Toán học - Một phương pháp thay đổi biến số

Nguyễn Mạnh Dũng, 11A2 Toán, ĐHKHTN-ĐHQGHN. 
Email: nguyendunghus@gmail.com 
Một phương pháp thay đổi biến số 
Trong bài viết này tôi sẽ giới thiệu với các bạn một phép thế khác trong trường hợp 3 số 
a,b,c có tích bằng 1, đó là đặt 2 2 2
yz , ,zx xya b c
x y z
= = = , với a,b,c dương thì x,y,z cũng 
dương. Tư tưởng chủ đạo của phép thế này là xuất hiện đại lượng bình phương ở tử phân 
thức, sau 
đó áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ở dạng Svác: 
( )22 2 2 ; , , , , , 0A B CA B C A B C X Y Z
X Y Z X Y Z
+ +
+ + ³ >
+ +
Một số kí hiệu dùng trong bài viết: 
sym
å : tổng đối xứng. Ví dụ: 2 2 2 2 2 2 2
sym
a b a b b c c a ab bc ca= + + + + +å 
cyc
å : tổng hoán vị. Ví dụ: 
, , ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2;
a b c d
cyc cyc
a b a b b c c a a c a c ac b d bd= + + = + + +å å 
Các bạn hãy theo dõi một số ví dụ minh họa. 
Ví dụ 1: Cho a,b,c là các số thực dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng: 
( )( ) ( )( ) ( )( )
1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 2a a b b c c
+ + ³
+ + + + + +
Giải. Các bạn có thể đặt , ,x y za b c
y z x
= = = nhưng bất đẳng thức mới không dễ dàng 
chứng minh được! Xét phép đổi biến 2 2 2
yz , ,zx xya b c
x y z
= = = với x,y,z là các số thực 
dương. Khi đó bất đẳng thức trên trở thành: 
( )( ) ( )( ) ( )( )
4 4 4
2 2 2 2 2 2
1
22 2 2
x y z
x yz x yz y zx y zx z xy z xy
+ + ³
+ + + + + +
Áp dụng bất đẳng thức Svác ta có: 
( )( )
( )
( )( )
22 2 24
2 2 2 22 2cyc
cyc
x y zx
x yz x yz x yz x yz
+ +
³
+ + + +
å å
Ta có 
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 22 2 2
2 2
1 0
2
cyc
x y z x yz x yz x y y z z x xyz x y z
x y z y z x z x y
+ + - + + = + + - + +
= - + - + - ³
å
Bất đẳng thức trên luôn đúng, suy ra đpcm. 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 1x y z a b c= = = Û = = = 
Ví dụ 2: Cho a,b,c là các số thực dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng: 
 2 2 2
1 1 1 1
1 1 1a a b b b b
+ + ³
+ + + + + +
Giải. 
Đặt 2 2 2
yz , ,zx xya b c
x y z
= = = với x,y,z là các số thực dương, bất đẳng thức trên trở thành: 
4 4 4
4 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 1
x y z
x x yz y z y y zx z x z z xy x y
+ + ³
+ + + + + +
Sử dụng bất đẳng thức Svác: 
( )
( )
22 2 24
4 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2
cyc
x y zx
x x yz y z x y z x y y z z x xyz x y z
+ +
³
+ + + + + + + + + +å 
Vậy ta chỉ cần chứng minh: 
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
22 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 22 2 2 0
x y z x y z x y y z z x xyz x y z
x y y z z x xyz x y z
x y z y z x z x y
+ + ³ + + + + + + + +
Û + + ³ + +
Û - + - + - ³
Suy ra đpcm. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 1x y z a b c= = = Û = = = . 
Qua hai ví dụ trên các bạn có thể thấy đây là một phương pháp hoàn toàn tự nhiên và dễ 
sử dụng. Tuy nhiên đối với một số bài toán cần sử dụng cả hai cách thay đổi biến số. 
