Toán học - Bài 3: Phương trình lượng giác không mẫu mực

Chương 1: Phương trình lượng giác 
Năm học 2006 – 2007 41
BA 
I 3: PHƯƠNG TRI
NH LƯƠNG GIAC KHƠNG MÂ U MƯC 
Trong gia 
i toa n ta thương găp mơt sơ phương trinh ma  ca ch gia 
i tuy đăc thu cu
a tưng phương 
tri nh, co thê 
 goi đo la  như	ng phương tri nh khơng mâ	u mưc. Mơt sơ PTLG thê 
 hiê n tinh khơng 
mâ 	u mưc ơ
 ngay da ng cu
a chung, nhưng cu	ng co như	ng phương trinh ma  thoat trơng thâ y râ t 
binh thương nhưng ca ch gia 
i lai khơng mâu mưc (hay cach gia 
i khơng mâ 	u mưc thương hay 
hơn, gon hơn cach gia
i mâ	u mưc) 
Trong da ng phương trinh na y phương pha p đa nh gia  bâ t đă
ng thưc râ t thương găp. No gơm 
mơt sơ da ng nho
 sau: 
I. PHƯƠNG PHAP TƠNG BI
NH PHƯƠNG: 
2 2 A = 0A + B 0
B= 0

= ⇔ 

Hê  qua
: ( )
( )
( )
( )
1
n
2
i=1
f 0
f 0
f 0
....
f 0
i
n
x
x
x
x
=

=
= ⇔ 


=
∑ Vơi ( )f 0, 1,i x i n≥ = 
Bài tốn 1: 
Gia
i phương trinh: 
 ( ) ( )2 2 sin 1 0 1x x xy+ + = 
 Giai 
( ) ( )2 2 sin 1 0 1x x xy+ + = ( ) 2 2sin cos 0x xy x⇔ + + =   
( )
( )
1 0
sin 1
1 0
sin 1
x
xy
x
xy
 + =

=
⇔ 
− = = −
1
2
2
1
2
x
y k
x
y l
pi
pi
pi
 = −

 = − +
⇔ 
=

= − + ∈
Vơi ( ),k l ∈Z 
Nhân xe t: đơi vơi bài tốn na y ta dê	 nhin thâ y dang cu
a no cho nên no trơ
 nên dê	 da ng. Do 
đo mơt kinh nghiê m trong gia 
i toan loa i nay co le 	 la câ
n thâ n nhân da ng no. Thưc hiên đươc 
bươc na y ba i toan xem như đươc gia
i khoa
ng 7 phâ n. 
Bài tốn 2: Gia
i phương tri nh: 
 4cos 2cos 2 cos 4 7x x x+ + = − 
 Giai 
 4cos 2cos 2 cos 4 7x x x+ + = − 
 ( ) ( ) ( )4 cos 1 2 cos 2 2 cos 4 1 0x x x⇔ + + + + + = 
Chuyên đề Lượng giác và Ứng dụng 
Nhóm học sinh lớp 11A1 42
1 cos 0
1 cos 2 0
1 cos 4 0
x
x
x
+ =

⇔ + =
 + =
 vơ nghiê m 
Vâ y phương trinh đa	 cho vơ nghiê m. 
Nhân xe t: Trong bài tốn nay ta đa 	 sư
 dung mơt bâ t đa
ng thưc quen thuơc cu
a lương 
gia c: cos 1x ≤ 
Mơt sơ BðT lương gia c thương dung đê 
 ươc lương: 
sin 1x ≤ , cos 1x ≤ , 2 2sin cosa x b x a b+ ≤ + . 
Nê u m, n la cac sơ tư nhiên lơn hơn 2 thi 2 2sin cos sin cos 1m mx x x x± ≤ + = 
II. PHƯƠNG PHAP ðƠI LÂ P: 
(Con co tên goi la phương phap găp nhau ơ
 cư
a-chăn trên chăn dươi 2 vê ): 
A M
A = M
B M
B= M
A=B
≥
 ≤ ⇔ 


Bài tốn 1: Gia
i phương tri nh: 
5 2cos 0x x+ = 
 Giai 
5 2cos 0x x+ = 2 5cosx x⇔ = − 
Vi 21 cos 1 0 1 1 1x x x− ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ 
Ma [ ]1,1 ; cos >0
2 2
x
pi pi 
− ⊂ − ⇒ 
 
 vơi 1 1x− ≤ ≤ 
5cos <0x⇒ − vơi 1 1x− ≤ ≤ 
Do đo ta co 2 0x ≥ va  5cos <0x− nên phương trinh 5 2cos 0x x+ = vơ nghiêm. 
Bài tốn 2: 
 Gia
i phương trinh: 
sin .sin 2 1x x = − 
 Giai 
 sin .sin 2 1x x = − 
sin 1
sin 2 1
sin 1
sin 2 1
x
x
x
x
 =

= −⇔

= −

=
1
2
1
2
2
2
4
2
2
4
x k
x k
x k
x k
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi

