Toán học - Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 
GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 1 
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 
I. Tọa độ trong mặt phẳng. 
 Cho 1 1 2 2u(x , y ); v(x ; y )
r ur
 và k R . Khi đó: 
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 1 2
1 1 1 1
1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1) u v (x x ; y y ) 2) u v (x x ; y y )
x x
3) ku (kx ;ky ) 4) u x y 5) u=v
y y
6) u.v x x y y u v u.v 0 x x y y 0
       
      
        
r ur r ur
r r r ur
r ur r ur r ur
 Hai véc tơ 1 1 2 2u(x , y ); v(x ; y )
r ur
 cùng phương với nhau 1 2
1 2
x kx
y ky
   
 Góc giữa hai véc tơ 1 1 2 2u(x , y ); v(x ; y )
r ur
: 1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
u.v x x y y
cos(u, v)
u v x y x y

 
 
r ur
r ur
r ur . 
 Cho A A B BA(x ; y ) ; B(x ; y ) . Khi đó : 
 2 2B A B A B A B A1) AB (x x ; y y ) 2) AB= AB (x x ) (y y )      
uuur uuur
2 2 25(C) : (x 2) (y 4)
9
    trong đó d : 5x 2y 11 0.   là trung điểm của 
A(1;2),B(3; 2). . 
 AB CD AB.CD 0  
uuur uuur
 Cho tam giác ABC với A A B B C CA(x ; y ), B(x ; y ), C(x ; y ) . Khi đó trọng tâm  G GG x ; y 
của tam giác ABC là : 
A B C
G
A B C
G
x x x
x
3
y y y
y
3
      
. 
II. Phương trình đường thẳng 
1. Phương trình đường thẳng 
1.1. Véc tơ chỉ phương (VTCP), véc tơ pháp tuyến (VTPT) của đường thẳng : 
Cho đường thẳng d. 
2 2x y(E) : 1
9 4
  A(3; 2), gọi là véc tơ pháp tuyến của d nếu giá của nó vuông với d. 
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 
GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 2 
 B( 3;2)    A 2;1 ,B 4;3 gọi là véc tơ chỉ phương của d nếu giá của nó trùng hoặc song 
song với đường thẳng d. 
Một đường thẳng có vô số VTPT và vô số VTCP ( Các véc tơ này luôn cùng phương với 
nhau) 
: x y 5 0    Mối quan hệ giữa VTPT và VTCP:    A 0;5 ,B 2;3 . 
R 10 Nếu    A 1;0 ,B 2;0 là một VTPT của đường thẳng d thì u (b; a) 
r
 là một 
VTCP của đường thẳng d . 
d : x y 1 2 0    Đường thẳng  A 1;1 có A,O là VTCP. 
1.2. Phương trình đường thẳng 
1.2.1. Phương trình tổng quát của đường thẳng : 
Cho đường thẳng 2 2(C) : x y 1  đi qua điểm  I 2;2 và có AB 2 là VTPT, khi đó 
phương trình tổng quát của M(2;3) có dạng: 2 2 4(C) : (x 2) y
5
   . 
 1.2.2. Phương trình tham số của đường thẳng : 
Cho đường thẳng 1 2: x y 0, : x 7y 0      đi qua điểm   2 21C : x y 10x 0   và 
có   2 22C : x y 4x 2y 20 0     là VTCP, khi đó phương trình tham số của đường 
thẳng d là: 0
0
x x at
y y bt
    
