Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường năm học 2018-2019 môn Toán Lớp 11 - Trường THPT Thuận Thành 2 (Có đáp án)

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG 
TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH 2 NĂM HỌC 2018 – 2019 
 Môn thi: Toán – Lớp 11 
 ĐỀ CHÍNH THỨC 
 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) 
Câu I (4,0 điểm). 
 2 2
 1.Giải phương trình 2cos 2x 3 cos 4 x 4cos x 1 
 4 
 2.Cho các số x 5 y ;5 x 2 y ;8 x y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời các số 
(y 1)2 ; xy 1; x 2 2 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm x, y . 
Câu II (5,0 điểm). 
 1. Tính tổng 2 3 4 n 
 S 2.1Cn 3.2C n 4.3C n ... n(n 1)C n 
 2.Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có sáu chữ số khác nhau. Tính xác suất để chọn được một số có 3 
chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ. 
Câu III (5,0 điểm). 
 n2 n n
 1. Tìm lim 
 4n2 3 n 2 n
 x 4 x2 8 x 17 y y 2 1
 2. Giải hệ phương trình 
 x y y 21 1 2 4 y 3 x
Câu IV(2,0 điểm). 
 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3; 4), B(1; 2), đỉnh C thuộc đường thẳng 
d: x 2 y 1 0 , trọng tâm G. Biết diện tích tam giác GAB bằng 3 đơn vị diện tích, hãy tìm tọa độ đỉnh 
C. 
Câu V (4,0 điểm). 
 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn BC 2 a đáy bé AD a , AB b . Mặt 
bên SAD là tam giác đều. M là một điểm di động trên AB, Mặt phẳng (P) đi qua M và song song với SA, BC. 
 1. Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp P . Thiết diện là hình gì? 
 2. Tính diện tích thiết diện theo a, b và x AM, 0 x b . Tìm x theo b để diện tích thiết diện lớn 
 nhất 
 -----------------Hết----------------- 
 Họ và tên thí sinh :....................................................... Số báo danh ............................. 
 Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1:........................................................................................ 
 Họ và tên, chữ ký: Giám thị 2:........................................................................................ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP 
 TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH 2 TRƯỜNG 
 NĂM HỌC 2018 – 2019 
 ĐỀ CHÍNH THỨC 
 Môn thi: Toán – Lớp 11 
 Huớng dẫn chấm 
 Câu Nội dung Điểm 
Câu I. 
 1 2 2 
 2cos 2x 3 cos 4 x 4cos x 1 
 4 
 0.5 
 PT 1 cos 4x 3 cos 4x 2 1 cos 2x 1 
 6 
 sin 4x 3 cos 4x 2cos 2x 
 0.5 
 cos 4x cos 2x 
 6 
 k 1.0 
 4x 2x k2 x 
 6 36 3
 k Z 
 4x 2x k2 x k 
 6 12
 2 x 5 y ;5 x 2 y ;8 x y theo thứ tự lập thành CSC nên ta có: 0.5 
 x 5 y 8 x y 2 5 x 2 y 
 x 2 y 1 
 y 1 2 ; xy 1; x 2 2 theo thứ tụ lập thành CSN nên ta có: 0.5 
 y 1 2 x 2 2 xy 1 2 2 
 2
 y 1 2 2 y 2 2 2 y2 1 1.0 
 Thay (1) vào (2) ta đc: 4 y4 2 y 2 1 4 y 4 4 y 2 1 
 3
 y x 3
 2 3 2
 y 
 4 3
 y x 3
 2
Câu II 
 1 2 3 4 n 
 S 2.1Cn 3.2C n 4.3C n ... n(n 1)C n 
 Số hạng tổng quát: 1.0 n!
 u k k 1 Ck k k 1 
 k n k!! n k 
 n n 1 n 2 !
 k 2 ! n 2 ! k 2 ! 
 k 2
 n n 1 Cn 2 2 k n 
 0 1n 2 1.0 
 S n n 1 Cn 2 C n 2 ... C n 2 
 n n 1 2n 2 0.5 
 2. 6 5 0.5 
 Số phần tử của không gian mẫu: n A10 A 9 136080 
 *Số các số tự nhiên có 6 chữ số có3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ là 0.5 
 TH1: (số tạo thành không chứa số 0) 
 3
 Lấy ra 3 số chẵn có: C4 
 3
 Lấy ra 3 số lẻ có: C5 
 Số các hoán vị của 6 số trên: 6! 
