Đề thi olympic hà nội - Amsterdam môn Toán chuyên lớp 10

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI 
 Trường THPT chuyờn Hà Nội – Amsterdam 
KỲ THI OLYMPIC HÀ NỘI - AMSTERDAM 
MễN TOÁN CHUYấN LỚP 10 
Ngày thi : 25/03/2011 
Thời gian : 180 phỳt 
Bài 1 (4 điểm). Cho nẻƠ thoả món 1 2 23 3 3 3n n n n...+ ++ + + + là số chớnh phương. 
Chứng minh rằng số n chia hết cho 4. 
Bài 2 (4 điểm). Giải hệ phương trỡnh 
( )( )
( )( )
2 2
2 2
8 2 0
4 8 16 16 5 0
y x x
y x x x
ỡ - + + =ù
ớ
- + + - =ùợ
Bài 3 (4 điểm). Xột cỏc tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c thoả món 
0
a b
f ( x ) , x
<ỡ
ớ ³ " ẻợ Ă
. 
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức a b cM
b a
+ +
=
-
. 
Bài 4 (4 điểm). Cho tam giỏc ABC cú O là tõm đường trũn ngoại tiếp. Đường phõn giỏc 
ngoài của gúc A theo thứ tự cắt cỏc đường thẳng vuụng gúc với BC tại B, C ở D và E. 
Chứng minh rằng cỏc đường thẳng AO, BE, CD đồng quy. 
Bài 5 (4 điểm). Cú hai cọc tiền xu, một cọc cú n đồng tiền và một cọc cú k đồng tiền (với 
n, k là cỏc số nguyờn dương). Một rụbụt tự động chuyển tiền xu từ cọc này sang cọc kia 
theo quy luật sau: Nếu một cọc cú số tiền chẵn thỡ chuyển một nửa số tiền từ cọc đú sang 
cọc kia (nửa số tiền cũn lại vẫn ở cọc tiền cũ); khi hai cọc đều cú số tiền chẵn thỡ rụbốt 
chọn ngẫu nhiờn một cọc và cũng chuyển như trờn. Quỏ trỡnh trờn kết thỳc nếu số đồng 
tiền ở hai cọc đều là số lẻ. Tỡm điều kiện cần và đủ của n và k để rụbốt sẽ ngừng làm việc 
sau hữu hạn lần chuyển như vậy. 
------------------HẾT---------------