Đề thi học sinh giỏi - Lớp 8 Năm học 2012 - 2013 Môn Thi: Toán TRƯỜNG THCS NHỮ BÁ SỸ

TRƯỜNG THCS NHỮ BÁ SỸ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI - LỚP 8
 THỊ TRẤN BÚT SƠN NĂM HỌC 2012 - 2013
 MễN THI: TOÁN
 Thời gian làm bài: 120 phỳt 
 	 (Khụng kể thời gian giao đề) 
 Ngày thi: 18/ 3/ 2013

Bài 1: ( 4,0 điểm) Cho biểu thức 
a) Rỳt gọn biểu thức.
b) Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để A nhận giỏ trị nguyờn.
Bài 2: ( 6,0 điểm)
a) Giải phương trỡnh: x6 – 7x3 – 8 = 0
b) Tỡm cỏc số tự nhiờn n để là số nguyờn tố.
c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 
d) Cho a. b. c = 1 và a + b + c = . Chứng minh rằng cú ớt nhất một trong ba số a, b, c bằng 1.
Bài 3: (3,0 điểm). 
a) Tỡm tất cả cỏc số nguyờn x, y biết x > y > 0 thỏa món: x3 + 7y = y3 + 7x.
b) Cho 0 Ê a; b; c Ê 1. Chứng minh rằng : 2( a3 + b3 + c3) Ê 3 + a2b + b2c + c2a.
Bài 4: (5,0 điểm). Cho tam giỏc nhọn ABC, hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:
a) AB. AF = AC. AE.
b) DAEF ~ DABC.
c) BH.BE + CH.CF = BC2.
Bài 5: ( 2,0 điểm)
Cho tam giỏc ABC cõn tại A cú Chứng minh tỉ số là số vụ tỉ.

 …………………………………… HẾT …………………………………

Họ và tờn thớ sinh:…………………………… Giỏm thị 1:………………………

Số bỏo danh:………………………. Giỏm thị 2:……………………….



TRƯỜNG THCS NHỮ BÁ SỸ HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI 
 THỊ TRẤN BÚT SƠN MễN TOÁN - LỚP 8
 Năm học : 2012 - 2013

Bài
Nội dung
Điểm






Bài 1

4,0điểm
a/ 2,5 đ
ĐKXĐ : x ≠ 2 , x ≠ 3



0,5đ

1,0đ


1,0đ




b/ 1,5 đ

A cú giỏ trị nguyờn Û cú giỏ trị nguyờn 
Û x – 2 ẻ Ư(4) = {1; -1; 2; - 2; 4; - 4}
Û x ẻ {3 ; 1 ; 4 ; 0 ; 6 ; - 2}
Vỡ x ≠ 2 , x ≠ 3 nờn x ẻ {1 ; 4 ; 0 ; 6 ; - 2}

0,25đ




0,5đ
0,25đ
0,5đ




Bài 2
6,0 điểm
a/ 1,5 đ
Ta cú x6 – 7x3 – 8 = 0 Û (x3 + 1)(x3 – 8) = 0 
Û (x + 1)(x2 – x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 4) = 0 (1)
Do x2 – x + 1 = (x – )2 + > 0 và x2 + 2x + 4 = (x + 1)2 + 3 > 0 với mọi x, nờn (1) Û (x + 1)(x – 2) = 0 Û x ẻ{- 1; 2}
Vậy phương trỡnh cú tập nghiệm : S = {- 1; 2}


0,5đ

0,5đ

0,5đ


b/ 1,5 đ
 
Với n = 0 Thỡ = 100 khụng phải là số nguyờn tố.
Với n > 0, ta cú 0 < n2 – 6n + 10 < n2 + 6n + 10
Để là số nguyờn tố thỡ n2 – 6n + 10 = 1
ị (n – 3)2 = 0 ị n = 3
Khi đú = 37 là số nguyờn tố.
Vậy với n = 3 thỡ là số nguyờn tố.



0,5đ

0,5đ


0,5đ


c/ 1,5 đ
Ta cú : = 3 + = 3 + 
Do (x + 1)2 ≥ 0 với mọi x (dấu “ =” xảy ra Û x = -1 )
ị ≤ (dấu “ =” xảy ra Û x = -1 )
 ị 3 + 3 + = (dấu “ =” xảy ra Û x = -1 )
Vậy giỏ trị lớn nhất của B = tại x = -1


0,5đ



0,5đ


0,5đ

d) (1,5đ). a + b + c = Û a + b + c - (bc + ca + ab) = 0
Û abc - bc - ca - ab + (a + b + c ) - 1 = 0 Û (a - 1)(b - 1)(c - 1) = 0
 suy ra đpcm

0,5 đ
0,5đ

0,5đ
Bài 3
3,0 điểm
a) (1,5đ). x3 + 7y = y3 + 7x Û (x - y)(x2 + xy + y2) = 7(x - y)
Û x2 + xy + y2 = 7 (vỡ x > y )
Û (x - y)2 = 7 - 3xy . Do (x - y)2 > 0 nờn 7 - 3xy > 0 hay xy 
Kết hợp 0 < y < x, từ đú suy ra x = 2, y = 1.


1,5 đ

b)(1,5đ).Nhận xột: với 0 Ê x Ê 1 thỡ x ≥ x3, x2 ≥ x3 nờn x2 + x ≥ 2 x3(*)
Từ 0 Ê a; b; c Ê 1 ị (1 - a2)(1 - b) + (1 - b2)(1 - c) + (1 - c2)(1 - a) ≥ 0
nờn 3 + a2b + b2c + c2a ≥ (a2 + b2 + c2) + (a + b + c) 
 = (a2 + a) + (b2 + b) + (c2 + c) ≥ 2a3 + 2b3 + 2c3 (theo (*))ị đpcm


1,5đ
Bài 4
5,0 điểm
A
B
C
D
E
F
H
a) (1,5đ). 
DABE ~ DACF (g.g) 
 ị AB.AF = AC.AE





1,5 đ

b) (1,5đ). Từ 
và Â chung ịDAEF ~ DABC (c.g.c)

1,5 đ

c) (1,5đ). Vẽ HD ^ BC .
DBHD ~ DBCE ị BH.BE = BC.BD (1)
DCHD ~ DCBF ị CH.CF = BC.CD (2)
Cộng từng vế (1) với (2) được : 
BH.BE + CH.CF = BC(BD + CD) = BC2.
0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ


0,5 đ


Bài 5

2,0điểm


Trong tam giỏc ABC lấy điểm M sao cho: 
trờn tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho CE = CB
=> 
Ta cú CME=CMB(c-g-c)
=> ME=MB mà => MBA đều
Mặt khỏc ta cú => BAE cõn => BA=BE(1)
Kẻ AP là phõn giỏc => => PA=PB
 => => =>AP=AE (2)
từ (1) và (2) => AE=PA=PB
do AP là phõn giỏc gúc EAB nờn 
 => => 
=> AB2=AE(AE+AB) = AE2+AE.AB
 => 
=> =>
 
=> 
vậy là số vụ tỷ.
 

















0,25đ

0,25đ


0,25đ
0,25đ

0,25đ


0,25đ

0,25đ


0,25đ


Lưu ý: 
Bài hỡnh học sinh khụng vẽ hỡnh hoặc vẽ sai cơ bản khụng chấm điểm.
Học sinh giải cỏch khỏc đỳng vẫn cho điểm tối đa.