Toán học - Số nguyên tố

Email: nguyenducchungk18@gmail.com
ĐT: 0985894088
Số nguyên tố
Kiến thức bổ trợ
1. Định nghĩa
a) Số tự nhiên a lớn hơn 1 được gọi là số nguyên tố nếu a chỉ có hai
ước số dương là 1 và chính nó
Ví dụ
2,3,5,7,11,13,17,19,...là các số nguyên tố. Số 2 là số nguyên tố
nhỏ nhất và là số nguyên tố chẵn duy nhất
b) Số tự nhiên a lớn hơn 1 và không phải là số nguyên tố được gọi là
hợp số
2. Một số tính chất
a) Cho p là số nguyên tố. Khi đó tích ab chia hết khi và chỉ khi một
trong hai số a và b chia hết cho p
b) Cho p là số nguyên tố và a là số nguyên. Khi đó nếu 2a chia hết cho
p thì a chia hêt cho p, 2a chia hết cho 2p
c) Mỗi số nguyên lớn hơn 1 đều có ước nguyên tố
d) Tồn tại vô hạn số nguyên tố
e) Nếu n là 1 hợp số thì n có ước nguyên tố không vượt quá n
f) Với mọi số nguyên dương n, tồn tại ít nhất n số liên tiếp mà mỗi một
trong chúng đều là hợp số
c/m: xét dãy (n+1)!+2,(n+1)!+(n+1) khi
2 1, | ( 1)! | ( 1)!j n j n j n j      
g) Giả thiết Goldbach: mối số nguyên dương chẵn lớn hơn 2 đều viết
dưới dạng tổng của 2 số nguyên tố được
3. Một số định lý và định nghĩa mở rộng
3.1 Định lý cơ bản của số học
Mọi số nguyên dương đều biểu diễn được một cách duy nhất dưới
dạng tích các số nguyên tố, trong đó các thừa số nguyên tố được
viết theo thứ tự không giảm
VD: 2000=2.2.2.2.5.5.5=24.53
Chứng minh cần bổ đề sau
Email: nguyenducchungk18@gmail.com
ĐT: 0985894088
Bổ đề: Giả sử a,b,c là các số nguyên dương, và
( , ) 1, | |a b a bc a c 
Hệ quả: Nếu 1| ... np a a , trong đó p là số nguyên tố và 1,..., na a là
các số nguyên dương, thì tồn tại i, 1 ≤ ≤ sao cho | ( Chứng
minh quy nạp)
3.2 Định lý Fermat bé
Giả sử p là số nguyên tố và a là số nguyên dương với a không chia
hết cho p. Khi đó 1 1(mod )pa p  ( hoặc viết
1 1 0(mod ), (mod )p pa p a a p     , trong đó (mod )a b c nghĩa
là a chia cho c dư b)
3.3 Định lý Wilson
Với mọi số nguyên tố p ta có: ( 1)! 1 0(modp)p   
Đảo: Giả sử n là số nguyên dương sao cho (n 1)! 1 0(modn)   khi
đó n là số nguyên tố
3.4 Tổng và số các ước
Giả sử số nguyên dương n được phân tích ra thừa số nguyên tố
1 2
1 2 ...
s
sn p p p
  . Khi đó
1 2 11 1
1 2
1 2
( ) . ....
1 1 1
s
s
s
p p p
n
p p p
 

 
   
