Đề thi học sinh giỏi cấp Thành phố năm học 2016-2017 môn Toán Lớp 9 - Phòng GD&ĐT Thanh Hóa (Có đáp án)

 PHÒNG GD & ĐT THÀNH PHỐ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ
 THANH HÓA NĂM HỌC 2016 - 2017
 Môn Toán: Lớp 9
 ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm bài: 150 phút)
 Bài 1: (5,0 điểm) 
 x 2 x 1 x 1
 Cho biểu thức: P : . Với x 0, x 1.
 x x 1 x x 1 1 x 2
 a) Rút gọn biểu thức P.
 2
 b) Tìm x để P .
 7
 c) So sánh: P2 và 2P.
 Bài 2: (4,0 điểm) 
 a) Tìm x, y Z thỏa mãn: 2y2 x x y 1 x2 2y2 xy
 b) Cho a, b, c là các số nguyên khác 0 thỏa mãn điều kiện: 
 2
 1 1 1 1 1 1
 2 2 2 .
 a b c a b c
 Chứng minh rằng: a3 b3 c3 chia hết cho 3.
 Bài 3: (4,0 điểm) 
 a) Giải phương trình sau: 4x2 20x 25 x2 6x 9 10x 20
 2 2
 b) Cho x, y là 2 số thực thoả mãn: x + 2y + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0.
 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x + y + 1.
 Bài 4: (6,0 điểm)
 Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. N là điểm tùy ý thuộc cạnh AB. Gọi E là giao điểm của CN và 
 DA. Vẽ tia Cx vuông góc với CE và cắt AB tại F. Lấy M là trung điểm của EF.
a) Chứng minh: CM vuông góc với EF. 
b) Chứng minh: NB.DE = a2 và B, D, M thẳng hàng.
c) Tìm vị trí của N trên AB sao cho diện tích của tứ giác AEFC gấp 3 lần diện tích của hình vuông ABCD
 Bài 5: (1,0 điểm) 
 Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 
 a b c a b c
 a b b c c a b c c a a b
 -------------- Hết------------
 Lưu ý: Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9
Bài Câu Nội dung Điểm
1 a Điều kiện: x 0, x 1. 0,5
 x 2 x 1 x 1
 P :
 x x 1 x x 1 1 x 2
 0,5
 x 2 x 1 x 1
 :
 3 
 x 1 x x 1 x 1 2
 x 2 x( x 1) (x x 1) x 1
 : 0,5
 x 1 x x 1 2
 x 2 x 1 2
 .
 x 1 x x 1 x 1 0,5
 2
 x x 1
 b Với x 0, x 1. Ta có:
 2 0,5
 P 
 7
 2 2
 1,0
 x x 1 7
 x x 1 7 0,25
 x x 6 0
 ( x 2)( x 3) 0 0,25
 Vì x 3 0 nên x 2 0 x 4(t/m) 
 2
 Vậy P = khi x = 4 
 7
 c Vì x 0 x x 1 1 0,25
 0,25 2
 0 2
 x x 1
 0 P 2
 0,25
 P(P 2) 0
 0,25
 P 2 2P 0
 P 2 2P
 Dấu “=” xảy ra khi P = 2 x = 0
 2
 Vậy P 2P
2 a 2y2x x y 1 x2 2y2 xy
 2y2x x y 1 x2 2y2 xy 0 0,5
 0,25
 x 1 (2y2 y x) 1
 Vì x, y Z nên x - 1 Ư(-1) = 1; 1
 +) Nếu x – 1 = 1 x = 2 0,5
 Khi đó 2y2 - y – 2 = - 1 
 1
 y = 1 (t/m) hoặc y = Z (loại)
 2
 +) Nếu x – 1 = -1 x = 0 0,5
 Khi đó 2y2 - y = 1 
 1
 y = 1 (t/m) hoặc y = Z (loại) 0,25
 2
 x 2 x 0
 Vậy ; 
 y 1 y 1
 b a) Từ giả thiết 0,5
 1 1 1 1 1 1
 ( )2 
 a b c a 2 b2 c2 0,5
 1 1 1
 2( ) 0
 ab bc ca
 Vì a, b, c 0 nên a + b + c = 0
 0,5
 0,25 a b c 0,25
 a b 3 c 3
 a3 b3 3ab(a b) c3
 a3 b3 c3 3abc
 Vậy a3 b3 c3 3 với a, b, c Z 
 Lưu ý: Nếu học sinh sử dụng hằng đẳng thức
 x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) 
 mà không chứng minh thì trừ 0,5 điểm.
