Đề thi Dạy học "Hình học không gian” trong chương trình toán lớp 11 ở bậc THPT

Gi¶i ph¸p h÷u Ých N¨m häc 2006 - 2007 
A. më ®Çu 
 I. Lý do chän ®Ò tμi 
 “H×nh häc kh«ng gian” cã nhiÒu øng dông trong nhiÒu lÜnh vùc khoa häc. 
§Æc biÖt: nã cã tÝnh thùc tÕ cao vμ lμ mét bé m«n ®−îc ®−a vμo ch−¬ng tr×nh 
To¸n ë bËc THPT víi khèi l−îng kiÕn thøc cña nã xuÊt hiÖn kh¸ nhiÒu vμ rÊt da 
d¹ng, phong phó. 
 “H×nh häc kh«ng gian” lμ mét néi dung quan träng trong ch−¬ng tr×nh to¸n 
líp 11 ë bËc THPT. Vμ nã cßn tiÕp tôc nghiªn cøu trong bé m«n “H×nh häc gi¶i 
tÝch” líp 12. Tõ ®ã gióp cho häc sinh ngμy cμng nhËn thøc ®Çy ®ñ vμ s©u s¾c h¬n 
vÒ bé m«n h×nh häc Do ®ã, muèn häc tèt bé m«n: “H×nh häc kh«ng gian” 
kh«ng nh÷ng häc sinh ph¶i n¾m v÷ng c¸c kh¸i niÖm, ®Þnh nghÜa, tÝnh chÊt,... mμ 
cßn ph¶i cã kh¶ n¨ng ®äc h×nh vμ nh¹y bÐn trong viÖc lùa chän kiÕn thøc ®Ó vËn 
dông gi¶i bμi tËp. §©y chÝnh lμ vÊn ®Ò g©y khã kh¨n cho nhiÒu häc sinh. 
 Qua nh÷ng n¨m gi¶ng d¹y bé m«n “H×nh häc kh«ng gian” trong ch−¬ng 
tr×nh to¸n líp 11 ë bËc THPT, t«i nhËn thÊy viÖc gi¶i bμi to¸n: “H×nh häc kh«ng 
gian” ®èi víi c¸c em häc sinh lμ khã kh¨n, ®Æc biÖt ®èi víi häc sinh trung b×nh - 
yÕu - kÐm. §Ó gióp c¸c em tr¸nh ®−îc nh÷ng khã kh¨n nãi trªn, tõ ®ã gióp cho 
c¸c em cã nhiÒu høng thó trong häc to¸n vμ gi¶i to¸n ®¹t hiÖu qu¶ cao h¬n, t«i ®· 
viÕt ®Ò tμi nμy. 
 II. Ph¹m vi - ®èi t−îng - c¬ së nghiªn cøu 
 1. Ph¹m vi nghiªn cøu 
 §Ó häc tèt bé m«n “H×nh häc kh«ng gian” ®ßi hái häc sinh ph¶i n¾m v÷ng 
kiÕn thøc cña bé m«n vμ cã Ýt nhiÒu kinh nghiÖm, thËm chÝ cã Ýt nhiÒu nghÖ thuËt 
trong viÖc vÏ h×nh, ®äc h×nh vμ hÖ thèng - ph©n lo¹i kiÕn thøc. ë ®©y t«i ®Æc biÖt 
quan t©m ®Õn vÊn ®Ò “HÖ thèng - ph©n lo¹i kiÕn thøc”. Trong ®Ò tμi nμy t«i chia 
thμnh hai phÇn: 
 c Quan hÖ ®Þnh tÝnh 
 d Quan hÖ ®Þnh l−îng. 
 2. §èi t−îng nghiªn cøu 
 “H×nh häc kh«ng gian” lμ mét ph©n m«n trong ch−¬ng tr×nh to¸n líp 11, thÕ 
nh−ng khi häc ph©n m«n nμy c¸c em häc sinh th−êng tá ra lóng tóng, khã kh¨n, 
®Æc biÖt ®èi víi häc sinh trung b×nh - yÕu - kÐm. §Ò tμi nμy cung cÊp cho c¸c em 
häc sinh mét sè ®Þnh h−íng, kinh nghiÖm khi gi¶i bμi to¸n “H×nh häc kh«ng 
gian”. 