1 2( ) ( 1)( 1)...( 1)sn      
Trong đó kí hiệu ( )n là tổng các ước của n
( )n là số các ước của n
3.5 Số hoàn hảo
Số nguyên dương n được gọi là số hoàn hảo nếu 2 ( )n n
3.5.1 Định lý
Số nguyên dương chẵn n là số hoàn hảo nếu và chỉ nếu
12 (2 1)m mn   trong đó m là số nguyên dương sao cho 2 1m  là số
nguyên tố
3.6 Số nguyên tố Mersenne
Email: nguyenducchungk18@gmail.com
ĐT: 0985894088
Nếu m là số nguyên dương thì 2 1mmM   được gọi là số
Mersenne thứ m
3.6.1 Định lý
Nếu 2 1m  là số nguyên tố thì m là số nguyên tố
Chú ý: Đảo lại không đúng
Nếu ta tìm được số nguyên tố p để 2 1p  là số nguyên tố thì ta gọi
2 1p  là số nguyên tố Mersenne
3.6.2 Bổ đề
Giả sử d,n là 2 số nguyên dương sao cho d|n. Khi đó
(2 1) (2 1)n d 
3.6.3 Định lý
Giả sử p là số nguyên tố lẻ. Khi đó mọi ước của số Mersenne
2 1ppM   đều có dạng 2kp+1, trong đó k là số nguyên
dương.
Bài tập
1. Ta đã biết rằng có 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100. Tổng của các số
nguyên tố đó là số chẵn hay số lẻ
2. Tổng của ba số nguyên tố bằng 1012. Tìm số nguyên tố nhỏ nhất trong
ba số nguyên tố đó
3. Tổng của 2 số nguyên tố có thể bằng 2011 được không?
4. Tìm hai số tự nhiên sao cho tổng và tích của chúng đều là các số
nguyên tố
5. Tìm số nguyên tố có ba chữ số, biết rằng nếu viết số đó theo thứ tự
ngược lại thì ta được một số lập phương của một số tự nhiên
6. Tìm số tự nhiên có 4 chữ số, chữ số hàng nghìn bằng chữ số hàng đơn
vị, chữ số hàng trăm bằng chữ số hàng chục và số đó được viết dưới
dạng tích của ba số nguyên tố liên tiếp
Email: nguyenducchungk18@gmail.com
ĐT: 0985894088
7. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3, biết 2p  cũng là số nguyên tố.
Chứng minh rằng  1 6p  
8. Tìm số nguyên tố chia 30 dư r . Tìm r , biết r không là số nguyên tố
9. Giả sử p là số nguyên tố. Chứng minh rằng
a) Nếu 3a p thì a p
b) Chứng minh rằng nếu  2 2,b p a b p  thì a p
10.Chứng minh rằng
201122 5A   không phải là số nguyên tố
11.Tìm tất cả các cặp số nguyên tố  ,p q sao cho 2 22 1p q 
12.Cho *n , biết rằng 10, 10, 60n n n   đều là các số nguyên tố, hãy
chứng minh 90n  cũng là số nguyên tố
13.Tìm tât cả các số nguyên tố p sao cho 2 1994p  là một số nguyên tố
14.Trong mỗi trường hợp sau, hãy tìm tất cả các số nguyên dương n sao
cho các số sau cũng là các số nguyên tố
a) , 10, 14n n n 
b) , 4, 14n n n 
c) ,2 1,4 1n n n 
d) , 2, 4n n n 
15.Tìm các số nguyên tố p để 2, 6, 8, 14p p p p    cùng là các số
nguyên tố
16.Tìm các số nguyên dương n sao cho
1, 3, 7, 9, 13, 15n n n n n n      đều là các số nguyên tố
17.Tìm các số nguyên tố n sao cho 22n n là số nguyên tố
18.Cho n là số nguyên dương lớn hơn 5. Chứng minh rằng trong dãy
1, 2,..., 30n n n   có nhiều nhất 8 số nguyên tố
19.Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho trong dãy 1, 2,..., 10n n n   có
nhiều số nguyên tố nhất
20. Cho biết p và 8 1p  là các số nguyên tố, chứng minh rằng 8 1p  là
hợp số
21. Chứng minh rằng nếu 2 1n  lá các số nguyên tố ( 2)n  thì 2 1n  là
hợp số
Email: nguyenducchungk18@gmail.com
ĐT: 0985894088
22. Chứng minh rằng nếu ba số , , 2a a n a n  đều là các số nguyên tố lớn
hơn 3 thì 6n
23.Tìm số *n , sao cho 3 2 1n n n   là số nguyên tố
-----------------------------------------------------------------------------