnh khụng mẫu mực Trần Xuõn Bang- GV Trường THPT Chuyờn Quảng Bỡnh 
Trần Xuõn Bang- GV Trường THPT Chuyờn Quảng Bỡnh Phương trỡnh khụng mẫu mực 
12
VD3. Giải phương trỡnh (x2 - 3x - 4)2 - 3x2 + 8x + 8 = 0 
 HD. Ptrỡnh ủó cho tương ủương (x2 - 3x - 4)2 - 3(x2 - 3x - 4) - 4 - x = 0 
⇔ (x2 - 3x - 4)2 - 3(x2 - 3x - 4) = 4 + x 
ðặt x2 - 3x - 4 = y ⇒ x2 - 3x = 4 + y (1) 
Từ phương trỡnh ủó cho suy ra y2 - yx = 4 + x (2) 
Hệ (1)&(2) là một hệ ủối xứng loại 2. 
VD4. Giải phương trỡnh 7x2 + 7x = 4 9
28
x +
 PP chuyển về hệ ủối xứng loại 2: 
 - VT bậc hai, VP căn hai 
 - Nờn ủặt 4 9
28
x +
 = at + b (bậc nhất của t ủể khi bỡnh phương thỡ thành bậc hai) 
 - Khi ủặt ta ủược ngay : 7x2 + 7x = at + b 
 Ta phải cú một pt mới: 7t2 + 7t = ax + b 
4 9
28
x +
 = at + b ⇒ x = 7a2t2 + 14abt + 7b2 - 9/4 
 ⇒ ax + b = 7a3t2 + 14a2bt + 7ab2 - 9
4
a 
 ≡ 7t2 + 7t 
 Ta phải cú: 
3
2
2
7 1
14 7
97 0
4
a
a b
ab a b

=

=

 − + =

 ⇒ a = 1, b = 1
2
Bài tập tương tự: 
 BT1. Giải phương trỡnh 2x2 - 6x - 1 = 4 5x + 
 (Thi chọn ðT12QB 21/12/2004) 
 BT2. Giải và biện luận theo a phương trỡnh 3 2 23(2 ) 2 2 ( 2)x a a x a a+ − = + − 
 1.4. ðặt hai ẩn phụ và ủưa phương trỡnh về phương trỡnh hai ẩn phụ. 
VD1. Giải phương trỡnh 2 2 4 3 23 5 1 8 3 15x x x x x x x− + + − = + + − − + 
 ðưa phương trỡnh về dạng u + v = 1 + uv 
VD2. Giải phương trỡnh 2 2 23 2 2 15 2 5 132 2 1 2x x x x x x− + − − − −+ = + 
 ðưa phương trỡnh về dạng u + v = 1 + uv 
 1.5. ðặt hai ẩn phụ và ủưa phương trỡnh về hệ phương trỡnh hai ẩn. 
VD1. Giải phương trỡnh 4 5 3x x+ + − = 
HD. ðặt 4 0, 5 0x u x v+ = ≥ − = ≥ 2 2 9u v⇒ + = 
www.VNMATH.com
Phương trỡnh khụng mẫu mực Trần Xuõn Bang- GV Trường THPT Chuyờn Quảng Bỡnh 
Trần Xuõn Bang- GV Trường THPT Chuyờn Quảng Bỡnh Phương trỡnh khụng mẫu mực 
13
Ta cú hệ phương trỡnh 
2 2 9
3
u v
u v
 + =

+ =
Cỏch 2. Bỡnh phương hai vế. 
Cỏch 3. ðặt f(x) = 4 5 0x x+ + − ≥ ⇒ 2 ( ) 9 2 (4 )(5 ) 9 ( ) 3f x x x f x= + + − ≥ ⇔ ≥ 
Dấu ủẳng thức xảy ra khi chỉ khi x = - 4 hoặc x = 5. 
Cỏch 4. ðặt f(x) = [ ]4 5 , x -4;5x x+ + − ∈ . Khảo sỏt, lập bảng biến thiờn. 
VD2. Giải phương trỡnh 3 6 (3 )(6 ) 3x x x x+ + − − + − = . 
HD. ðặt 3 0, 6 0x u x v+ = ≥ − = ≥ 2 2 9u v⇒ + = 
Ta cú hệ phương trỡnh 
2 2 9
3
u v
u v uv
 + =