 3. C¬ së nghiªn cøu 
 Trªn c¸c líp11 ë bËc THPT cña tr−êng Trung häc phæ th«ng C¸t Tiªn. 
 III. Ph−¬ng ph¸p nghiªn cøu 
 1. Ph−¬ng ph¸p chÝnh 
Suy nghÜ - nghiªn cøu, tæng hîp kinh nghiÖm khi gi¶ng d¹y bé m«n “H×nh 
häc kh«ng gian” trong ch−¬ng tr×nh to¸n líp 11 ë bËc THPT, quan s¸t nh÷ng 
sai lÇm, khã kh¨n cña häc sinh khi lμm bμi tËp, bμi kiÓm tra, bμi thi. 
 2. Ph−¬ng ph¸p bæ trî 
§iÒu tra, thèng kª vμ tham kh¶o tμi liÖu, cïng víi viÖc tiÕp thu cã chän läc 
c¸c ý kiÕn cña ®ång nghiÖp. 
 Vâ ThÞ Tha Trang 1 
Gi¶i ph¸p h÷u Ých N¨m häc 2006 - 2007 
Cuoái cuøng, cho duø ñaõ raát coá gaéng baèng vieäc tham khaûo nhieàu taøi lieäu, cuøng 
vôùi vieäc tieáp thu coù choïn loïc caùc yù kieán cuûa caùc baïn ñoàng nghieäp vaø nhöõng gì 
ñaõ ghi nhaän ñöôïc trong suoát nhieàu naêm giaûng daïy, nhöng chaéc chaén cuõng 
khoâng traùnh khoûi nhöõng thieáu soùt, raát mong nhaän ñöôïc nhöõng yù kieán ñoùng goùp 
quí baùu cuûa quí baïn ñoïc. Qua ñaây toâi xin chaân thaønh caûm ôn Sôû GD&ÑT tænh 
Laâm Ñoàng, BGH tröôøng THPT Caùt Tieân vaø caùc ñoàng nghieäp ñaõ taïo ñieàu kieän 
cho toâi hoaøn thaønh ñeà taøi naøy. 
 Caùt Tieân, ngaøy 20 thaùng 02 naêm 2007 
 Ngöôøi vieát 
 Vâ ThÞ Tha 
-------------X‰W------------ 
 Vâ ThÞ Tha Trang 2 
Gi¶i ph¸p h÷u Ých N¨m häc 2006 - 2007 
B. Néi dung 
I. quan hÖ ®Þnh tÝnh 
1. Quan hÖ vÒ liªn thuéc 
- Cho ®iÓm A vμ ®−êng th¼ng d, khi ®ã: hoÆc A thuéc d, hoÆc A kh«ng thuéc 
d. 
KÝ hiÖu: A ∈ d , A ∉ d. 
- Cho ®iÓm A vμ mÆt ph¼ng (α), khi ®ã: hoÆc A thuéc (α), hoÆc A kh«ng thuéc 
(α). KÝ hiÖu: A ∈ (α) , A ∉ (α). 
- Cho ®−êng th¼ng d vμ mÆt ph¼ng (α), khi ®ã: hoÆc d n»m trong (α), hoÆc d 
kh«ng n»m trong (α). KÝ hiÖu: d ⊂ (α) , d ⊄ (α). 
2. VÞ trÝ t−¬ng ®èi gi÷a hai ®èi t−îng c¬ b¶n 
STT §èi t−¬ng c¬ b¶n VÞ trÝ t−¬ng ®èi KÝ hiÖu 
A vμ B trïng nhau A ≡ B 1 Hai ®iÓm A vμ B 
A vμ B ph©n biÖt A ≠ B 
d vμ d’ trïng nhau d ≡ d’ 
d vμ d’ c¾t nhau 
(t¹i mét ®iÓm M)
d ∩ d’ = M 
d vμ d’ song song víi nhau d // d’ 
2 
Hai ®−êng th¼ng d vμ d’ 
d vμ d’ chÐo nhau 
d n»m trong (α) d ⊂ (α) 
d c¾t (α) 
(t¹i mét ®iÓm M) 
d ∩ (α) = M 
3 
§−êng th¼ng d vμ mÆt 
ph¼ng (α) 
d song song (α) d // (α) 
(α) vμ (β) trïng nhau (α) ≡ (β) 
(α) vμ (β) c¾t nhau 
(theo giao tuyÕn d) 
(α) ∩ (β) = d 
4 
Hai mÆt ph¼ng (α) vμ (β)
(α) vμ (β) song song víi nhau (α) // (β) 
