Bài giảng môn toán lớp 10 - Chương I: Vectơ

CHƯƠNG I
VECTƠ
I. VECTƠ 
1. Các định nghĩa
	· Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B là .
	· Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó.
	· Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu .
	· Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu .
	· Hai vectơ đgl cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
	· Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
	· Hai vectơ đgl bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.
	Chú ý: 	+ Ta còn sử dụng kí hiệu để biểu diễn vectơ.
	+ Qui ước: Vectơ cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ. 
	 Mọi vectơ đều bằng nhau.
2. Các phép toán trên vectơ
	a) Tổng của hai vectơ
	· Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có: .
	· Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta có: .
	· Tính chất:	;	;	
	b) Hiệu của hai vectơ
	· Vectơ đối của là vectơ sao cho . Kí hiệu vectơ đối của là .
	· Vectơ đối của là .
	· .
	· Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta có: .
	c) Tích của một vectơ với một số
	· Cho vectơ và số k Î R. là một vectơ được xác định như sau:
	+ cùng hướng với nếu k ³ 0, ngược hướng với nếu k < 0.
	+ .
	· Tính chất:	;	; 	
	 Û k = 0 hoặc .
	· Điều kiện để hai vectơ cùng phương: 
	· Điều kiện ba điểm thẳng hàng: 	A, B, C thẳng hàng Û $k ¹ 0: .
	· Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ không cùng phương và tuỳ ý. Khi đó $! m, n Î R: .
	Chú ý:
	· Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: 
	M là trung điểm của đoạn thẳng AB Û Û (O tuỳ ý).
	· Hệ thức trọng tâm tam giác: 
	G là trọng tâm DABC Û Û (O tuỳ ý).
VẤN ĐỀ 1: Khái niệm vectơ
Cho tứ giác ABCD. Có thể xác định được bao nhiêu vectơ (khác ) có điểm đầu và điểm cuối là các điểm A, B, C, D ?
Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, AD, BC. Chứng minh: .
Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh:
	a) .
	b) Nếu thì ABCD là hình chữ nhật.
.Cho DABC đều cạnh a, trực tâm H. Tính độ dài của các vectơ . 
Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tính độ dài của các vectơ , , .
VẤN ĐỀ 2: Chứng minh đẳng thức vectơ – Phân tích vectơ
	Để chứng minh một đẳng thức vectơ hoặc phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương, ta thường sử dụng:
	– Qui tắc ba điểm để phân tích các vectơ.
	– Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác.
	– Tính chất của các hình.
Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh: 
	a) 	b) .
Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh:
	a) Nếu thì 	b) .
	c) Gọi G là trung điểm của IJ. Chứng minh: .
	d) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AC và BD; M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Chứng minh các đoạn thẳng IJ, PQ, MN có chung trung điểm.
Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và CD. Chứng minh: .
Cho tam giác ABC, có AM là trung tuyến. I là trung điểm của AM.
	a) Chứng minh: .
	b) Với điểm O bất kỳ, chứng minh: .
Cho hai tam giác ABC và A¢B¢C¢ lần lượt có các trọng tâm là G và G¢. 
	a) Chứng minh .
	b) Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm.
Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh: .
Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm của BC, N là điểm thuộc AC sao cho . K là trung điểm của MN. Chứng minh:
	a) 	b) .
Cho hình thang OABC. M, N lần lượt là trung điểm của OB và OC. Chứng minh rằng:
	a) 	b) 	c) .
Cho hình bình hành ABCD, đặt . Gọi I là trung điểm của CD, G là trọng tâm của tam giác BCI. Phân tích các vectơ theo .
Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI=3BI. Gọi F là điểm trên cạnh BC kéo dài sao cho 5FB=2FC.
a, Tính theo 
b, Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính theo và 
Cho DABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của G qua B.
	a) Chứng minh: .
	b) Đặt . Tính theo .
VẤN ĐỀ 3: Xác định một điểm thoả mãn đẳng thức vectơ
	Để xác định một điểm M ta cần phải chỉ rõ vị trí của điểm đó đối với hình vẽ. Thông thường ta biến đổi đẳng thức vectơ đã cho về dạng , trong đó O và đã được xác định. Ta thường sử dụng các tính chất về:
	– Điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k.
	– Hình bình hành.
	– Trung điểm của đoạn thẳng.
	– Trọng tâm tam giác, 
 Cho DABC . Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện: .
 Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I . M là điểm tuỳ ý không nằm trên đường thẳng AB . Trên MI kéo dài, lấy 1 điểm N sao cho IN = MI.
	a) Chứng minh: .
	b) Tìm các điểm D, C sao cho: .	
 Cho hình bình hành ABCD.
	a) Chứng minh rằng: .
	b) Xác định điểm M thoả mãn điều kiện: .	
Cho tứ giác ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. 
	a) Chứng minh: .
	b) Xác định điểm O sao cho: .
Cho DABC. Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau: 
	a) 	b) 
	c) 	d) . .
 Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Hãy xác định các điểm I, F, K thoả các đẳng thức sau:
	a) 	b) 
	c) .	
VẤN ĐỀ 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng – Hai điểm trùng nhau
	· Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh ba điểm đó thoả mãn đẳng thức , với k ¹ 0.
	· Để chứng minh hai điểm M, N trùng nhau ta chứng minh chúng thoả mãn đẳng thức , với O là một điểm nào đó hoặc .
Cho bốn điểm O, A, B, C sao cho : . Chứng tỏ rằng A, B, C thẳng hàng.
Cho DABC với I, J, K lần lượt được xác định bởi: , , . 
	a) Tính . 
	b) Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng (HD: J là trọng tâm DAIB)
Bài 3. Cho tam giác ABC. Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho , , .
	a) Tính theo .
	b) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.
Bài 4. Cho hình bình hành ABCD. Trên BC lấy điểm H, trên BD lấy điểm K sao cho: . Chứng minh: A, K, H thẳng hàng.
Bài 5. Cho hình bình hành ABCD. Trên các tia AD, AB lần lượt lấy các điểm F, E sao cho AD = AF, AB = AE. Chứng minh:
	a) Ba điểm F, C, E thẳng hàng.
	b) Các tứ giác BDFC, DBEC là hình bình hành.
Bài 6. Cho tam giác ABC. Hai điểm I,J được xác định bởi , .Chứng minh ba điểm I,J,B thẳng hàng
Bài 7. Cho tam giác ABC, A¢ là điểm đối xứng của A qua B, B¢ là điểm đối xứng của B qua C, C¢ là điểm đối xứng của C qua A. Chứng minh các tam giác ABC và A¢B¢C¢ có chung trọng tâm.
Bài 8. Cho DABC. Gọi A¢, B¢, C¢ là các điểm định bởi: , , . Chứng minh các tam giác ABC và A¢B¢C¢ có cùng trọng tâm.
Bài 9. Trên các cạnh AB, BC, CA của DABC lấy các điểm A¢, B¢, C¢ sao cho:
	 Chứng minh các tam giác ABC và A¢B¢C¢ có chung trọng tâm.
VẤN ĐỀ 5: Tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức vectơ
	Để tìm tập hợp điểm M thoả mãn một đẳng thức vectơ ta biến đổi đẳng thức vectơ đó để đưa về các tập hợp điểm cơ bản đã biết. Chẳng hạn:
	– Tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.
	– Tập hợp các điểm cách một điểm cố định một khoảng không đổi đường tròn có tâm là điểm cố định và bán kính là khoảng không đổi.
Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
	a) 	b) 	
c, . 
Cho DABC.
	a) Xác định điểm I sao cho: .
	b) Tìm tập hợp các điểm H sao cho: .
	c) Tìm tập hợp các điểm K sao cho: 
Cho DABC.
	a) Xác định điểm I sao cho: .
	b) Xác định điểm D sao cho: .
	c) Chứng minh 3 điểm A, I, D thẳng hàng.
	d) Tìm tập hợp các điểm M sao cho: .
II. TOẠ ĐỘ 
1. Trục toạ độ
	· Trục toạ độ (trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm gốc O và một vectơ đơn vị . Kí hiệu .
	· Toạ độ của vectơ trên trục:	.
	· Toạ độ của điểm trên trục:	.
	· Độ dài đại số của vectơ trên trục:	.
	Chú ý:	+ Nếu thì .
	 Nếu thì .
	+ Nếu A(a), B(b) thì .
	+ Hệ thức Sa–lơ: Với A, B, C tuỳ ý trên trục, ta có: .
2. Hệ trục toạ độ
	· Hệ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vuông góc với nhau. Vectơ đơn vị trên Ox, Oy lần lượt là . O là gốc toạ độ, Ox là trục hoành, Oy là trục tung.
