Đề thi thử đại học lần 1 năm học 2007 - 2008 môn Toán

Sở GD & ĐT Nghệ An
Trường THPT Phan Đăng Lưu 
--------------o0o---------------
Đề thi thử đại học lần 1
Năm học 2007 - 2008
( Môn: Toán. Thời gian làm bài: 180 phút )
Câu 1. 
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x3 - 3x + 1.
Tìm các giá trị của tham số m để phương trình: mữx3ữ - 3mữxữ + m = 1 có 4 nghiệm phân biệt.
Câu 2. Giải các phương trình sau:
.
(1 + tgx) cos3x + (1 + cotgx) sin3x = cos2x .
Câu 3.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(1; 0), B(3; 0), diện tích bằng 1(đvdt) và C nằm trên đường thẳng d: x - y + 1 = 0. Lập phương trình đường cao CH của tam giác đó.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm A(0; 3) và Parabol (P): y2 = x. Điểm M thay đổi trên (P). Tìm M để đoạn AM ngắn nhất.
Trong không gian cho hình hộp chử nhật ABCD.A1B1C1D1 có thể tích bằng 1 (đvtt). Gọi I là trung điểm của đoạn A1D1. Tính độ dài các cạnh của hình hộp. Biết rằng BI ^ (A1C1D).
Câu 4. 
Tính I = .
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: .
Câu 5. Cho x, y là các số thực thỏa mãn . 
Chứng minh rằng: x2y(4 - x - y) ³ - 64.
------------------------------------ Hết --------------------------------------
(Lưu ý: Học sinh thi khối B, D không làm câu 4b)
Hướng dẫn chấm
(Môn Toán- Thi thử ĐH lần 1-Năm học 2007-2008 - Trường THPT Phan Đăng Lưu)
Nội dung
Điểm
Câu 1 
2
(KB, KD:2.5)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x3 - 3x +1
1
(KB,KD: 1,5)
TXĐ: D = ; y’ = 3x2 - 3; y’ = 0 Û x = ±1 ; y(1) = -1; y(-1) = 3
y’ > 0, "x ẻ (-Ơ; -1) ẩ (1; +Ơ) do đó hàm số đồng biến trên các khoảng (-Ơ; -1) và (1; +Ơ). y’ < 0, "x ẻ (-1; 1) do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; 1). Vì vậy điểm (-1; 3) là điểm CĐ; điểm (1; -1) là điểm CT của đồ thị hàm số. 
0.25
(KB,KD: 0,5)
y’’ = 6x; y’’ 0,"x ẻ (0; +Ơ) do đó đồ thị hàm số lồi trên khoảng (-Ơ; 0), lõm trên khoảng (0; +Ơ). Điểm uốn U(0; 1). 
0.25
Bảng biến thiên 
x
-∞ -1 0 1 +∞
y’
 + 0 - 0 +
y’’
 - 0 +
đồ thị
 Lồi U Lõm
3
-Ơ
-1
+Ơ
0.25
KB,KD: 0.5
 Hình 2
Đồ thị hàm số
 Hình 1
0.25
b. 
1 
Nếu m = 0 thì phương trình đã cho vô nghiệm
Nếu m ạ 0 thì phương trình trở thành ữx3ữ - 3ữxữ + 1 = (1)
0.25
Vẽ đồ thị hàm số y = ữx3ữ - 3ữxữ + 1, và đường thẳng y = (Hình 2)
0.25
Số nghiệm PT (1) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = ữx3ữ - 3ữxữ + 1 và đường thẳng y = .
0.25
Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi -1 1. Vậy m > 1, m < -1 là kết quả cần tìm.
0.25
Câu 2.
2 
a.
1 
.
TXĐ: D = (-Ơ; -3] ẩ {-1}ẩ [1; +Ơ). Nếu x = -1 thì PT thỏa mãn
0.25
Nếu x ẻ(-Ơ; -3] thì PT vô nghiệm
0.25
Nếu x ẻ [1; +Ơ) thì PT tương đương với PT . Bình phương ta có x = 1 hoặc x = -25/7(loại). Vậy phương trình có nghiệm là x = ± 1. 
0.5
b. 
1 
ĐK: x ạ kp/2 (k ẻZ). Khi đó PT Û (sin x + cos x) cos2x + (sin x + cos x) sin2x = cos2x - sin2x
0.25
Û (sin x + cos x )(cos2x + sin2x - cos x + sin x) = 0 Û 
0.25
Û (kẻZ)
0.25
Đối chiếu ĐK ta có nghiệm PT là x = -p/4 + kp (k ẻ Z )
0.25
Câu 3.
3 
a. 
1 
AB = 2; C ẻ (d): x - y + 1 = 0 nên C(t; t + 1).
0.25
d(C, AB) = ỗt + 1ỗ, suy ra dt(ABC) = ỗt + 1 ỗ. Theo gt dt(ABC) = 1 suy ra t = 0 hoặc t = -2.
0.5
Do đó CH có PT là x = 0 hoặc x = -2. 
0.25
b. 
1 
Điểm M ẻ (P): y2 = x nên M(t2; t), với t ẻ R. Ta có MA = 
0.5
xét hàm số f(t) = t4 + t2 - 6t + 9, trên R. Ta có f’(t) = (t-1)(4t2+4t+6). 
Lập bảng BT được Minf(t) = 5 khi t = 1.Vậy M(1; 1) là điểm cần tìm.
0.5
c. 
1 
Đặt hệ trục Oxyz sao cho Ox º AB, Oy º AD, Oz º AA1. Đặt AB = a, AD = b, AA1 = c ( a, b, c dương)
Suy ra A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; b; 0), A1(0; 0; c), I (0; b/2; c), C1(a; b; c), do đó 
0.25
BI ^ (DA1C1) Û cùng phương Û 
0.25
Û 
0.25
Mặt khác V = abc = 1 ị a = c = 
0.25
Câu 4.
2 
(KB,KD:1.5)
a. 
1 (KB,KD:1.5)
0.25
(KB,KD:0.5)
Đặt t = 
0.25
(KB,KD:0.5)
= 
0.5
b. 
1
Cách làm 1. TXĐ: D = [-2; 2]; Đặt x = 2sint, với tẻ[-p/2; p/2]
0.25
Khi đó tập giá trị của hàm số trên D bằng tập giá trị của hàm số = 4sin(2t - p/3) trên [-p/2; p/2].
0.5
, khi . Vậykhi .
0.25
Cách làm 2. TXĐ: D = [-2; 2]; 
0.25
Chia trường hợp, rồi bình phương 2 vế, ta có các nghiệm là , 
0.5
f(-2) = f(2) =, , Do đó , khi 
0.25
Câu 5. 
1.0
Đặt A = x2y(4 - x - y), Nếu x + y Ê 4 thì A ³ 0 nên BĐT đúng.
0.25
Nếu x + y > 4 thì -A = x2y(x + y - 4) = =(vì x + y - 4 > 0).
0.5
Vì 4 < x + y Ê 6 nên 0 < và 0 < x + y - 4 Ê 2. Do đó -A Ê 64, dấu “=” khi . Vậy A ³ - 64, dấu “=” khi x = 4, y = 2.
0.25
(Lưu ý: Học sinh giải bằng cách giải khác cách giải nêu trên , nếu đúng vẫn cho điểm tối đa)
------------Hết------------