3. Ph−¬ng ph¸p x¸c ®Þnh ®−êng th¼ng 
STT Tãm t¾t néi dung H×nh vÏ minh ho¹ 
1 
A, B ph©n biÖt ⇒ ∃! a: a A
a B
∋⎧⎨ ∋⎩ 
a 
B. A. 
A ∉ b ⇒ ∃! a: 
//
a A
a b
∋⎧⎨⎩ 2 
 Vâ ThÞ Tha Trang 3 
Gi¶i ph¸p h÷u Ých N¨m häc 2006 - 2007 
(§Þnh lÝ 1- §1. Ch−¬ng 2-SGK trang 22)
a 
b A.
3 
O, (α) ⇒ ∃! a: ( )
a O
a α
∋⎧⎪⎨ ⊥⎪⎩
(§Þnh lÝ 2- §2. Ch−¬ng 3-SGK trang 62)
4. Ph−¬ng ph¸p x¸c ®Þnh mÆt ph¼ng 
.O
a 
α 
STT Tãm t¾t néi dung H×nh vÏ minh ho¹ 
1 
A, B, C kh«ng th¼ng hμng ⇒ ∃! (ABC) 
(Tiªn ®Ò 1- §2. Ch−¬ng 1-SGK trang 7)
.A
B. 
C. 
2 
A ∉ a ⇒ ∃! (a, A) 
(§Þnh lÝ 2- §2. Ch−¬ng 1-SGK trang 9)
3 
a ∩ b = O ⇒ ∃! (a, b) 
(§Þnh lÝ 3- §2. Ch−¬ng 1-SGK trang 9)
.A
a 
4 
a // b ⇒ ∃! (a, b) 
b 
(§Þnh nghÜa- §1. Ch−¬ng 2-SGK trang 22)
5 
a chÐo b ⇒ ∃! (α): ( )( )
//
a
b
α
α
⎧ ⊃⎪⎨⎪⎩
 hoÆc 
( )
( )
//
b
a
α
α
⎧ ⊃⎪⎨⎪⎩
(§Þnh lÝ 4- §2. Ch−¬ng 2-SGK trang 30)
6 
A ∉ (α) ⇒ ∃! (β): ( )( ) ( )//
Aβ
β α
⎧ ∋⎪⎨⎪⎩
(§Þnh lÝ 3- §3. Ch−¬ng 2-SGK trang 34)
a O 
a 
b 
α a A 
b’ 
b 
A.β 
α 
a 
β 
 Vâ ThÞ Tha Trang 4 α 
Gi¶i ph¸p h÷u Ých N¨m häc 2006 - 2007 
7 
a // (α) ⇒ ∃! (β): ( )( ) ( )//
aβ
β α
⎧ ⊃⎪⎨⎪⎩
(HÖ qu¶ 1- §3. Ch−¬ng 2-SGK trang 34)
8 
A, a ⇒ ∃! (α): ( )( )
A
a
α
α
⎧ ∋⎪⎨ ⊥⎪⎩
(§Þnh lÝ 1- §2. Ch−¬ng 3-SGK trang 61)
a 
A
α 
9 
a (α) ⇒ ∃!( ) ( )( ) ( ):
aββ β α
⎧ ⊃⎪⎨ ⊥⎪⎩
(§Þnh lÝ 4- §3. Ch−¬ng 3-SGK trang 72)
β 
a 
α 
5. DÊu hiÖu nhËn biÕt ®−êng th¼ng n»m trong mÆt ph¼ng 
STT Tãm t¾t néi dung H×nh vÏ minh ho¹ 
1 
( ) ( )
,
,
A B d
d
A B
αα
∈ ⎫⎪⇒ ⊂⎬∈ ⎪⎭
(Tiªn ®Ò 2- §2. Ch−¬ng 1-SGK trang 7)
2 
( )
( ) ( ) ( )
//
//
A a
a
A
α ββ α
⎫∈ ⎪⇒ ⊂⎬∈ ⎪⎭
(HÖ qu¶ 3- §3. Ch−¬ng 2-SGK trang 35)
3 
( )
( ) ( ) ( )
A a
a
A
α ββ α
⎫∈ ⊥ ⎪⇒ ⊂⎬∈ ⊥ ⎪⎭
(§Þnh lÝ 2- §3. Ch−¬ng 3-SGK trang 71)
6. DÊu hiÖu nhËn biÕt hai ®−êng th¼ng song song 
STT Tãm t¾t néi dung H×nh vÏ minh ho¹ 
d A. 