= +


= − +

⇔ 

= − +

 = +

 vơ nghiê m 
Chương 1: Phương trình lượng giác 
Năm học 2006 – 2007 43
Nhân xe t: Bài tốn nay co thê
 xem như mơt ba i toa n mâ 	u. Băng ca ch lâp luâ n tương tư ta 
gia 
i đươc ca c phương trinh co dang tương tư: 
sin .sin 1
sin .sin 1
ax bx
ax bx
=
= −
cos .cos 1
cos .cos 1
ax bx
ax bx
=
= −
Bài tốn 3: 
 Gia
i phương trinh: 2sin 1x x x= + + 
 Giai 
Ta xe t hai trương hơp: 
- Nê u [ ]1,0 ,0 sin 0
2
x x
pi 
∈ − ⊂ − ⇒ ≤  
Ma 2 1>0x x+ + ,suy ra vơ nghiê m. 
- Nê u ( ) ( ), 1 0,x ∈ −∞ − ±∞∪ thi sin 1x ≤ 
Ma 
2
2 1 3 1 31 > 1
2 4 4 4
x x x
 
+ + = + + + = 
 
, suy ra phương trinh vơ nghiê m. 
Kê t luâ n: phương tinh đa	 cho vơ nghiê m. 
Nhân xe t: Bài tốn nay đa	 sư
 dung mơt phương pha p ti m nghiê m trong đa i sơ. ðo la phương 
phap chia khoa
ng. Phương pha p na y thương đươc dung trong ca c ba i toa n gia 
i phương trinh 
co tri  tuyêr đơi, co miê n gia  tri lơn xơn, hay trong ca c ba i toa n bâ t phương tri nh.đơi vơi 
phương pha p na y ta chia miê n xac đinh ra tưng khoa 
ng ma  trên khoa 
ng đo ham f khơng đơ
i 
dâu. 
Bài tốn 4: Gia
i phương trinh: 
1
cot cos sin
4
n
n ntgx gx x x + = + 
 
( ); >1n n∈Z 
 Giai 
ðiêu kiê n:
cos 0
sin 0 2
x k
x
x
pi≠
⇔ ≠
≠
Do tg va cotg luơn cung dâu nên 
cot1 1
cot cot 2 1
4 4 4
nn n tgx gx
tgx gx tgx gx
    
+ = + ≥ =   
    
Dâ u đă
ng thưc xa 
y ra khi va  vhi
 khi 
21 1 1 1cot
4 4 2 2
tgx gx tg x tgx x arctg kpi = ⇔ = ⇔ = ± ⇔ = ± + 
 
Vơi ; >1n n∈Z ta xet vê  pha
i : 
2 22 sin cos sin cos 1n nn x x= ⇒ + = + = 
Chuyên đề Lượng giác và Ứng dụng 
Nhóm học sinh lớp 11A1 44
1 1
cot 1
4 2
n
tgx gx x arctg kpi   ⇒ + = ⇔ = ± +   
   
 >2n ta co: 2cos cosn x x≤ 
2sin sinn x x≤
2 2cos sin cos sin cos sin 1n n n nx x x x x x⇒ + ≤ + ≤ + =
' '
2
k
x
pi
= ⇔ = (loa i) 
Vâ y cos sin <1,
2
n n kx x x pi+ ∀ ≠ va  1 cot 1
4
n
tgx gx+ ≥ 
Cho nên vơi >2n phương trinh vơ nghiêm., 
Kê t luâ n: nghiê m cu
a phương trinh la: 
1
2
x arctg kpi = ± + 
 
