Bài giảng môn toán lớp 10 - Ứng dụng hệ thức lượng trong tam giác

ỨNG DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Giữa các cạnh và các góc của một tam giác có các công thức liên hệ gọi là các hệ thức lượng trong tam giác. Chúng ta ôn lại những hệ thức đó và các ứng dụng của chúng.
    Đối với tam giác ABC ta thường kí hiệu: a = BC, b = CA, C=AB.
 Với Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH = h và có BC = a, CA=b, AB=c. Gọi BH = c’ và CH=b’ (h.2,11). Các hệ thức sau đây gội là các hệ thức lượng trong tam giác vuông: 
1. Định lí côsin
    a) Bài toán. Trong tam giác ABC cho biết hai cạnh AB, AC và góc A, hãy tính cạnh BC (h.2.12)
GIẢI
Từ kết quả của bài toán trên ta suy ra định lí sau đây:
    b) Định lí côsin
            Trong tam giácABC bất kì với BC = a, CA=b, AB = c ta có:
 Hệ quả
c) Áp dụng. Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác. 
    Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b, AB = c. Gọi ma , mb và mc là độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A,B và C của tam giác. Ta có:
GIẢI
Đặt BC = a, CA = b, AB = c.. 
Theo định lí 
2. Định lí sin
    a) Định lí sin
            Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = C và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, ta có:
3. Công thức tính diện tích tam giác
    Ta kí hiệu ha, hb, hc là các đường cao của tam giác ABC lần lượt vẽ từ các đỉnh A,B,C và S là diện tích tam giác đó.
    Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA= b, AB = c. Gọi R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác và p là ½ chu vi của tam giác. 
 Diện tích S của tam giác ABC được tính theo một trong các công thức sau
Ví dụ 1. Tam giác ABC có các cạnh a = 13m, b = 14m và c = 15m.
    a) Tính diện tích tam giác ABC. 
    b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp (r) và ngoại tiếp (R) tam giác ABC. 
GIẢI
a) Ta có  Theo công thức Hê-rông ta có: 
b) Áp dụng công thức S = pr ta có  Vậy đường tròn nội tiếp tam giác ABC có bán kính là r = 4m. 
4. Giải tam giác và ứng dụng vào việc đo đạc
a) Giải tam giác
    Giải tam giác là tìm một số yếu tố của tam giác khi cho biết các yếu tố khác.
Bài toán 1. Đo chiều cao của một cái tháp mà không thể đến được chân tháp. 
Giả sử CD = h là chiều cao của tháp trong đó C là chân tháp. 
Chọn hai điểm A,B trên mặt đất sao cho ba điểm A,B và C thẳng hàng. Ta đo khoảng cách AB và các góc Chẳng hạn ta đo được AB = 24m Khi đó chiều cao h của tháp được tính như sau:
Bài toán 2. Tính khoảng cách từ một địa điểm A trên bờ Hồ Gươm đến điểm C Tháp Rùa ở giữa hồ.
Để đo khoảng cách từ một điểm A đến C, người ta chọn một điểm B cùng ở trên bờ với A sao cho từ A và B có thể nhìn thấy điểm C. Ta đo khoảng cách AB, góc Khi đó khoảng cách AC được tính như sau:
Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC, ta có
5/ Bài tham khảo bổ sung
Người ta đã đo khoảng cách giữa Trái Đất và Mặt Trăng như thế nào?
 Loài người đã biết được khoảng cách giữa Trái Đất và Mặt Trăng cách đây khoảng hai ngàn năm với một độ chính xác tuyệt vời là vào khoảng 384 000 km. Sau đó khoảng cách giữa Trái Đất và Mặt Trăng đã được xác lập một cách chắc chắn vào năm 1751 do một nhà thiên văn người Pháp là Giô-dep La-lăng (Joseph Lalande, 1732-1807) và một nhà toán học người Pháp là Ni-cô-la La-cay (Nicolas Lacaille,1713 – 1762). Hai ông đã phối hợp tổ chức đứng ở hai địa điểm rất xa nhau, một người ở Bec-lin gọi là điểm A, còn người kia ở Mũi Hảo Vọng (Bonne-Espérance) một mũi đất ở cực nam châu Phi, gọi là điểm B (h. 2.25). Gọi C là một điểm trên Mặt Trăng. Từ A và B người ta đo và tính được các góc A,B và cạnh AB của tam giác ABC.
    Trong mặt phẳng (ABC), gọi tia Ax là đường chân trời vẽ từ đỉnh A và tia By là đường chân trời vẽ từ đỉnh B. Kí hiệu  Gọi O là tâm Trái Đất, ta có:
Vì biết độ dài cung nên ta tính được góc AOB và do đó tính được độ dài cạnh AB. Tam giác ABC được xác định vì biết “góc – cạnh – góc” của tam giác đó. Từ đó ta có thể tính được chiều cao CH của tam giác ABC là khoảng cách cần tìm. Người ta nhận thấy rằng khoảng cách này gần bằng mười lần độ dài xích đạo của Trái Đất 
BÀI TẬP ỨNG DỤNG
Bai 1: Tam giác ABC có Tính cạnh BC theo cạnh AC = n và AB = m.
Gợi ý: Vẽ phân giác góc A được 2 tam giác có góc 60o tính a1 + a2 = BC
Bài 2: Muốn đo chiều cao của Tháp Chàm Por Klong Garai ở Ninh Thuận, người ta lấy hai điểm A và B trên mặt đất có khoảng cách AB = 12m cùng thẳng hàng với chân C của tháp để đặt hai giác kế (h.2.24). Chân của giác kế có chiều cao h = 1,3m. Gọi D là đỉnh tháp và hai điểm A1, b1 cùng thẳng hàng với C1 thuộc chiều cao CD của tháp. Người ta đo được 
Tính chiều cao CD của tháp đó. 
Gợi ý : Giải tương tự như ví dụ tại Bài toán 2 
Bài 3  Cho hình bình hành ABCD có AB = a, BC = b, BD = n và AC = m . 
 Chứng minh rằng m2 + n2 = 2(a2 + b2).
Gợi ý: Hình bình hành ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau; 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại trùn điểm mỗi đường. Áp dụng công thức trung tuyến trong tam giác ta có
 ½ m2 = 1/4[2(a2 + b2) – n2]
 Þ m2 = 1/2[2(a2 + b2) – n2]
 Þ m2 = 1/2[2(a2 + b2) – m2]
Cộng 2 vế của 2 PT trên ta có m2 + n2 = 2(a2 + b2).
PHH sưu tầm và chỉnh lí (1 – 2014) Nguồn TK chính: totoan.byethost24.com