B.
a A. 
α 
β 
β 
a 
α 
A. 
 Vâ ThÞ Tha Trang 5 
Gi¶i ph¸p h÷u Ých N¨m häc 2006 - 2007 
1 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
, //
, // //
a b
a b d a
d
α β
α β
α β
⎫≠ ⎪⊃ ⊃ ⇒⎬⎪∩ = ⎭
b 
(HÖ qu¶- §1. Ch−¬ng 2-SGK trang 23) 
2 
// /
//
a b
a c a b
b c
≠ ⎫⎪⇒⎬⎪⎭
/ 
(§Þnh lÝ 3- §1. Ch−¬ng 2-SGK trang 24) 
3 
( )
( )
( ) ( )
//
//
d
d a
a
α
β
α β
⎫⎪⊂ ⇒⎬⎪∩ = ⎭
d 
(§Þnh lÝ 2- §2. Ch−¬ng 2-SGK trang 29)
4 
( ) ( )
( )
( )
// /
//
a
d a
d
α β
α
β
⎫∩ = ⎪⇒⎬⎪⎭
/ d 
(§Þnh lÝ 3- §2. Ch−¬ng 2-SGK trang 30)
5 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
//
//a a
b
α β
γ α
γ β
⎫⎪∩ = ⇒⎬⎪∩ = ⎭
b 
(§Þnh lÝ 4- §3. Ch−¬ng 2-SGK trang 35) 
6 
( )
( )
//
a b
a a
b
α
α
⎫≠ ⎪⊥ ⇒⎬⎪⊥ ⎭
b 
(TÝnh chÊt 4- §2. Ch−¬ng 3-SGK trang 64)
7. DÊu hiÖu nhËn biÕt ®−êng th¼ng song song mÆt ph¼ng 
a 
c b 
a b 
α 
a 
b 
d 
α β 
α 
β 
a 
d 
a 
d 
α 
β 
α 
β 
γ 
a 
b 
STT Tãm t¾t néi dung H×nh vÏ minh ho¹ 
 Vâ ThÞ Tha Trang 6 
Gi¶i ph¸p h÷u Ých N¨m häc 2006 - 2007 
1 
 ( )
( ) ( )//
//
d
a d
d a
α
α α
⎫⊄ ⎪⊂ ⇒⎬⎪⎭
(§Þnh lÝ 1- §2. Ch−¬ng 2-SGK trang 29)
2 
( ) ( )
( ) ( )
//
//a
a
α β βα
⎫⎪⇒⎬∀ ⊂ ⎪⎭
(§Þnh lÝ 1- §3. Ch−¬ng 2-SGK trang 33)
3 
( )
( )
( )//
a
a d a
d
α
α
α
⎫⊄ ⎪⊥ ⇒⎬⎪⊥ ⎭
(TÝnh chÊt 5- §2. Ch−¬ng 3-SGK trang 64)
8. DÊu hiÖu nhËn biÕt hai mÆt ph¼ng song song 
STT Tãm t¾t néi dung H×nh vÏ minh ho¹ 
1 
( )
( )
( ) (// , //
//
a b O
a a b
b
)α α
α
⎫∩ = ⎪⇒⎬⎪⎭
(§Þnh lÝ 2- §3. Ch−¬ng 2-SGK trang 33) 
2 
 ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )// //
//
α β
α γ α
β γ
⎫≠ ⎪⇒⎬⎪⎭
β 
(HÖ quμ 2- §3. Ch−¬ng 2-SGK trang 34)
3 
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )//d
d
α β
α α β
β
⎫≠ ⎪⊥ ⇒⎬⎪⊥ ⎭
(TÝnh chÊt 3- §2. Ch−¬ng 3-SGK trang 63)
a 
b 
α 
O 
d a 
α 
a 
α 
β 
α 
a 
d 
α 
γ 
β 
α 
β 
d 
9. DÊu hiÖu nhËn biÕt hai ®−êng th¼ng vu«ng gãc 
STT Tãm t¾t néi dung H×nh vÏ minh ho¹ 
1 
 ( ) 0, 90 a b a b= ⇒ ⊥ 
 Vâ ThÞ Tha Trang 7 
Gi¶i ph¸p h÷u Ých N¨m häc 2006 - 2007 
(§Þnh nghÜa- §1. Ch−¬ng 3-SGK trang 55) 
2 
//a b
c b
c a
⎫⇒ ⊥⎬⊥ ⎭ 
(§Þnh lÝ- §1. Ch−¬ng 3-SGK trang 56)
a 
c 
b 
3 
d AB
d BC
d AC
⊥ ⎫⇒ ⊥⎬⊥ ⎭ 
 (HÖ qu¶ - §2. Ch−¬ng 3-SGK trang 60)
A B 
d 
C 
4 
( )
( )
d
d a
a
α
α
⎫⊥ ⎪⇒ ⊥⎬∀ ⊂ ⎪⎭
 (§Þnh nghÜa - §2. Ch−¬ng 3-SGK trang 60)
5 
( )
( )'
'
a
b
a Ch b a
b a
α
α ⎫⊂ ⎪⎪= ⇒⎬⎪⊥ ⎪⎭
⊥ (§Þnh lÝ 3 ®−êng vu«ng gãc) 
(§Þnh lÝ 3- §2 Ch−¬ng 3-SGK trang 65)
10. DÊu hiÖu nhËn biÕt ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng 
STT Tãm t¾t néi dung H×nh vÏ minh ho¹ 
1 
( ),
a b O
d a d a b
d b
∩ = ⎫⎪⊥ ⇒ ⊥⎬⎪⊥ ⎭
(§Þnh lÝ vμ ®Þnh nghÜa- §2.Ch−¬ng 3-SGK trang59)
( ) ( )
//a b
b
a
αα
⎫⎪⇒ ⊥⎬⊥ ⎪⎭
 2 
(TÝnh chÊt 1- §2. Ch−¬ng 3-SGK trang 62)
3 
( ) ( )
( ) ( )
//
d
d
α β βα
⎫⎪⇒ ⊥⎬⊥ ⎪⎭
(TÝnh chÊt 2- §2. Ch−¬ng 3-SGK trang 63)
a b 
α 
d 
a 
α 
α b 
a 
a’ 
a 
b α 
O 
d 
α 
β 
d 
 Vâ ThÞ Tha Trang 8 
Gi¶i ph¸p h÷u Ých N¨m häc 2006 - 2007 
4 
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )d a
a d
α β
α β β
α
⎫⊥ ⎪∩ = ⇒ ⊥⎬⎪⊃ ⊥ ⎭
(§Þnh lÝ 1- §3 Ch−¬ng 3-SGK trang 70)
5 
α 
β 
d 
b 
a 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
d
d
α β
α γ γ
β λ
⎫∩ = ⎪⊥ ⇒ ⊥⎬⎪⊥ ⎭
(§Þnh lÝ 3- §3 Ch−¬ng 3-SGK trang 72)
11. DÊu hiÖu nhËn biÕt hai mÆt ph¼ng vu«ng gãc 
STT Tãm t¾t néi dung H×nh vÏ minh ho¹ 
1 
( )
( ) ( ) ( )
a
a
β β αα
⎫⊂ ⎪⇒ ⊥⎬⊥ ⎪⎭
(§Þnh nghÜa- §3. Ch−¬ng 3-SGK trang 70)
*** 
α 
β 
a 
α β d 
γ 
II. quan hÖ ®Þnh l−îng 
 1. Kho¶ng c¸ch 
STT Kho¶ng c¸ch - KÝ hiÖu C«ng thøc Ghi chó 
1 
Gi÷a hai ®iÓm A vμ B. AB lμ ®é dμi ®o¹n 
th¼ng AB 
AB 
KÝ hiÖu: AB hoÆc BA 
Tõ ®iÓm A ®Õn ®−êng th¼ng Δ. 