	· Toạ độ của vectơ đối với hệ trục toạ độ:	.
	· Toạ độ của điểm đối với hệ trục toạ độ:	.
	· Tính chất: Cho , :
	+ 	+ 	+ 
	+ cùng phương với 	Û $k Î R: .
	Û (nếu x ¹ 0, y ¹ 0).
	+ .
	+ Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB: .
	+ Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: .
	+ Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k ¹ 1: .
	( M chia đoạn AB theo tỉ số k Û ).
VẤN ĐỀ 1: Toạ độ trên trục
Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là -2 và 5.
	a) Tìm tọa độ của .	
	b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.
	c) Tìm tọa độ của điểm M sao cho .
	d) Tìm tọa độ điểm N sao cho .
Trên trục x'Ox cho 4 điểm A(-2), B(4), C(1), D(6).
	a) Chứng minh rằng: .
	b) Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh: .
	c) Gọi J là trung điểm của CD. Chứng minh: .
Trên trục x'Ox cho 4 điểm A, B, C, D tuỳ ý. 
	a) Chứng minh: .
	b) Gọi I, J, K, L lần lượt là trung điểm của các đoạn AC, BD, AB, CD. Chứng minh rằng các đoạn IJ và KL có chung trung điểm.
VẤN ĐỀ 2: Toạ độ trên hệ trục
Viết tọa độ của các vectơ sau: 
	a) .
	b) .
 Viết dưới dạng khi biết toạ độ của vectơ là:
	a) .
	b) .
 Cho . Tìm toạ độ của các vectơ sau:
	a) .	b) .	
 Cho .
	a) Tìm toạ độ của vectơ .
	b) Tìm 2 số m, n sao cho: .
	c) Biểu diễn vectơ .
 Cho hai điểm .
	a) Tìm toạ độ điểm C sao cho: .
	b) Tìm điểm D đối xứng của A qua C.
	c) Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = –3.
 Cho ba điểm A(–1; 1), B(1; 3), C(–2; 0).
	a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.
	b) Tìm các tỉ số mà điểm A chia đoạn BC, điểm B chia đoạn AC, điểm C chia đoạn AB.
 Cho ba điểm A(1; -2), B(0; 4), C(3; 2).
	a) Tìm toạ độ các vectơ .
	b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB.
	c) Tìm tọa độ điểm M sao cho: .
	d) Tìm tọa độ điểm N sao cho: .
 Cho ba điểm A(1; –2), B(2; 3), C(–1; –2). 
	a) Tìm toạ độ điểm D đối xứng của A qua C.
	b) Tìm toạ độ điểm E là đỉnh thứ tư của hình bình hành có 3 đỉnh là A, B, C.
	c) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I
 Cho tam giác ABC với trực tâm H, B¢ là điểm đối xứng với B qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Hãy xét quan hệ giữa các vectơ .
Cho DABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh rằng:
	a) 	c) 	c) .
Cho DABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của B qua G.
	a) Chứng minh: và .
	b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: .
 Cho bốn điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
	a) Chứng minh: .
	b) Gọi G là trung điểm của IJ. Chứng minh: .
	c) Gọi P, Q là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BD; M, N là trung điểm của các đoạn thẳng AD và BC. Chứng minh rằng ba đoạn thẳng IJ, PQ và MN có chung trung điểm.
 Cho tam giác ABC và một điểm M tuỳ ý.
	a) Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho , , . Chứng minh các điểm D, E, F không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
	b) So sánh hai tổng vectơ: và .
 Cho DABC với trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM.
	a) Chứng minh: .
	b) Với điểm O bất kì, chứng minh: .
 Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I là trung điểm BC và G là trọng tâm DABC. Chứng minh: 
	a) .	b) .
 Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I và J là trung điểm của BC, CD.
	a) Chứng minh: 	b) Chứng minh: .
	c) Tìm điểm M thoả mãn: .
 Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi D và E là các điểm xác định bởi , .
	a) Tính .
	b) Chứng minh ba điểm D, E, G thẳng hàng.
 Cho DABC. Gọi D là điểm xác định bởi và M là trung điểm đoạn BD.
	a) Tính theo .
	b) AM cắt BC tại I. Tính và . 
Cho DABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa điều kiện:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
	e) 
Bài 12.Cho lục giác đều ABCDEF. Phân tích các vectơ theo các vectơ .
Bài 13. Cho hình thang OABC, AM là trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích vectơ theo các vectơ .