+ − =
Cỏch 2. ðặt 
2 93 6 0 (3 )(6 )
2
X
x x X x x −+ + − = ≥ ⇒ + − = 
Phương trỡnh ủó cho tương ủương 
2 9 3
2
XX −− = 
VD3. Giải phương trỡnh 21 2( 1) 1 1 3 1x x x x x+ + + = − + − + − 
 (TS 10 Chuyờn Toỏn ðHSPHNI, 97 - 98) 
 ðưa phương trỡnh về hệ cú một phương trỡnh tớch : 
 u + 2u2 = - v2 + v + 3uv ⇔ u - v + v2 - 3uv + 2v2 = 0 
 ⇔ u - v + (v - u)(v - 2u) = 0 
 1.6. ðặt hai vế của phương trỡnh cho cựng một ẩn phụ. 
VD1. Giải phương trỡnh 3 22log cotgx log cosx= 
HD. ðặt 3 22log cotgx log cosx= = t ta cú: 
2 2 2
2
2 2
2
2
cos 4 cos 4 cos 4
cos 2
cos 4 4
cot 3 3 sin 4 1
sin 3 3
cos 0,cot 0
cos 0,sin 0 cot 0,sin 0 cos 0,sin 0
cos 4 1
cos
1 2
sin 0cos 0,sin 0
t t t
t
t t
t t t
t t
t
x x x
x
x
x x
x
x x
x x x x x x
x
x
t
xx x
  = = =
 =   
   
= ⇔ = ⇔ = ⇔ + =   
   > > > > > > > >  
  
 = 
= 
⇔ = − ⇔ 
 >> >
2
3
x kpi pi⇔ = +

VD2. Giải phương trỡnh 7 3log x log ( x 2)= + 
www.VNMATH.com
Phương trỡnh khụng mẫu mực Trần Xuõn Bang- GV Trường THPT Chuyờn Quảng Bỡnh 
Trần Xuõn Bang- GV Trường THPT Chuyờn Quảng Bỡnh Phương trỡnh khụng mẫu mực 
14
HD. ðặt 7 3log x log ( x 2)= + = t , Ta cú: 
7
77 7 497 1 22 1x 2 3 7 2 3
3 3
t
tt t
t t
t t t
x
xx x
x
t
 =
 = =  =  
⇔ ⇔ ⇔ ⇒ =     
=+ =+ = + =           
VD3. Giải phương trỡnh 3 1 1x x− = + 
HD. ðặt 3 1 1x x− = + = t ≥ 0, ta cú: 
3
3 2
2
1
2 0 1 0
1
x t
t t t x
x t
 − =
⇒ + − = ⇒ = ⇒ =
+ =
II. PHƯƠNG TRèNH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ðỐI LẬP. 
 1. Dạng 1. Nếu f(x) ≥ M, (1) (hay f(x) ≤ M, (2)) thỡ: 
Phương trỡnh f(x) = M tương ủương dấu ủẳng thức ở (1) hay ở (2) xảy ra. 
VD1. Giải phương trỡnh tanx + cotx + tan2x + cot2x + tan3x + cot3x = 6. 
HD. Phương trỡnh ủó cho ⇔ tanx(1 + tanx + tan2x) + cotx(1 + cotx + cot2x) = 6 (1) 
 1 + tanx + tan2x > 0, 1 + cotx + cot2x > 0 với 
2
x k pi∀ ≠ 
tanx và cotx cựng dấu. 
Do vậy, từ (6) ủể ý rằng vế phải dương, suy ra tanx > 0, cotx > 0. 
Theo Cụsi: tanx + cotx ≥ 2 
 tan2x + cot2x ≥ 2 ⇒ tanx + cotx + tan2x + cot2x + tan3x + cot3x ≥ 6. 
 tan3x + cot3x ≥ 2 
Phương trỡnh ủó cho tương ủương: 
2 2
3 3
tan cot 2
tan cot 2
tan cot 2
tan 0
x x
x x
x x
x
+ =

+ =

+ =
 >
2 2
3 3
tan cot 1
tan cot 1
tan cot 1
tan cot 1
4
x x
x x
x x
x x x kpi pi
= =