, 2 2x y 2x 6y 6 0     . 
2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. 
Cho hai đường thẳng M( 3;1) 1 2T ,T . Khi đó vị trí tương đối giữa chúng phụ thuộc vào 
số nghiệm của hệ : (C) (I) 
1 2T ,T Nếu (I) vô nghiệm thì 1d : mx (m 1)y m 0    . 
2d : (2m 2)x 2my 1 0    Nếu (I) vô số nghiệm thì   2 2C : x y 2x 4y 0    
d : x y 0  Nếu (I) có nghiệm duy nhất thì 1d và 2d cắt nhau và nghiệm của hệ là tọa 
độ giao điểm. 
3. Góc giữa hai đường thẳng. 
Cho hai đường thẳng 1 1 1 1d : a x b y c 0;   2 2 2 2d : a x b y c 0   . Gọi  là góc nhọn 
tạo bởi hai đường thẳng 1d và 2d . Ta có : 
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
a a b b
cos
a b a b

 
 
. 
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 
GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 3 
4. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng. 
Cho đường thẳng : ax by c 0    và điểm 0 0M(x ; y ) . Khi đó khoảng cách từ M đến 
 được tính bởi công thức: 
0 0
2 2
ax by c
d(M, ( ))
a b
 
 

. 
5. Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng 
Cho hai đường thẳng 1 1 1 1d : a x b y c 0   và 2 2 2 2d : a x b y c 0   Phương trình 
phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng là: 1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
a x b y c a x b y c
a b a b
   
 
 
. 
III. Phương trình đường tròn. 
1. Phương trình đường tròn : 
Cho đường tròn (C) tâm I(a; b) , bán kính R , khi đó phương trình của (C) là : 
2 2 2(x a) (y b) R    . 
Ngoài ra phương trình : 2 2x y 2ax 2by c 0     với 2 2a b c 0   cũng là phương 
trình của đường tròn có tâm I(a; b) , bán kính 2 2R a b c   . 
2. Phương trình tiếp tuyến : 
 Cho đường tròn (C) : 2 2 2(x a) (y b) R    . 
 Tiếp tuyến  của (C) tại điểm M là đường thẳng đi qua M và vuông góc với IM . 
 Đường thẳng : Ax By C 0    là tiếp tuyến của (C) d(I, ) R   
 Đường tròn (C) : 2 2 2(x a) (y b) R    có hai tiếp tuyến cùng phương với Oy là 
x a R  . Ngoài hai tiếp tuyến này các tiếp tuyến còn lại đều có dạng : y kx m  . 
IV. E líp 
1. Định nghĩa : Trong mặt phẳng cho hai điểm cố định 1 2F ,F có 1 2F F 2c . Tập hợp các 
điểm M của mặt phẳng sao cho 1 2MF MF 2a  (2a không đổi và a c 0  ) là một 
đường elíp. 
 1 2F ,F : là hai tiêu điểm và 2c là tiêu cự của elíp. 
 1 2MF ,MF : là các bán kính qua tiêu. 
2. Phương trình chính tắc của elíp: 
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 
GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 4 
2 2
2 2
x y 1
a b
  với 2 2 2b = a c . 
Vậy điểm 
2 2
0 0
0 0 2 2
x y
M(x ; y ) (E) 1
a b
    và 0 0x a ; y b  . 
3. Tính chất và hình dạng của elíp: Cho 
2 2
2 2
x y(E) : 1
a b
  , a b . 
 Trục đối xứng Ox,Oy . Tâm đối xứng O . 
 Đỉnh:  1 2 1A ( a;0), A a;0 , B (0; b)  và  2B 0; b . 1 2A A 2a gọi là độ dài trục lớn, 
1 2B B 2b gọi là độ dài trục bé. 
 Tiêu điểm: 1 2F ( c;0), F (c; 0) . 
 Nội tiếp trong hình chữ nhật cơ sở PQRS có kích thước 2a và 2b với 2 2 2b = a c . 
 Tâm sai: 
2 2c a be 1
a a

