Chứng minh khác nhau cho một bất đẳng thức lượng giác thường gặp

CHỨNG MINH KHÁC NHAU CHO MỘT BĐT LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 
Chứng minh rằng    
trong đó A, B, C là ba góc của một tam giác bất kì . 
Chứng minh:        ( Theo thứ tự chương trình học Phổ thông )
Cách 1 (THCS) . Dùng tỉ số Diện Tích 
Kẻ các đường cao AD, BE, CF 
Đặt 
; 
; 
Tương tự 
Cộng (1), (2), (3) ta có 
(đpcm) 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều. 
Cách 2:(THCS) Vận dụng bất đẳng thức :Erdos-Mordell 
Cho tam giác ABC. M là một điểm bất kì nằm trong tam giác . 
Đặt  
và lần lượt là khoảng cách từ M đến BC, CA, AB tương ứng. 
Khi đó ta có bất đẳng thức  
Vận dụng giải bài trên: 
Gọi O , R là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC, CA.. 
Ta dễ dàng nhận thấy . 
Do đó : 
Tương tự 
Do đó 
( đpcm).(Erdos-Mordell) 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều. 
Cách 3:(THPT) Sử dụng BĐT Trêbưsep. 
Gọi a, b, c là ba cạnh tam giác, sử dụng công thức hình chiếu ta có: 
, 
, 
, 
Cộng ba biểu thức trên ta có: 
Không mất tính tổng quát giả sử: , ta có: 
Do đó : 
( Trêbưsep) 
(đpcm) 
Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều. 
Cách 4 Phuong pháp vectơ. 
Gọi I và r lần lượt là tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, 
và M, N, P lần lượt là tiếp điểm của đường tròn đó 
với các cạnh AB, AC, BC ,ta có 
(*) 
Ta nhận thấy 
( Vì và góc A bù nhau) 
Tương tự :, 
Vậy từ (*) suy ra (dpcm) 
Cách 5: Phuong pháp vectơ. 
Lấy A, B, C lần lượt là ba gốc của ba véctơ đơn vị sau 
, , 
. 
Ta có : 
Cách 6: Quan hệ bất đẳng thức Schur. 
( Schur) 
Cách 7 :Sử dụng tam thức bậc hai. 
Xét 
Đặt . 
Xét tam thức 
Có , 
và hệ số ,Nên với mọi x 
Hay  
Cách 8: Sử dụng hàm số. 
Ta có 
. 
Đặt , 
điều kiện .Xét hàm số 
Lập bảng xét dấu ta có  
Cách 9: Tổng bình phương. 
Xét 
(Đúng) 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A=B=C 
Cách 10:  BĐT lượng giác cơ bản 
Ta có : 
( đẳng thức xảy ra khi A=B) 
( đẳng thức xảy ra khi  
Vậy : 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều. 
Cách 11:  Đánh Giá BĐT 
-Tam giác ABC không nhọn, Giả sử góc  
Ta có : 
(1) 
(2) 
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta có: 
(3) 
Suy ra  
Nếu A nhọn, thì (1), (2), (3) đều thỏa mãn. 
Cách 12 :Hàm lồi  
Nếu tam giác không nhọn, luôn đúng ! : 
Xét hàm số f(x) = cosx trong  
Ta có f'(x) = -sinx , f''(x)=-cosx <0 với  
Do đó hàm f(x) = cosx lồi trên 
Do đó 
Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều