Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 có đáp án - Đề 29

Đề thi tuyển sinh vào lớp10 chuyên Lam Sơn (14)
Môn Toán(đề chung)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1(1điểm): Cho biểu thức
Rút gọn P.	
Bài 2(1điểm): Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng phương trình:
x2 + (a + b + c)x + ab + bc + ca = 0 vô nghiệm.
Bài 3(1điểm): Giải phương trình sau:
Bài 4(1điểm): Giải hệ phương trình sau:
Bài 5(1điểm): Chứng minh rằng:
Bài 6(1điểm): Cho x, y, z> 0 thoả mãn: 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 7(1điểm): Trong mặt phẳng 0xy cho đường thẳng (d) có phương trình
2kx + (k - 1)y = 2 (k là tham số)
a) Tìm k để đường thẳng (d) song song đường thẳng y = x . Khi đó tính góc tạo bởi đường thẳng (d) với 0x.
b) Tìm k để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng (d) lớn nhất.
Bài 8(1điểm): Cho góc vuông x0y và 2 điểm A, B trên Ox (OB > OA >0), điểm M bất kỳ trên cạnh Oy(M ạ O). Đường tròn (T) đường kính AB cắt tia MA,MB lần lượt tại điểm thứ hai: C , E . Tia OE cắt đường tròn (T) tại điểm thứ hai F.
1. Chứng minh 4 điểm: O, A, E, M nằm trên 1 đường tròn.
2. Tứ giác OCFM là hình gì? Tại sao?
Bài 9(1điểm): Cho tam giác ABC nhọn có 3 đường cao: AA1, BB1, CC1 đồng qui tại H.
Chứng minh rằng: . Dấu "=" xảy ra khi nào?
Bài 10(1điểm): Cho 3 tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng, đôi một vuông góc với nhau. Lấy điểm A, B, C bất kỳ trên Ox, Oy và Oz.
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng: OH vuông góc với mặt phẳng ABC
b) Chứng minh rằng: .
Đáp án:
Bài
Bài giải
Điểm
Bài 1
(1 điểm)
Điều kiện:
* Rút gọn:
0.25
0.25
0.25
0.25
Bài 2
(1 điểm)
Ta có: D =(a + b + c)2 - 4(ab + bc + ca) = a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca
* Vì a, b, c là 3 cạnh D ị a2 < (b + c)a
 b2 < (a + c)b
 c2 < (a + b)c
ị a2 + b2 + c2 < 2ab + 2ac + 2bc
ị D < 0 ị phương trình vô nghiệm.
0.25
0.25
0.25
0.25
Bài 3
(1 điểm)
* Điều kiện:
* Phương trình 
0.25
 0.25
0.25
0.25
Bài 4
(1 điểm)
Giải hệ: 
Từ (1) Û 2x2 + (y - 5)x - y2 + y + 2 = 0
* Với: x = 2 - y, ta có hệ: 
*Với , ta có hệ: 
Vậy hệ có 2 nghiệm: (1;1) và 
0.25
0.25
0.25
0.25
Bài 5
(1 điểm)
Đặt a = x + y, với: 
Ta phải chứng minh: a8 > 36
Ta có: 
(vì: x > 1; y > 0 ị a > 1)
ị a9 > 93.a Û a8 > 36 (đpcm).
0.25
0.25
0.25
0.25
Bài 6
(1 điểm)
* áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky cho: 1, và 
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y
Tơng tự: 
Từ (1), (2), (3) 
Suy ra: Pmin = 3 khi: x = y = z = .
0.25
0.25
0.25
0.25
Bài 7
(1 điểm)
1).* Với k = 1 suy ra phương trình (d): x = 1 không song song: y = 
* Với k ạ 1: (d) có dạng: 
để: (d) // y = Û 
Khi đó (d) tạo Ox một góc nhọn a với: tga = ị a = 600.
2)* Với k = 1 thì khoảng cách từ O đến (d): x = 1 là 1.
* k = 0 suy ra (d) có dạng: y = -2, khi đó khoảng cách từ O đến (d) là 2.
* Với k ạ 0 và k ạ 1. Gọi A = d ầ Ox, suy ra A(1/k; 0)
 B = d ầ Oy, suy ra B(0; 2/k-1)
Suy ra: OA = 
Xét tam giác vuông AOB, ta có : 
Suy ra (OH)max = khi: k = 1/5.
Vậy k = 1/5 thì khoảng cách từ O đến (d) lớn nhất.
0.25
0.25
0.25
0.25
1
1
1
Bài 8
(1điểm)
 y
 M
a) Xét tứ giác OAEM có: F
 E 
(Vì: góc nội tiếp...)
Suy ra: O, A, E, M B
cùng thuộc đường tròn.
 O A x
 C
b) Tứ giác OAEM nội tiếp, suy ra: 
*Mặt khác: A, C, E, F cùng thuộc đường tròn (T) suy ra: 
Do đó: Tứ giác OCFM là hình thang.
0.25
0.25
0.25
0.25
Bài 9 (1điểm)
b)* Do tam giác ABC nhọn, nên H nằm trong tam giác. A
* Đặt S = SDABC; S1 = SHBC; S2 = SHAC; S3 = SHAB. 
Ta có: C1 B1
 H
Tơng tự: B A1 C
Suy ra: 
Theo bất đẳng thức Côsy: 
Dấu "=" xảy ra khi tam giác ABC đều
0.25
0.25
0.25
0.25
Bài 10
(1điểm)
a) Gọi AM, CN là đường cao của tam giác ABC.
Ta có: AB ^ CN
 AB ^ OC (vì: OC ^ mặt phẳng (ABO)
Suy ra: AB ^ mp(ONC) ị AB ^ OH (1).
Tơng tự: BC ^ AM; BC ^ OA, suy ra: BC ^ mp(OAM) ị OH ^ BC (2).
Từ (1) và (2) suy ra: OH ^ mp(ABC)
b) Đặt OA = a; OB = b; OC = c.
Ta có: 
Mặt khác: Do tam giác OAB vuông, suy ra: 
 z
 C
 M
 H B y
 N
 O
 A x
0.25
0.25
0.25
0.25