   
 Hai đường chuẩn: 
2a ax
e c
    
    0 0 1 0M x ; y E : MF a ex   và 2 0MF a ex  . 
x
yP Q
RS
B2
A2
A1 O
V. Hypebol 
1. Định nghĩa : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm 1 2F ,F có 1 2F F 2c . 
Tập hợp các điểm M của mặt phẳng sao cho 1 2MF MF 2a   ( 2a không đổi và 
c a 0  ) là một Hypebol. 
 1 2F , F : là 2 tiêu điểm và 1 2F F 2c là tiêu cự. 
 1 2MF ,MF : là các bán kính qua tiêu. 
2. Phương trình chính tắc của hypebol: 
2 2
2 2
x y 1
a b
  với 2 2 2b = c a . 
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 
GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 5 
3. Tính chất và hình dạng của hypebol (H): 
 Trục đối xứng Ox (trục thực), Oy (trục ảo). Tâm đối xứng O . 
 Đỉnh:  1 2A ( a;0), A a;0 . Độ dài trục thực: 2a và độ dài trục ảo: 2b . 
 Tiêu điểm  1 2F ( c; 0), F c; 0 . 
 Hai tiệm cận: by x
a
  
 Hình chữ nhật cơ sở PQRS có kích thước 2a,2b với 2 2 2b c a  . 
 Tâm sai: 
2 2c a be
a a

  
 Hai đường chuẩn: 
2a ax
e c
    
 Độ dài các bán kính qua tiêu của    0 0M x ; y H : 
 +) 1 0MF ex a  và 2 0MF ex a  khi 0x 0 . 
 +) 1 0MF ex a   và 2 0MF ex a   khi 0x 0 . 

2 2
0 0 2 2
x yM(x ; y ) (E) : 1
a b
    
2 2
0 0
2 2
x y
1
a b
  và ta luôn có 0x a . 
VI. Parabol 
1. Định nghĩa: 
Parabol là tập hợp các điểm M của mặt phẳng cách đều một đường thẳng  cố định và 
một điểm F cố định không thuộc  . 
 : đường chuẩn; F : tiêu điểm và d(F, ) p 0   là tham số tiêu. 
2. Phương trình chính tắc của Parabol: 2y 2px 
3. Hình dạng của Parabol (P) : 
 Trục Ox là trục đối xứng, đỉnh O. Tiêu điểm pF( ;0)
2
. 
 Đường chuẩn p: x
2
  
      pM x; y P : MF x 2   với x 0 . 
B. CÁC VẤN ĐỀ TRỌNG ĐIỂM 
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 
GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 6 
Vấn đề 1. CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN 
1. Lập phương trình đường thẳng. 
Để lập phương trình đường thẳng  ta thường dùng các cách sau 
 Tìm điểm 0 0M(x ; y ) mà  đi qua và một VTPT n (a; b)
ur
. Khi đó phương trình 
đường thẳng cần lập là: 
0 0a(x x ) b(y y ) 0    . 
 Giả sử đường thẳng cần lập : ax by c 0    . Dựa vào điều kiện bài toán ta tìm 
được 
a mb, c nb  . Khi đó phương trình : mx y n 0    . Phương pháp này ta thường 
áp dụng đối với bài toán liên quan đến khoảng cách và góc 
 Phương pháp quỹ tích: 0 0 0 0M(x ; y ) : ax by c 0 ax by c 0         . 
Ví dụ 1.1.1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn 
2 2(C) : (x 1) (y 2) 25    . 
1) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(4;6) , 
2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) xuất phát từ điểm N( 6;1) 
3) Từ E( 6;3) vẽ hai tiếp tuyến EA,EB ( A,B là tiếp điểm) đến (C). Viết phương trình 
đường thẳng AB . 
Lời giải. 
Đường tròn (C) có tâm I(1;2) , bán kính R 5 . 
1) Tiếp tuyến đi qua M và vuông góc với IM nên nhận IM (3;4)
uuur
 làm VTPT 
Nên phương trình tiếp tuyến là: 3(x 4) 4(y 6) 0 3x 4y 36 0        . 
2) Gọi  là tiếp tuyến cần tìm. 
Do  đi qua N nên phương trình có dạng 
: a(x 6) b(y 1) 0 ax by 6a b 0          , 2 2a b 0  (*) 
Ta có: 2 2 2 2 2
2 2
7a b
d(I, ) R 5 7a b 5 a b (7a b) 25(a b )
a b