KÝ hiÖu: d(A, Δ) 
2 
d(A, Δ) = AH H lμ h×nh chiÕu vu«ng 
gãc cña A lªn Δ 
3 Tõ ®iÓm A ®Õn mÆt ph¼ng (α). 
KÝ hiÖu: d(A, (α)) 
d(A, (α)) = AH H lμ h×nh chiÕu vu«ng 
gãc cña A lªn (α) 
a ≡ b 
a ∩ b = M 
d(a, b) = 0 
a // b 
d(a, b) = AB 
A ∈ a (A tuú ý) 
B lμ h×nh chiÕu vu«ng 
gãc cña A lªn b 
 Gi÷a hai ®−êng 
th¼ng a vμ b. 
KÝ hiÖu: d(a, b) 
a chÐo b 
4 
d(a, b) = AB 
AB lμ ®é dμi ®o¹n 
vu«ng gãc chung cña a 
 Vâ ThÞ Tha Trang 9 
Gi¶i ph¸p h÷u Ých N¨m häc 2006 - 2007 
vμ b 
a ⊂ (α) 
a ∩ (α) = M 
d(a, (α)) = 0 
5 
Gi÷a ®−êng 
th¼ng a vμ mÆt 
ph¼ng (α). KÝ 
hiÖu: d(a, (α)) 
a // (α) 
d(a, (α))= AH 
A ∈ a (A tuú ý) 
H lμ h×nh chiÕu vu«ng 
gãc cña A lªn (α) 
(α) ≡ (β) 
(α) ∩ (β) = a 
d((α), (β)) = 0 
6 
Gi÷a hai mÆt 
ph¼ng (α) vμ 
(β). KÝ hiÖu: 
d((α), (β)) 
(α) // (β) 
d((α), (β)) = AH
A ∈ (α) (A tuú ý) 
H lμ h×nh chiÕu vu«ng 
gãc cña A lªn (β) 
2. Gãc 
STT Gãc - KÝ hiÖu C«ng thøc Ghi chó 
a ≡ b 
a // b 
( ,a b ) = 00 
a ∩ b = M 
( ,a b) = α 
a vμ b c¾t nhau t¹o 
thμnh 4 gãc vμ α lμ sè 
®o cña gãc nhá nhÊt 
trong 4 gãc ®ã. 
( ) 0, 90 a b a b= ⇔ ⊥ 
1 
Gi÷a hai ®−êng 
th¼ng a vμ b. 
KÝ hiÖu: ( )  ,a b
( )0 00 , 9a b≤ ≤ 0
) )
a chÐo b 
( ,a b = (', 'a b a’ ∩ b’ = O a’ // a ; b’ // b 
a ⊂ (α) 
a // (α) 
( )(,a )α = 00 
2 
Gi÷a ®−êng 
th¼ng a vμ mÆt 
ph»ng (α). 
KÝ hiÖu: ( )( ),a α 
( )( )00 , 9a α≤ ≤ 00 
a ∩ (α) = M
( )( ),a α = (, 'a a
) a’ lμ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña a lªn (α) 
(α) ≡ (β) 
(α) // (β) 
( ) ( )( ) ,α β = 00 
6 
Gi÷a hai mÆt 
ph»ng (α) vμ (β). 