Bài 14. Cho DABC. Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho .
	a) Tính theo 	b) Chứng minh: M, N, P thẳng hàng.
Bài 15. Cho DABC. Gọi A1, B1, C1 lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.
	a) Chứng minh: 	
	b) Đặt . Tính theo .
Bài 16. Cho DABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI. Gọi F là điểm trên cạnh BC kéo dài sao cho 5FB = 2FC.
	a) Tính .
	b) Gọi G là trọng tâm DABC. Tính .
Bài 17. Cho DABC có A(4; 3) , B(-1; 2) , C(3; -2).
	a) Tìm tọa độ trọng tâm G của DABC.
	b) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Bài 18. Cho A(2; 3), B(-1; -1), C(6; 0).
	a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
	b) Tìm tọa độ trọng tâm G của DABC.
	c) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
Bài 19. Cho A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; -1). Tìm toạ độ các điểm M, N, P sao cho:
	a) Tam giác ABC nhận các điểm M, N, P làm trung điểm của các cạnh.
	b) Tam giác MNP nhận các điểm A, B, C làm trung điểm của các cạnh.
Bài 20. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB, CD, O là trung điểm của MN. Chứng minh rằng với điểm S bất kì, ta có: .
Bài 21. Cho tam giác ABC và điểm M tùy ý.
	a) Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho , , . Chứng minh D, E, F không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
	b) So sánh 2 véc tơ .
Bài 22. Cho tứ giác ABCD.
	a) Hãy xác định vị trí của điểm G sao cho: (G đgl trọng tâm của tứ giác ABCD).
	b) Chứng minh rằng với điểm O tuỳ ý, ta có: .
Bài 23. Cho G là trọng tâm của tứ giác ABCD. A¢, B¢, C¢, D¢ lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC. Chứng minh:
	a) G là điểm chung của các đoạn thẳng AA¢, BB¢, CC¢, DD¢.
	b) G cũng là trọng tâm của của tứ giác A¢B¢C¢D¢.
Bài 24. Cho tứ giác ABCD. Trong mỗi trường hợp sau đây hãy xác định điểm I và số k sao cho các vectơ đều bằng với mọi điểm M:
	a) 	b) 
	c) 	d) .
Bài 25. Cho DABC. Hai điểm I, J được xác định bởi: , 	. Chứng minh 3 điểm I, J, B thẳng hàng.
Bài 26. Cho DABC. Hai điểm M, N được xác định bởi: , . Chứng minh 3 điểm M, G, N thẳng hàng, với G là trọng tâm của DABC.
Bài 27. Cho DABC. Lấy các điểm M N, P: 
	a) Tính .	b) Chứng minh 3 điểm M, N, P thẳng hàng.
Bài 28. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Các điểm M, N thoả mãn: , . Chứng minh đường thẳng MN đi qua trọng tâm G của DABC.
Bài 29. Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC, D và E là hai điểm sao cho . 
	a) Chứng minh .
	b) Tính . Suy ra ba điểm A, I, S thẳng hàng.
Bài 30. Cho tam giác ABC. Các điểm M, N được xác định bởi các hệ thức , .
	a) Xác định x để A, M, N thẳng hàng.
	b) Xác định x để đường thẳng MN đi trung điểm I của BC. Tính .
Bài 31. Cho ba điểm cố định A, B, C và ba số thực a, b, c sao cho .
	a) Chứng minh rằng có một và chỉ một điểm G thoả mãn .
	b) Gọi M, P là hai điểm di động sao cho . Chứng minh ba điểm G, M, P thẳng hàng.
Bài 32. Cho tam giác ABC. Các điểm M, N thoả mãn .
	a) Tìm điểm I thoả mãn .
	b) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 33. Cho tam giác ABC. Các điểm M, N thoả mãn .
	a) Tìm điểm I sao cho .
	b) Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
	c) Gọi P là trung điểm của BN. Chứng minh đường thẳng MP luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 34 Cho DABC. Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) .
Bài 35. Cho DABC. Hãy xác định các điểm I, F, K, L thoả các đẳng thức sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 36. Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là -3 và 1.
	a) Tìm tọa độ điểm M sao cho .
	b) Tìm tọa độ điểm N sao cho .
Bài 37. Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là a, b, c.
	a) Tìm tọa độ trung điểm I của AB.
	b) Tìm tọa độ điểm M sao cho .
	c) Tìm tọa độ điểm N sao cho .