Đề thi tuyển sinh vào trường THPT Chuyên năm 2019 môn Toán - Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội

 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Độc lập – Tự do – Hạnh phúc 
 ĐỀ CHÍNH THỨC 
 ĐỀ THI TUYỂN SINH 
 VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2019 
 Môn thi: Toán 
 (Dùng cho mọi thí sinh thi vào trường chuyên) 
 Thời gian làm bài: 120 phút 
Câu 1: 1. Rút gọn biểu thức: 
 2
 a 1
 3 3
 a 1 aa 12
 P :
 a 1 aa3 11
 3
 a 1
với a 1, a 1 
 2. Các số thực x , y , a thỏa mãn:
 x242242 33xy y yx a. 
 Chứng minh đẳng thức: 33x222 3 ya
Câu 2: Trên quãng đường AB dài 20km, tại cùng một thời điểm, bạn An đi bộ từ A đến B và bạn Bình đi bộ từ 
B về A. Sau 2 giờ kể từ lúc xuất phát, An và Bình gặp nhau tại C và cùng nghỉ tại C 15 phút (vận tốc của An 
trên quãng đường AC không thay đổi, vận tốc của Bình trên quãng đường BC không thay đổi). Sau khi nghỉ, An 
đi tiếp đến B với vận tốc nhỏ hơn vận tốc của An trên quãng đường AC là 1 km/h, Bình đi tiếp đến A với vận 
tốc lớn hơn vận tốc của Bình trên quãng đường BC là 1 km/h. Biết rằng An đến B sớm hơn so với Bình đến A 
là 48 phút. Hỏi vận tốc của An trên quãng đường AC là bao nhiêu? 
Câu 3: Cho các đa thức: 
 Px() x2 axb; Qx() x2 cxd với a, b, c, d là các số thực. 
 1. Tìm a và b để 1 và a là nghiệm của phương trình Px() 0
 2. Giả sử phương trình P(x ) =0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 và phương trình Qx() 0có hai 
 nghiệm phân biệt x3 , x4 sao cho Px()34 Px () Qx () 12 Qx () .Chứng minh: x21 xxx 43
Câu 4: Cho đường tròn (O) bán kính R ngoại tiếp tam giác ABC có ba góc nhọn. Gọi AA1, BB1,CC1 là các 
đường cao của tam giác ABC. Đường thẳng A1C1 cắt đường tròn (O) tại A’ và C’ (A1 nằm giữa A’ và C1). Các 
tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A’ và C’ cắt nhau tại B’. 
 1. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh: HC1.A1C=A1C1.HB1.
 2. Chứng minh ba điểm B,B’,O thằng hàng.
 3. Khi tam giác ABC là tam giác đều. Hãy tính A’C’ theo R.
Câu 5: Cho các số thực x , y thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 Pxyx ( 2)( y 6) 13 x22 4 y 26 x 24 y 46 
 ----------------------------------------Hết-------------------------------------------- 
Họ và tên thí sinh:...................................................................... Số báo danh: ..............................................