KÝ hiÖu: ( ) ( )( ) ,α β 
( ) ( )( )0 00 ,α β≤ ≤ 90
(α)∩(β) = d 
( ) ( )( ) ,α β = ( ) ,a b a ⊂ (α) , a ⊥ d b ⊂ (β) , b ⊥ d 
hoÆc a ⊥(α) vμ b ⊥(β) 
3. ThÓ tÝch - DiÖn tÝch 
STT ThÓ tÝch - DiÖn tÝch C«ng thøc Ghi chó 
1 ThÓ tÝch cña khèi 
hép ch÷ nhËt 
V = abc 
a, b, c : ®é dμi cña ba 
c¹nh 
 ThÓ tÝch cña khèi 
lËp ph−¬ng 
V = a3
2 a : ®é dμi cña c¹nh 
 Vâ ThÞ Tha Trang 10 
Gi¶i ph¸p h÷u Ých N¨m häc 2006 - 2007 
3 ThÓ tÝch cña khèi 
l¨ng trô 
V = B.h B: diÖn tÝch ®¸y h : chiÒu cao 
V = 
1
3
B.h B: diÖn tÝch ®¸y 
h : chiÒu cao 
ThÓ tÝch cña khèi 4 
 chãp 
5 ThÓ tÝch cña khèi 
 chãp côt V =
1
3
h(BB1+B2B + 1 2. B B ) BB1, B2B : diÖn tÝch hai ®¸yh : chiÒu cao 
6 DiÖn tÝch xung quanh 
cña h×nh trô 
Sxq = 2πRl R: b¸n kÝnh ®¸y l: ®−êng sinh 
7 
ThÓ tÝch cña khèi trô 
V =πR2h R: b¸n kÝnh ®¸y 
h : ®−êng cao 
8 DiÖn tÝch xung quanh 
cña h×nh nãn 
Sxq = πRl R: b¸n kÝnh ®¸y l: ®−êng sinh 
9 
ThÓ tÝch cña khèi nãn V = 
1
3
πR2h R: b¸n kÝnh ®¸y h : ®−êng cao 
10 DiÖn tÝch xung quanh 
cña h×nh nãn côt 
Sxq = π(Rl + R2)l Rl, R2: b¸n kÝnh hai ®¸y l: ®−êng sinh 
 ThÓ tÝch cña khèi 
nãn côt V =
1
3
πh( ) 2 21 2 1R R R .R+ +11 2 Rl, R2: b¸n kÝnh hai ®¸y h : ®−êng cao 
12 DiÖn tÝch mÆt cÇu S = 4πR2 R: b¸n kÝnh 
13 
ThÓ tÝch khèi cÇu V =
4
3
πR3 R: b¸n kÝnh 
* §Ò nghÞ 
1. H·y liÖt kª c¸c h×nh ®−îc häc trong ch−¬ng tr×nh “H×nh häc” líp 11 vμ c¸c 
tÝnh chÊt cña nã ? 
2. Nªu c¸c ph−¬ng ph¸p x¸c ®Þnh giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng ? 
3. Nªu ph−¬ng ph¸p x¸c ®Þnh ®o¹n vu«ng gãc chung cña hai ®−êng th¼ng chÐo 
nhau ? 
*** 
C. kÕt luËn, ®Ò xuÊt 
Bé m«n "H×nh häc kh«ng gian" cã mét vai trß kh«ng nhá trong ch−¬ng tr×nh to¸n 
trung häc phæ th«ng. Häc tèt bé m«n nμy, gióp cho c¸c em häc sinh häc m«n to¸n tèt 
h¬n. Víi ch−¬ng tr×nh cña s¸ch gi¸o khoa ®−a ra, ®ßi hái häc sinh ph¶i cã trÝ t−ëng 
t−îng phong phó, trÝ nhí tèt, tÝnh hÖ thèng, tr×nh ®é ph©n tÝch vμ t− duy cao míi khai 
th¸c vμ gi¶i quyÕt cã hiÖu qu¶ kiÕn thøc trong s¸ch gi¸o khoa. 
 Vâ ThÞ Tha Trang 11 
Gi¶i ph¸p h÷u Ých N¨m häc 2006 - 2007 
Trong t×nh h×nh nh− trªn, cã mét ph−¬ng ph¸p häc tËp míi tèt h¬n , mét ph−¬ng 
ph¸p t− duy míi cã hiÖu qu¶ lμ ®iÒu v« cïng cÇn thiÕt ®èi víi c¸c em häc sinh líp 11. 
Trong khu«n khæ cã h¹n cña ®Ò tμi nμy, t«i chØ tr×nh bμy mét kinh nghiÖm nhá, gióp 
c¸c em häc sinh cña chóng ta häc tèt h¬n Bé m«n "H×nh häc kh«ng gian". 