           

2
2 2
3a ba a 424a 14ab 24b 0 24 12 24 0
b b 4a b
3

                    

. 
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 
GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 7 
 3a b
4
 thay vào (*) ta có: 3 7bx by b 0 3x 4y 14 0
4 2
       . 
 4a b
3
 thay vào (*) ta có: 4 bx by 9b 0 4x 3y 27 0
3
        . 
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán là: 3x 4y 14 0   và 4x 3y 27 0   . 
3) Gọi A(a; b) . Ta có: 
2 22 2
2 2
A (C) a b 2a 4b 20 0(a 1) (b 2) 25
IA.NA 0 (a 1)(a 6) (b 2)(b 3) 0 a b 5a 5b 0
                              
uur uuur
7a b 20 0    
Từ đó ta suy ra được A : 7x y 20 0     . 
Tương tự ta cũng có được B AB AB : 7x y 20 0        . 
2. Các lập phương trình đường tròn. 
Để lập phương trình đường tròn (C) ta thường sử dụng các cách sau 
Cách 1: Tìm tâm I(a; b) và bán kính của đường tròn. Khi đó phương trình đường tròn 
có dạng: 2 2 2(x a) (y b) R    . 
Cách 2: Giả sử phương trình đường tròn có dạng: 2 2x y 2ax 2by c 0     . 
Dựa vào giả thiết của bài toán ta tìm được a, b, c . Cách này ta thương áp dụng khi yêu 
cầu viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm. 
Ví dụ 1.1.2. Lập phương trình đường tròn (C), biết 
1) (C) đi qua A(3;4) và các hình chiếu của A lên các trục tọa độ. 
2) (C) có tâm nằm trên đường tròn 2 21
4(C ) : (x 2) y
5
   và tiếp xúc với hai đường 
thẳng 1 : x y 0   và 2 : x 7y 0   . 
Lời giải. 
1) Gọi 1 2A , A lần lượt là hình chiếu của A lên hai trục Ox, Oy, suy ra 1 2A (3;0), A (0;4) . 
Giả sử 2 2(C) : x y 2ax 2by c 0     . 
Do 1 2A, A , A (C) nên ta có hệ: 
3a6a 8b c 25 2
6a c 9 b 2
8b c 16 c 0
                        
. 
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 
GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 8 
Vậy phương trình (C): 2 2x y 3x 4y 0    . 
2) Gọi I(a; b) là tâm của đường tròn (C), vì 1I (C ) nên: 
2 2 4(a 2) b
5
   (1) 
Do (C) tiếp xúc với hai đường thẳng 1 2,  nên 1 2d(I, ) d(I, )   
a b a 7b
b 2a, a 2b
2 5 2
 
     
 b 2a  thay vào (1) ta có được: 2 2 24 16(a 2) 4a 5a 4a 0
5 5
       phương trình 
này 
vô nghiệm 
 a 2b thay vào (1) ta có: 2 2 4 4 8(2b 2) b b ,a
5 5 5
      . Suy ra 
1
4R D(I, )
5 2
   . 
Vậy phương trình 
2 28 4 8(C) : x y
5 5 25
                 
. 
3. Các điểm đặc biệt trong tam giác. 
Cho tam giác ABC . Khi đó: 
 Trọng tâm A B C A B C
x x x y y y
G ;
3 3
         