, k ∈Z 
Nhân xe t: qua bài tốn na y ta thâ y viê c sư
 dung bâ t đă
ng thưc kinh điê 
n trong ca c bai toa n 
giup ta tim đươc gia  tri lơn nhâ t (hay nho
 nhâ t) cu
a mơt biê 
u thưc đê 
 chăn no la i va  đem a p 
dung va o phương trinh bơ
i vi thơng thương điê u kiê n xa 
y ra đă
ng thưc khơng nhiê u giup ta co 
thê 
 gia 
i nhanh cac phương trinh. Phương pha p sư
 dung bâ t đă
ng thưc la mơt phương pha p 
kinh điê 
n đươc sư
 dung rất phơ
 biên. 
Bài tốn 5: 
 Gia
i phương trinh: 
 ( )cos .cos 2 .cos3 sin .sin 2 .sin 3 1 1x x x x x x+ = 
 Giai 
 Sư
 dung bâ t đă
ng thưc BCS ta co: 
 ( )cos .cos 2 .cos3 sin .sin 2 .sin 3 1 1x x x x x x+ = 
cos .cos 2 .cos3 sin .sin 2 .sin 3x x x x x x⇔ +
( )( )2 2 2 2 2 2cos cos 2 sin sin 2 cos 3 sin 3x x x x x x≤ + +
( )2 2 2 2 2 2cos cos 2 sin sin 2 cos sin 1x x x x x x= + ≤ + = 
( )
( )2 2 2 2 2 2
cos cos 2 sin 3 sin sin 2 cos3 0 2
' '
cos cos 2 sin sin 2 cos sin 3
x x x x x x
x x x x x x
= ≥
= ⇔ 
+ = +
Ta xe t ( )3 sin 0x x kpi⇔ = ⇔ = thoa
 (2) 
Vâ y nghiê m cu
a (1) la: ,x k kpi= ∈Z 
Nhân xe t: Bài tốn na y la m ta nhơ đê n ca c tổng hư	u ha n ơ
 bai trươc. Ta cu	ng co thê
 ap dung 
bât đă
ng thưc BCS (như Bài tốn nay) hay bâ t đă
ng thưc Cauchy đê 
 tim đươc gia  tri nho
 nhâ t 
hay lơn nhât cu
a tơ
ng đo. 
Chương 1: Phương trình lượng giác 
Năm học 2006 – 2007 45
III. PHƯƠNG PHAP PHAN CHƯNG: (Nguyên ly cưc biên) 
1
1
1
1
1 1
A A
A=A
B B
B=B
A+B=A B
≤
 ≤ ⇔ 
 +
 Bài tốn1: Gia
i phương trinh: 
12 16sin cos 1x x+ = 
 Giai 
Ta co: 12 2sin sinx x≤ ; 
16 2cos cosx x≤ 
12 16sin cos 1x x x⇒ + ≤ ∀ 
Vi thê 
12 16sin cos 1x x+ = ( )
12 2
16 2
sin sin
2cos cos
x x k
x k
x x
pi =
⇔ ⇔ = ∈
=
Z 
Nhân xe t: Bài tốn nay thuơc dang phương trinh tơ
ng qua t sau: sin cos 1m nx x+ = vơi 
m ,n tư nhiên. 
Ta co: 
( )
( )
22
2 2
sin sin 1sin sin
cos cos cos cos 2
mm
n n
x xx x
x x x x
 = ≤ 
⇒ 
≤ =  
Tư đo ta xe t 4 kha 
 năng cho dang toa n nay: 
1.Nê u m,n cung chă	n. Khi đo: 
( )( ) ( )
sin 0
sin 1
1 2
2cos 0
cos 1
x
x k
x k
x
x
pi
 =

= ±
⇔ ⇔ = ∈
=

= ±
Z 
2. Nêu m,n cung le
. Khi đo: 
 ( )( ) ( )
sin 0
2
sin 1
1 2
2cos 0
2
cos 1
x
x k
x
k
x kx
x
pi
pi
pi
 =
 = 
= ⇔ ⇔ ∈  = += 
=
Z 
3. Nêu mchă	n, n le 
. Khi đo: 
 ( )( ) ( )
sin 0
2
sin 1
1 2
2cos 0
2
cos 1
x
x k
x
k
x kx
x
pi
pi
pi
 =
 = 
= ± ⇔ ⇔ ∈  = += 
=
Z 
4. Nêu m le
, n chă	n. Khi đo: 
Chuyên đề Lượng giác và Ứng dụng 
Nhóm học sinh lớp 11A1 46
 ( )( ) ( )
sin 0
sin 1
1 2
2cos 0
2
cos 1
x
x k
x
k
x kx
x
pi
pi
pi
 =
 = 
= ⇔ ⇔ ∈  = += 
= ±
Z 
Bài tốn 2: Gia 
i phương trinh: 
1 1 1 2
1 cos 2 1 cos 4 1 cos 6x x x
+ + =
+ + −
 Giai 
ðiêu kiê n: 
( )
( )
( )
cos 2 1 1
cos 4 1 2
cos6 1 3
x
x
x
≠ −

≠ −
 ≠
1 cos 2 ,1 cos 4 ,1 cos6 >0x x x⇒ + + − 
Theo bâ t đă
ng thưc Cauchy: 
( ) ( )1 1 11 cos 2 1 cos 4 1 cos6 . 9 4
1 cos 2 1 cos 4 1 cos6
x x x
x x x
 
+ + + + − + + ≥ + + − 
ðăt 1 cos 2 1 cos 4 1 cos6S x x x= + + + + − 
23 1 2sin 2 2sin 4 sin 2x x x= + − = 
 ( )2 2 23 13 sin 4 cos 4 2sin 2 2sin 4 sin 22 2 x x x x x= + − + − − 
 ( )2 29 1 1sin 4 2sin 2 cos 4
2 2 2
x x x= − + − 
( )9 5
2
S⇒ ≤
Dâ u đă
ng thưc xa 
y ra 
( ) ( )
( )
2sin 2 1 cos 2 0 6sin 4 2sin 2 0 sin 2 0
cos 4 0 cos 4 0cos 4 0 7
x xx x x
x xx
+ =+ = = 
⇔ ⇔ ⇔  
= == 
Hê  phương trinh nay vơ nghiê m 9<
2
S⇒
Tưc la  1 1 1 >2
1 cos 2 1 cos 4 1 cos6x x x
+ +
+ + −
Vâ y phương trinh đa	 cho vơ nghiê m.