 3 3
 Suy ra số các số tạo thành: CC4. 5 .6! 28800 
 TH2: ( số tạo thành có số 0) 0.5 
 2
 Lấy ra hai số chẵn khác 0: C4 
 3
 Lấy ra 3 số lẻ: C5 
 Số các hoán vị không có số ) đứng đầu: 6! 5! 5.5! 
 2 3
 Số các số tạo thành: CC4. 5 .5.5! 36000 
 Gọi biến cố A: “số đuợc chọn có 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ” 1 
 Suy ra : nA 28800 36000 64800 
 nA 64800 10
 Xác suất xảy ra biến cố A: PA 
 n 136080 21
Câu III 
 1 2 2.0 
 n2 n n n 4 n 3 n 2 n 
 lim lim
 4n2 3 n 2 n 3n n2 n n 
 3
 4 2
 4n2 3 n 2 n 2 
 lim lim n 
 3 n2 n n 1 3
 3 1 1 
 n 
 2 2 2 
 x 4 x 8 x 17 y y 1 1 
 x y y 21 1 2 4 y 3 x 2 
 Điều kiện: y 0 
 1 (x y 4) x2 8 x 17 y 2 1 0 0.5 
 x 4 2 y2
 x y 4 0 
 x2 8 x 17 y 2 1
 x 4 y x 4 y 
 x y 4 0
 x2 8 x 17 y 2 1 
 x 4 y 0.5 
 x y 4 (1 ) 0
 x2 8 x 17 y 2 1
 y x 4
 2 0.5 
 x 4 y x 4 1 x 4 y2 1 y
 Vì:1 0 x , y 
 x2 8 x 17 y 2 1 x 2 8 x 17 y 2 1
 Thay y x 4 vào 2 ta đuợc 0.5 
 : 
 2 x x 4 x 25 1 2 x 16
 x 4 2 x 25 5 x 8 2 x 16 0 
 1 1x 12 
 x 0
 x 4 2 x 25 5 x 8 2 x 16 
 x 0 y 4 0.5 
 1 1x 12 vn 
 0 0.5 
 x 4 2 x 25 5 x 8 2 x 16
  
Câu IV Ta có: BA 2;2 , AB 2 2 0.5 
 x 1 y 2
 Phuơng trình đuờng thẳng AB: x y 1 0 
 1 1
 C d: x 2 y 1 0 C 1 2 t ; t 0.5 
 2 t 
 Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC suy ra: G 1 t ;2 
 3 3 
 t 0.5 
 Khoảng cách từ G đến AB: d 
 G; AB 2
 Vì diện tích GAB bằng 3 đơn vị nên ta có: 0.5 1 t 3 C 7;3 
 d G; AB . AB 3 
 2 t 3 C 5; 3 
Câu V + Từ M kẻ đuờng thẳng song song với BC và SA lần luợt cắt DC tại N, SB tại Q. 0.5 
 + Từ Q kẻ đuờng thẳng song song với BC cắt SC tại P. 0.5 
 Thiết diện hình thang cân MNPQ 
 S
 P Q
 P Q 
 2a
 C B
 M b
 N x
 D A
 N H K M a
 + Tính diện tích MNPQ 1.5 
 b x2. a . x ab ax
 Ta tính đuợc MQ NP a,; PQ MN từ đó tính đuợc 
 b b b
 ab a. x 3
 QK . 
 b 2
 1 3.a2 0.5 
 Suy ra diện tích MNPQ là: x S MN PQ . QK b x b 3 x 
 MNPQ 2 4b2
 2
 3.a2 3. a 2 3 b 3. x b 3. x 3. a 2 1 
 SMNPQ 2 b x b 3 x 2 
 4b 12 b 2 12 
 b
 Dấu “=”xẩy ra khi x . 
 3