Đề tuyển sinh Lớp 10 năm 2019 môn Toán chuyên - Trường Phổ thông năng khiếu

 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM 2019 
 TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU Môn thi: TOÁN (chuyên) 
 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề 
Bài 1. (2 điểm) Cho phương trình ax2 bx c 0(1) thỏa mãn các điều kiện: 
 a 0 và 2.ac b a c 
 a) Chứng minh rằng phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x12, x và 
 11 xx12 0 và 11 xx12 0. 
 b) Biết thêm rằng ac . Chứng minh rằng 1,xx12 1. 
Bài 2. (1,5 điểm) 
 a) Tìm tất cả những số tự nhiên n sao cho 21n chia hết cho 9. 
 b) Cho n là số tự nhiên, n 3. Chứng minh rằng 21n không chia hết cho 21m với 
mọi số tự nhiên m sao cho 2. mn 
Bài 3. (2 điểm) Cho a và b là hai số thực phân biệt thỏa mãn điều kiện: aabb44 44. 
 a) Chứng minh rằng 02. ab 
 b) Biết rằng aabbk44 440. Chứng minh rằng kab0. 
Bài 4. (3 điểm) Cho tam giác ABC có ABAC . Gọi dd12, lần lượt là các đường phân giác 
trong và ngoài của góc BAC . Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của B lên dd12, . Gọi P, 
Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên dd12,. 
a) Chứng minh rằng MN và PQ lần lượt đi qua trung điểm của AB và AC. 
b) Chứng minh rằng MN và PQ cắt nhau trên BC. 
c) Trên d1 lấy các điểm E và F sao cho ABE BCA và ACF CBA (E thuộc nửa mặt phẳng bờ 
 BEAB
AB chứa C; F thuộc nửa mặt phẳng bờ AC chứa B). Chứng minh rằng . 
 CF AC
d) Các đường thẳng BN và CQ lần lượt cắt AC và AB tại các điểm K và L. Chứng minh rằng các 
đường thẳng KE và LF cắt nhau trên đường thẳng BC. 
Bài 5. (1,5 điểm) Trong một buổi gặp gỡ giao lưu giữa các học sinh đến từ n quốc gia, người ta 
nhận thấy rằng cứ 10 học sinh bất kỳ thì có ít nhất 3 học sinh đến từ cùng một quốc gia. 
a) Gọi k là số các quốc gia có đúng 1 học sinh tham dự buổi gặp gỡ. Chứng minh rằng 
 k 10
 n . 
 2
b) Biết rằng số các học sinh tham dự buổi gặp gỡ là 60. Chứng minh rằng có thể tìm được ít nhất 
là 15 học sinh đến từ cùng một quốc gia.