§Ò tμi nμy, lμ mét kinh nghiÖm nhá, lμ nh÷ng suy nghÜ cña b¶n th©n t«i, ch¾c ch¾n 
cßn nhiÒu thiÕu sãt, ch−a hoμn h¶o. Mong c¸c b¹n ®ång nghiÖp ch©n thμnh ®¸nh gi¸, 
gãp ý, phª b×nh, ®Ó cã hiÖu qu¶ trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y còng nh− rÌn luyÖn, cung 
cÊp ph−¬ng ph¸p t− duy khoa häc cho häc sinh. 
Tµi liÖu tham kh¶o 
 1. H×nh häc 11 ( S¸ch chØnh lý hîp nhÊt n¨m 2000) 
 V¨n Nh− C−¬ng - TrÇn §øc Huyªn - NguyÔn Méng Hy. 
 2. Tμi liÖu h−íng dÉn gi¶ng d¹y To¸n 11 
 V¨n Nh− C−¬ng - TrÇn V¨n H¹o - Ng« Thóc Lanh. 
 3. H×nh häc 11 ( S¸ch gi¸o khoa thÝ ®iÓm ban KHXH vμ NV) 
 TrÇn V¨n H¹o - NguyÔn Méng Hy - NguyÔn Hμ Thanh. 
 4. Gi¶i to¸n h×nh häc 11 
 TrÇn V¨n Minh - TrÇn §øc Huyªn - TrÇn Quang NghÜa. 
 5. §Ó häc tèt to¸n 11 
 Lª Chung Anh - Th¸i B×nh 
-----------------------[	\------------------------ 
 Vâ ThÞ Tha Trang 12 
Gi¶i ph¸p h÷u Ých N¨m häc 2006 - 2007 
Môc lôc 
 Trang 
 A. Më ®Çu 
 I. Lý do chän ®Ò tμi ... 1 
 II. Ph¹m vi, ®èi t−îng, c¬ së nghiªn cøu ... 1 
 III. Ph−¬ng ph¸p nghiªn cøu ... 1 
 B. Néi dung 
 I. Quan hÖ ®Þnh tÝnh ........................................................... 3 
 1. Quan hÖ vÒ liªn thuéc . 3 
 2. VÞ trÝ t−¬ng ®èi gi÷a hai ®èi t−îng c¬ b¶n ... 3 
 3. Ph−¬ng ph¸p x¸c ®Þnh ®−êng th¼ng ............................. 
3 4. Ph−¬ng ph¸p x¸c ®Þnh mÆt ph¼ng ................................ 
4 5. DÊu hiÖu nhËn biÕt ®−êng th¼ng n¨m trong mÆt ph¼ng .. 5 
 6. DÊu hiÖu nhËn biÕt hai ®−êng th¼ng song song ............. 5 
 7. DÊu hiÖu nhËn biÕt ®−êng th¼ng song song mÆt ph¼ng ... 6 
 8. DÊu hiÖu nhËn biÕt hai mÆt ph¼ng song song ................. 7 
 9. DÊu hiÖu nhËn biÕt hai ®−êng th¼ng vu«ng gãc .............. 7 
 10. DÊu hiÖu nhËn biÕt ®−êng th¼ng vu«ng gãc mÆt ph¼ng 8 
 11. DÊu hiÖu nhËn biÕt hai mÆt ph¼ng vu«ng gãc ............... 9 
 II. Quan hÖ ®Þnh l−îng ......................................................... 9 
 1. Kho¶ng c¸ch ............................................................. 9 
 2. Gãc .............................................................. ............. 10 
 3. ThÓ tÝch - DiÖn tÝch .................................................... 10 
 * §Ò nghÞ ......................................................................... 11 
 C. KÕt luËn, ®Ò xuÊt 
 Tμi liÖu tham kh¶o 
 Môc lôc 
 ý kiÕn ®ãng gãp 
-----------------------[	\------------------------ 
 Vâ ThÞ Tha Trang 13 
Gi¶i ph¸p h÷u Ých N¨m häc 2006 - 2007 
ý KIÕN §ãNG GãP 
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
............................................................................................................................... 
 Vâ ThÞ Tha Trang 14 
Gi¶i ph¸p h÷u Ých N¨m häc 2006 - 2007 
 Vâ ThÞ Tha Trang 15