⇔ = =

= =
⇔ = = ⇔ = +
VD2. Giải phương trỡnh 2 2 2 2
1 1 4x y
x y
+ + + = 
HD. ðK x ≠ 0, y ≠ 0. 
2 2
2 2
1 1 4x y
x y
+ + + = ⇔ 2 22 2
1 1 4x y
x y
+ + + = 
Ta cú: 2 22 2
1 12, y 2x
x y
+ ≥ + ≥ ⇒ 2 22 2
1 1 4x y
x y
+ + + ≥ 
www.VNMATH.com
Phương trỡnh khụng mẫu mực Trần Xuõn Bang- GV Trường THPT Chuyờn Quảng Bỡnh 
Trần Xuõn Bang- GV Trường THPT Chuyờn Quảng Bỡnh Phương trỡnh khụng mẫu mực 
15
Phương trỡnh ủó cho tương ủương với: 
2 2 2 2
2 2 2 2
2 1
1 1 1 12 2
x y x y
x y x y
 + = = =
 
⇔ 
+ = + = 
 
 ⇔ nghiệm của 
phương trỡnh ủó cho là (1; 1), (1; - 1), (-1; 1), (- 1; - 1) 
 2. Dạng 2. 
Phương trỡnh : ( ) ( )( ) ( )
f x g x
f x M g x
=
 ≤ ≤
⇔
( )
( )
f x M
g x M
=

=
VD1. Giải phương trỡnh 4(x2- 2)(3 - x2) = 2( 2 5) 1x − + 
HD. (x2- 2)(3 - x2) > 0 ⇔ 2 0, x2- 2 > 0. Theo Cụsi: 
22 2
2 2 2 22 3 1( 2)(3 ) 4( 2)(3 ) 1
2 4
x x
x x x x
 − + −
− − ≤ = ⇒ − − ≤ 
 
 Mặt khỏc 2( 2 5) 1x − + ≥ 1 
Phươngtrỡnh ủó cho tương ủương: ( )
2 2
2
4( 2)(3 ) 1
2 5 1 1
x x
x
 − − =

− + =
2 22 3
5
5 2
2
x x
x
x
 − = −

⇔ ⇔ =
=

VD2. Giải phương trỡnh 22 4 6 11x x x x− + − = − + 
HD. ðK 2 ≤ x ≤ 4. Ta cú: 
2 22 4 2( 2 4 ) 2, 6 11 ( 3) 2 2x x x x x x x− + − ≤ − + − = − + = − + ≥ 
Phươngtrỡnh ủó cho tương ủương: 
2
2 4 2
2
( 3) 2 2
x x
x
x

− + − =
⇔ =
− + =
 3. Dạng 3. 
Phương trỡnh : 
( ) ( )
( ) , ( )
( : ( ) , ( ) )
f x g x M N
f x M g x N
hay f x M g x N
+ = +
 ≤ ≤
 ≥ ≥
 ⇔
( )
( )
f x M
g x N
=

=
VD1. Giải phương trỡnh 36 4 28 4 2 1
2 1
x y
x y
+ = − − − −
− −
HD. Pt ủó cho 36 44 2 1 28
2 1
x y
x y
⇔ + − + + − =
− −
 (1) 
36 44 2 24, 1 4
2 1
x y
x y
+ − ≥ + − ≥
− −
Như thế (1) tương ủương: 
www.VNMATH.com
Phương trỡnh khụng mẫu mực Trần Xuõn Bang- GV Trường THPT Chuyờn Quảng Bỡnh 
Trần Xuõn Bang- GV Trường THPT Chuyờn Quảng Bỡnh Phương trỡnh khụng mẫu mực 
16
36 364 2 24 4 2
112 2
4 4 51 4 1
1 1
x x
xx x
yy y
y y
 
+ − = = − 
=− −  
⇔ ⇔  
= + − = = −
 
− − 
VD2. Giải phương trỡnh 
1 1
cos3x - 1 cosx - 1 = 1
cos3x cosx
+
HD. Pt ủó cho tương ủương: 
1 - cos3x 1 - cosx
cos3x cosx = 1
cos3x cosx
+
ðK: cos3x > 0, cosx > 0. 
PT cos3x(1 - cos3x) cosx(1 - cosx) = 1⇔ + (1) 
Ta ủó biết rằng a(1 - a)