  Trực tâm AH.BC 0H :
BH.AC 0
  
uuur uuur
uuur uuur 
 Tâm đường tròn ngoại tiếp 
2 2
2 2
IA IBI :
IA IC
  
 Tâm đường tròn nội tiếp 
AB.AK AC.AK
AB ACK :
BC.BK BA.BK
BC AB
 
 
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur 
Chú ý: Có thể tìm K theo cách sau: 
* Gọi D là chân đường phân giác trong góc A, ta có: ABBD DC
AC

uuur uuur
, từ đây suy ra D 
* Ta có ABAK KD
BD

uuur uuur
 từ đây ta có K. 
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 
GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 9 
 Tâm đường tròn bàng tiếp (góc A) 
AB.AJ AC.AJ
AB ACJ :
BJ.BC AB.BJ
BC AB
 
 
uuur uuur uuur uuur
uur uuur uuur uur . 
Ví dụ 1.1.3. Cho tam giác ABC có 5 3A(1;3),B( 2;0),C ;
8 8
      
. 
1) Tìm tọa độ trực tâm H , tâm đường tròn ngoại tiếp I và trọng tâm G của tam giác 
ABC . Từ đó suy ra I,G,H thẳng hàng; 
2) Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác 
ABC . 
Lời giải. 
1) Ta có 
A B C
G
A B C
G
x x x 1x 1 93 8 G ;
8 8y y y 9y
3 8
                   
. 
Gọi H(x; y) , suy ra     21 3 3 21AH x 1; y 3 ,BH x 2; y ,BC ; , AC ;8 8 8 8
                      
uuur uuur uuur uuur
Mà AH.BC 0
BH.AC 0
  
uuur uuur
uuur uuur nên ta có 
3x7(x 1) (y 3) 0 7x y 10 0 2
(x 2) 7y 0 x 7y 2 0 1y
2
                           
Suy ra 3 1H ;
2 2
     
. 
Gọi I(x; y) , ta có: 
2 2 2 2
2 2
2 2
2 22 2
(x 1) (y 3) (x 2) y
IA IB
5 3(x 2) y x yIB IC
8 8
                                       
15x y 1 x 15 3116 I ;21 3 111 16 1631x y y4 4 32 16
                        
. 
Ta có 13 13 13 13GH ; , GI ; GH 2GI
8 8 16 16
                   
uuur uur uuur uur
. Suy ra I,G,H thẳng hàng. 
2) Gọi K(x; y) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Ta có: 
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 
GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 10 
· ·
· ·
   
   
   
   
AK, AB AK, AC cos AK, AB cos AK, ACKAB KAC
KBC KBA BK,BA BK,BC cos BK,BA cos BK,BC
                     
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 
AK.AB AK.AC AK.AB AK.AC
AK.AB AK.AC AB AC
BK.BA BK.BC BK.BA BK.BC
BK.AB BK.BC AB BC
                 
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur (*) 
Mà    AK x 1; y 3 ,BK x 2; y , AB ( 3; 3)       
uuur uuur uuur
 nên (*) tương đương với 
3 21(x 1) (y 3)3(x 1) 3(y 3) 8 8
3 2 15 2
2x y 1 x 08
21 3 x 2y 2 y 1(x 2) y3(x 2) 3y 8 8
3 2 15 2
8
                                
. Vậy K(0;1) . 
Gọi  J a; b là tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC. Ta có: 
   
   
AJ.AB AJ.AC 5aAJ, AB AJ, AC 2a b 1AB AC 4
2a b 4 3BJ.BC BJ.ABBJ,BC BJ,AB b
2BC AB
                                  
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
uur uuur uur uuuruur uuur uur uuur . Vậy 
5 3J ;
4 2
      
. 
4. Các đường đăch biệt trong tam giác 
4.1. Đường trung tuyến của tam giác: Khi gặp đường trung tuyến của tam giác, ta chủ 
yếu khai thác tính chất đi qua đỉnh và trung điểm của cạnh đối diện. 
4.2. Đường cao của tam giác: Ta khai thác tính chất đi qua đỉnh và vuông góc với cạnh 
đối diện. 
4.3. Đường trung trực của tam giác: Ta khai thác tính chất đi qua trung điểm và vuông 
góc với cạnh đó. 
4.4. Đường phân giác trong: Ta khai thác tính chất: Nếu M thuộc AB, M’ đối xứng với M 
qua phân giác trong góc A thì M’ thuộc AC. 
Ví dụ 1.1.4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam 
giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H( 1; 1)  , 
đường phân giác trong của góc A có phương trình x y 2 0   và đường cao kẻ từ B 
có phương trình 4x 3y 1 0   . 
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 
GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 11 
Lời giải. 
Kí hiệu 1 2d : x y 2 0, d : 4x 3y 1 0      . 
Gọi H' là điểm đối xứng với H qua 1d . Khi đó H' AC . 
Gọi  là đường thẳng đi qua H và vuông góc với 1d . Phương trình của 
: x y 2 0    
Suy ra 1
x y 2 0d I : I( 2;0)
x y 2 0
         
Ta có I là trung điểm của HH ' nên H'( 3;1) . 
Đường thẳng AC đi qua H' và vuông góc với 2d nên có phương trình : 
3x 4y 13 0   . 
Nên 1
x y 2 0AC d A : A(5;7)
3x 4y 13 0
        
. 
Vì CH đi qua H và vuông với AH , suy ra phương trình của CH : 3x 4y 7 0   
Do đó 3x 4y 7 0 10 3C : C( ; )
3 43x 4y 13 0
        
. 
Ví dụ 1.1.5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC biết  A 5;2 . 
Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là 
x y 6 0   và 2x y 3 0   . Tìm tọa độ các đỉnh B,C của tam giác ABC. 
Lời giải. 
Gọi d : x y 6 0, CC ' : 2x y 3 0      . Ta có: C(c;2c 3) 
Phương trình BC : x y c 3 0    
Gọi M là trung điểm của BC, suy ra 
3 cxx y 6 0 2M :
x y c 3 0 c 9y
2
               
Suy ra   cB 3 2c;6 c C '(4 c;4 )2     
Mà C ' CC ' nên ta có: c 3 142(4 c) (4 ) 3 0 c 7 0 c
2 2 3
           . 
Vậy 19 4 14 37B ; , C ;
3 3 3 3
              
. 
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 
GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 12 
M
C'
B
A
C
5. Một số bài toán dựng hình cơ bản. 
5.1. Hình chiếu vuông góc H của điểm A lên đường thẳng  
 Lập đường thẳng d đi qua A và vuông góc với   H d  
5.2. Dựng A ' đối xứng với A qua đường thẳng  
 Dựng hình chiếu vuông góc H của A lên  
 Lấy A ' đối xứng với A qua H: A ' H A
A ' H A
x 2x x
y 2y y
    
. 
5.3. Dựng đường tròn (C’) đối xứng với (C) (có tâm I, bán kính R) qua đường thẳng  
 Dựng I’ đối xứng với I qua đường thẳng  
 Đường tròn (C’) có tâm I ' , bán kính R. 
Chú ý: Giao điểm của (C) và (C’) chính là giao điểm của và  . 
5.4. Dựng đường thẳng d’ đối xứng với d qua đường thẳng  . 
 Lấy hai điểm M,N thuộc d. Dựng M',N ' lần lượt đối xứng với M, N qua  
 d ' M 'N ' . 
Ví dụ 1.1.6. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d : x 2y 3 0   và hai điểm 
A(3;2), B( 1;4) . 
1) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao cho MA MB nhỏ nhất, 
2) Viết phương trình đường thẳng d ' sao cho đường thẳng : 3x 4y 1 0    là đường 
phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng d và d ' . 
Lời giải. 
1) Ta thấy A và B nằm về một phía so với đường thẳng d . Gọi A ' là điểm đối xứng 
với A qua d. Khi đó với mọi điểm M thuộc d, ta luôn có: MA MA ' 
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 
GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 13 
Do đó: MA MB A 'M MB A 'B    . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M A 'B d  . 
Vì A 'A d nên AA ' có phương trình: 2x y 8 0   
Gọi 
19x2x y 8 0 19 25H d AA ' H : H ;
5 5x 2y 3 0 2y
5
                          
. 
Vì H là trung điểm của AA ' nên 
A ' H A
A ' H A
23x 2x x 23 65 A ' ;
5 56y 2y y
5
                 
. 
Suy ra 28 26A 'B ;
5 5
      
uuuur
, do đó phương trình A 'B : 13x 14y 43 0   
Nên 
16xx 2y 3 0 16 15M : M ;
5 1013x 14y 43 0 1y
10
                       
. 
Δ
M
A'
A
B
M
2) Xét hệ phương trình x 2y 3 0 x 1
3x 4y 1 0 y 1
              
, suy ra d I(1; 1)   
Vì  là phân giác của góc hợp bởi giữa hai đường thẳng d và d ' nên d và d ' đối xứng 
nhau qua  , do đó I d ' . 
Lấy E(3; 0) d , ta tìm được 3 16F ;
5 5
     
 là điểm đối xứng với E qua  , ta có F d ' 
Suy ra 2 11FI ;
5 5
      
uur
, do đó phương trình d ' : 11x 2y 13 0   . 
Bài tập 
Bài 1.1.1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(4; 1),B(1;5);C( 4; 5)   
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 
GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 14 
Viết phương trình các đường thẳng sau: 
1) Đường cao AD 
2) Các đường trung tuyến BM,CN 
3) Các đường phân giác trong BD,CE . 
Bài 1.1.2. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A(2;1), B(4;3), C( 3; 1)  
1) Tìm tọa độ trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 
2) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
Bài 1.1.3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(3;2) và phương trình hai 
đường trung tuyếnBM : 3x 4y 3 0,CN : 3x 10y 17 0      . Tính tọa độ các điểm B, 
C. 
Bài 1.1.4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A( 3;0) và phương trình 
hai đường phân giác trong BD : x y 1 0,CE : x 2y 17 0      . Tính tọa độ các điểm 
B, C. 
Bài 1.1.5.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có C(5; 3) và phương trình 
đường cao AA ' : x y 2 0   , đường trung tuyếnBM : 2x 5y 13 0   .Tính tọa độ các 
điểm A, B. 
Bài 1.1.6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B(1; 3) và phương trình 
đường cao AD : 2x y 1 0   , đường phân giác CE : x y 2 0   .Tính tọa độ các 
điểm A, C. 
Bài 1.1.7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M (2; 0) là trung 
điểm của cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương 
trình là 7x 2y 3 0   và 6x y 4 0   . Viết phương trình đường thẳng AC. 
Bài 1.1.8. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn 2 2(C) : (x 2) (y 1) 25    . 
1) Lập phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua A(3; 6) 
2) Từ điểm D( 4;5) vẽ đến (C) hai tiếp tuyến DM, DN (M, N là tiếp điểm). Viết phương 
trình đường thẳng MN. 
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 
GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 15 
Vấn đề 2. XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ CỦA MỘT ĐIỂM 
Bài toán cơ bản của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng là bài toán xác định tọa độ 
của một điểm. Chẳng hạn, để lập phương trình đường thẳng cần tìm một điểm đi qua 
và VTPT, với phương trình đường tròn thì ta cần xác định tâm và bán kính.Chúng ta 
có thể gặp bài toán tìm tọa độ của điểm được hỏi trực tiếp hoặc gián tiếp. 
 Về phương diện hình học tổng hợp thì để xác định tọa độ một điểm, ta thường chứng 
minh điểm đó thuộc hai hình (H) và (H’). Khi đó điểm cần tìm chính là giao điểm của 
(H) và (H’). 
Về phương diện đại số, để xác định tọa độ của một điểm (gồm hai tọa độ) là bài toán 
đi tìm hai ẩn. Do đó, chúng ta cần xác định được hai phương trình chứa hai ẩn và giải 
hệ phương trình này ta tìm được tọa độ điểm cần tìm. Khi thiết lập phương trình chúng 
ta cần lưu ý: 
+) Tích vô hướng của hai véc tơ cho ta một phương trình, 
+) Hai đoạn thẳng bằng nhau cho ta một phương trình, 
+) Hai véc tơ bằng nhau cho ta hai phương trình, 
+) Nếu điểm M : ax by c 0, a 0      thì bm cM ;m
a
       
, lức này tọa độ của M chỉ 
còn một ẩn và ta chỉ cần tìm một phương trình. 
Ví dụ 1.2.1. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn 2 2(C) : (x 1) (y 1) 4    và đường 
thẳng : x 3y 6 0    . Tìm tọa độ điểm M nằm trên  , sao cho từ M vẽ được hai tiếp 
tuyến MA,MB (A,B là tiếp điểm) thỏa ABM là tam giác vuông. 
Lời giải. 
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 
GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 16 
B M
AI
Đường tròn (C) có tâm I(1;1) , bán kính R 2 . 
Vì AMB vuông và IM là đường phân giác của góc ·AMB nên · 0AMI 45 
Trong tam giác vuông IAM , ta có: IM 2 2 , suy ra M thuộc đường tròn tâm I bán 
kính R ' 2 2 . 
Mặt khác M   nên M là giao điểm của  và (I,R ') . Suy ra tọa độ của M là nghiệm 
của hệ 
2 2 2 2 2
y 1, x 3x 3y 6 0 x 3y 6 x 3y 6
9 3y , x(x 1) (y 1) 8 (3y 5) (y 1) 8 5y 14y 9 0 5 5
                                          
. 
Vậy có hai điểm  1M 3; 1 và 2
3 9M ;
5 5
     
 thỏa yêu cầu bài toán. 
Ví dụ 1.2.2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho các đường thẳng 1d : x y 3 0,   
2 3d : x y 4 0, d : x 2y 0     . Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng 3d sao cho 
khoảng cách từ M đến đường thẳng 1d bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường 
thẳng 2d . 
Lời giải. 
Ta có 3M d , suy ra M(2y; y) . Suy ra 1 2
3y 3 y 4
d(M,d ) ;d(M,d )
2 2
 
  
Theo giả thiết ta có: 1 2
3y 3 y 4
d(M,d ) 2d(M,d ) 2.
2 2
 
   
 3y 3 2y 8 y 11; y 1
3y 3 2y 8
          
 . 
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 
GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 17 
 Với y 11 M( 22; 11)     . 
 Với y 1 M(2;1)  . 
Ví dụ 1.2.3. Trong hệ tọa độ Oxy , cho điểm A(0;2) và đường thẳng d : x 2y 2 0   . 
Tìm trên đường thẳng d hai điểm B,C sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB 2BC . 
Lời giải. 
Ta có AB d nên AB có phương trình : 2x y 2 0   . 
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ : x 2y 2 0 2 6B ;
5 52x y 2 0
                
. 
Suy ra 2 5 AB 5AB BC
5 2 5
    . 
Phương trình đường tròn tâm B, bán kính 5BC
5
 là: 
2 22 6 1x y
5 5 5
                 
. 
Vậy tọa độ điểm C là nghiệm của hệ : 2 2
x 2y 2 0 x 0, y 1
4 72 6 1 x , yx y 5 55 5 5
                                 
Vậy có hai bộ điểm thỏa yêu cầu bài toán là: 2 6B ;
5 5
     
,  C 0;1 và 2 6B ;5 5
     
, 4 7C ;
5 5
     
. 
Ví dụ 1.2.4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm A(2;2) và hai đường thẳng: 
1 2d : x y 2 0,d : x y 8 0 