Ví dụ 3. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 22 2 2
1
32 2 2
a b c
a a b b b c c c a
+ + ³
+ + + + + +
Giải: Đặt , ,b c ax y z
a b c
= = = thì bất đẳng thức trở thành 
( ) ( ) ( )2 2 2
1 1 1 0
1 2 1 1 2 1 1 2 1x y z
+ + ³
+ + + + + +
Do 1xyz = nên ta tồn tại các số thực dương m,n,p sao cho 2 2 2, ,
np mp mnx y z
m n p
= = = 
Bất đẳng thức trên trở thành: 
( )
4
24 2
1
32cyc
m
m m np
³
+ +
å 
Áp dụng bất đẳng thức Svác ta có 
( )
( )
( )
22 2 24
2 24 2 4 4 4 22 2cyc
cyc
m n pm
m m np m n p m np
+ +
³
+ + + + + +
å
å
Mà ( ) ( )
2
2 22 4 2 23 2 0
cyc cyc cyc cyc
m m m np m n p
æ ö
- - + = - ³ç ÷
è ø
å å å å 
Ta có đpcm. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1m n p x y z a b c= = Û = = = Û = = 
Cách thế trên không những phát huy tác dụng với bài toán 3 biến mà còn có thể sử dụng 
cho những bài toán nhiều biến hơn nhưng khối lượng tính toán hơi phức tạp. 
Ví dụ 4. (Thi chọn đội tuyển Trung Quốc 2004) Cho a,b,c,d là các số thực dương có 
tích bằng 1. Chứng minh rằng: 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
1 1 1 1 1
1 1 1 1a b c d
+ + + ³
+ + + +
Giải: 
Vì ở đây có 4 biến nên ta đặt 3 3 3 3, , ,
yzt ztx txy xyza b c d
x y z t
= = = = với x,y,z,t là các số thực 
dương. Bất đẳng thức trên trở thành: 
( )
6
23
1
cyc
x
x yzt
³
+
å 
Áp dụng bất đẳng thức Svác: 
( )
( )
( )
23 3 3 36
2 23 3cyc
cyc
x y z tx
x yzt x yzt
+ + +
³
+ +
å
å
Vì vậy ta chỉ cần chứng minh: 
( ) ( ) ( )2 23 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 32
cyc cyc cyc cyc
x y z t x yzt x y z x x y z x yzt+ + + ³ + Û + + ³ +å å å å 
Đến đây các bạn có thể áp dụng bất đẳng thức Cô-si: 
( )
( ) ( )
3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2
3
3
cyc cyc
cyc cyc cyc
x y z t x yzt
x y z t x y y z z x x y z
+ + ³
+ + = + + ³
å å
å å å
Suy ra đpcm. 
Nhận xét: Tương tự như trên ta có thể chứng minh được bài toán tổng quát sau 
Cho 1 2, ,...., na a a là các số thực dương có tích bằng 1. Với 1k n= - chứng minh rằng: 
( )21
1 1
1
n
i ika=
³
+
å 
Kết thúc bài viết, mời các bạn làm một số bài tập vận dụng sau: 
Bài tập 1. Cho a,b,c,d là các số thực dương có tích là 1. Chứng minh rằng: 
 2 2 2 2
1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2a a b c c c d d
+ + + ³
+ + + + + + + +
Bài tập 2. Cho a,b,c là các số thực dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng: 
 2 2 2
1 1 1 3
1 1 1a a b b c c
+ + £
- + - + - +
Lời giải cho bài tập vận dụng: 
Bài tập 1: Đặt 3 3 3 3, , ,
yzt ztx txy xyza b c d
x y z t
= = = = với x,y,z,t là các số thực dương. 
 Bất đẳng thức trên trở thành: 
6
6 3 2 2 2 12cyc
x
x x yzt y z t
³
+ +å 
Áp dụng bất đẳng thức Svác, ta được: 
2
3
6
6 3 2 2 2 6 3 2 2 22
cyc
cyc
cyc cyc cyc
x
x
x x yzt y z t x x yzt y z t
æ ö
ç ÷
è ø³
+ + + +
å
å å å å
Vì vậy ta chỉ cần chứng minh 
( )
2
3 6 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 2 2 2 32 2
cyc cyc cyc cyc cyc cyc cyc cyc
x x xyzt x x y z x y x y z x x y z x yzt
æ ö
³ + + Û ³ + + ³ +ç ÷
è ø
å å å å å å å å
Chứng minh điều này tương tự chứng minh trong ví dụ 4. 
Bài tập 2. Áp dụng kết quả ví dụ 2 ta được: 
4 4 2
24 2 4 2 4 2
2 2
1 11 3 2 2
1 1 11 1 1cyc cyc cyc cyc
a a a
a a a a a a
a a
+
= ³ Þ - ³ - Þ £
+ + + + + +æ ö æ ö+ +ç ÷ ç ÷
è ø è ø
å å å å 
Suy ra: 
2
2 2 4 2
1 1 12 4
1 1 1cyc cyc cyc
a
a a a a a a
+
+ = £
+ + - + + +å å å 
Mà 2 2
1 11 3
1 1cyc cyca a a a
³ Þ £
+ + - +å å