3 a Đkxđ: x R 0,25
 4x2 20x 25 x2 6x 9 10x 20
 Vì 4x2 20x 25 x2 6x 9 0 với x
 0,5
 10x – 20 0 x 2
 Ta có: 
 2 2
 4x 20x 25 x 6x 9 10x 20 0,5
 2x 5 x 3 10x 20
 2x 5 x 3 10x 20 0,5
 7x 28
 x 4(t / m)
 0,25
 Vậy phương trình có nghiệm là x = 4
 b x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0. 0,5
 x y 2 7(x y) 10 y2
 (x y 2)(x y 5) y2 0
 4 x y 1 1 0,5
 * x + y + 1 = - 4 khi x = - 5; y = 0
 0,5
 * x + y + 1 = - 1 khi x = - 2; y = 0
 Vậy Amin = - 4 khi x= - 5; y = 0
 0,5
 Amax = - 1 khi x = -2; y = 0 4 a E
 M
 A N B F
 1,0
 D C
 Ta có: E· CD B· CF (cùng phụ với E· CB )
 Chứng minh được: EDC = FBC (cạnh góc vuông – góc nhọn) 1,0
 CE = CF
 ECF cân tại C
 Mà CM là đường trung tuyến nên CM  EF
 b * Vì EDC = FBC ED = FB 0,5
 NCF vuông tại C. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông 
 ta có: 
 BC2 = NB.BF a2 = NB.DE (đpcm) 0,5
 EF
 * CEF vuông tại C có CM là đường trung tuyến nên CM 
 2
 EF 0,5
 AEF vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên AM 
 2
 CM = AM M thuộc đường trung trực của AC.
 Vì ABCD là hình vuông nên B, D thuộc đường trung trực của AC 0,5
 B, D, M thẳng hàng vì cùng thuộc đường trung trực của AC 
 (đpcm).
 c Đặt DE = x (x > 0) BF = x 0,5
 1
 SACFE = SACF + SAEF = AF AE CB 
 2
 0,25 1
 (AB BF)  AE AD 
 2
 1
 (a x).DE
 2
 0,5
 1
 (a x)x
 2
 1 2 2 2
 SACFE = 3.SABCD (a x)x 3a 6a ax x 0
 2
 (2a x)(3a x) 0 0,5
 Do x > 0; a > 0 3a + x > 0 2a x 0 x = 2a
 A là trung điểm của DE AE = a
 0,25
 AN AE
 Vì AE //BC nên 1
 NB BC
 N là trung điểm của AB.
 Vậy với N là trung điểm của AB thì SACFE = 3.SABCD 
5 a a a c 0,5
 * Vì a, b, c > 0 nên 1 .
 a b a b a b c
 b b a c c b
 Tương tự: ; 
 b c a b c c a a b c
 a b c
 2 (1)
 a b b c c a
 a a
 * Ta có: 
 b c a(b c)
 Vì a, b, c > 0 nên theo bất đẳng thức Cô- si ta có:
 a (b c)
 a (b c) 0
 2
 2 1
 a b c a (b c)
 2a a 2a a
 a b c a(b c) a b c b c
 2b b 2c c
 Tương tự: ; 
 a b c a c a b c b a a b c
 2
 b c c a a b
 Dấu ‘ =” xảy ra khi a = b + c; b = c + a; c = a +b 0,5
 tức là a = b = c (vô lý).
 a b c
 2 (2) 
 b c c a a b
 Từ (1) (2) ta có đpcm.
* Lưu ý khi chấm bài:
- Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm 
tương ứng.
- Với bài 5, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm.