Toán học - Chuyên đề: Bất phương trình hàm

Trường THPT Chuyên Lương văn Chánh  Gv Châu Chí Trung 
2 
MỤC LỤC 
I­ Phần mở đầu  Trang 3 
II­Nội dung đề tài 
Chương I :  Cơ sở lý luận liên quan tới đề tài nghiên cứu  Trang 3 
1_. Cơ sở pháp lý  Trang 3 
2_. Cơ sở lý luận 
§1. Tìm hàm số bằng cáh sử dụng phương pháp chứng minh qui nạp Trang 4 
§2.  Tìm hàm số bằng cách làm chặt hai đầu chận của hàm số  Trang 6 
§3  Tìm hàm số bằng cách sử dụng phép thay các giá trị đặc biệt  Trang 9 
§4  Tìm hàm số bằng cách sử dụng giới hạn dãy số  Trang 10 
§5  Tìm hàm số bằng cách sử dụng định nghĩa đạo hàm  Trang 12 
§6 Một số bài tập áp dụng  Trang 14 
3_. Cơ sở thực tiễn  Trang 15 
Chương II :  Thực trạng của đề tài nghiên cứu  Trang 16 
Chương III: Biện pháp,giải pháp chủ yếu để thực hiện đề tài  Trang 16 
III­Kết luận kiến nghị  Trang 17 
Tài liệu tham khảo  Trang 20 
www.laisac.page.tl 
Chuyên Đề: 
B Ấ T P H Ư Ơ N G T R Ì N H H À M 
Châu Chí Trung 
GV THPT Chuyên Lương Văn Chánh
Trường THPT Chuyên Lương văn Chánh  Gv Châu Chí Trung 
3 
I­PHẦN MỞ ĐẦU 
1. Lý do chọn đề tài 
Trong  các  kỳ  thi  chọn  học  sinh  giỏi  các  nước  cũng  như  nước  ta  ,  các  bài  toán  về 
phương trình hàm và bất phương trình hàm thường được nhắc đến và là một trong các bài toán 
quen thuộc nhưng lại có nhiều nhiều hướng để thực hiện lời giải . Đã có nhiều chuyên đề đề 
cập đến phương pháp giải các bài toán phương trình và bất phương trình hàm nhưng vẫn còn 
nhiều điều khá lý thú khi nghiên cứu về loại toán này . Bài viết này chúng tôi đề cập đến một 
số cách giải bài toán BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM . 
2. Mục đích nghiên cứu 
Bài viết nghiên cứu một số cách giải khác của bài toàn Bất phương trình hàm nhằm làm 
đa dạng  thêm các cách giải  , giúp việc giải bài  toán có nhiều hướng để giải quyết  ,  làm cho 
việc giải loại toán này có cơ sở để định hướng việc chọn lựa phương pháp . 
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 
Nội dung đề tài  tập trung nghiên cứu lớp các bài  toán BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM đã 
thi trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp , và đây là bài toán trọng điểm trong kỳ thi quốc gia. 
Nội dung tập trung nghiên cứu kiến thức , phương pháp hợp các tính chất trong hàm số 
để giải quyết  . Nhằm giúp học sinh giỏi  có  thêm  tài  liệu  tham khảo  ,  còn  thầy giáo ngày  có 
thêm nhiều nội dung đề tài để bồi dưỡng học sinh giỏi. 
4. Nhiệm vụ nghiên cứu 
Làm nổi phương pháp giải bài toán BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM .Nói chung là giúp các 
em làm quen cách giải quyết những bài toán BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM rất khó mà các em 
thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi. 
5. Phương pháp nghiên cứu 
Hệ thống các dạng toán , phân loại nhóm các bài  toán thuộc đối tượng nghiên cứu và 
dựa vào kinh nghiệm trong nhiều năm bồi dưỡng học sinh giỏi để xây dựng nên nội dung đề tài 
một cách có hệ thống , lôgic và chặt chẽ về kiến thức , cũng như các phương pháp vận dụng 
giải toán. 
6. Nội dung của đề tài 
Bài viết này ngòai phần mở đầu và kết  luận, phần nội dung chính  triển khai  thành ba 
chương, gồm: 
­  Chương 1: Cơ sở lý luận liên quan đến đề tài nghiên cứu 
1.  Cơ sở pháp lý: Nêu các hệ thống văn bản liên quan đến đề tài 
2.  Cơ sở lý luận : Nêu các khái niệm; Vai trò­ vị trí­ nhiệm vụ 
...của  đề tài nghiên cứu. 
3.  Cơ sở thực tiễn ( Sự cần thiết của đề tài đang nghiên cứu). 
­  Chương 2: Thực trạng của đề tài nghiên cứu 
­  Chương 3: Biện pháp, giải pháp chủ yếu để thực hiện đề tài :
Trường THPT Chuyên Lương văn Chánh  Gv Châu Chí Trung 
4 
II­NỘI DUNG ĐỀ TÀI 
Chương 1:Cơ sở lý luận liên quan đến đề tài nghiên cứu 
1 – TÌM HÀM SỐ BẰNG CÁCH  SỬ DỤNG PHÉP QUI NẠP 
Trong các bài toán về phương trình hàm và bất phương trình hàm : phương pháp qui nạp tỏ ra hiệu 
quả trong các bài toán có liên quan đến số tự nhiên .Ở đây, có thể sử dụng qui nạp để xác định hàm số 
nếu như ta phát hiện được hệ thức qui nạp liên quan . 
BÀI TOÁN 1  (IMO – 1977) 
Cho hàm số  * * : f N N ®  thỏa mãn : ( )  * ( ) ( 1) , f f n f n n N < + " Π (1) 
Chứng minh rằng :  * ( ) , f n n n N = " Π
LỜI GIẢI 
Trước hết ta chứng minh bằng qui nạp rằng  :  * 0 0 0 ( ) , , và f N n N n N N n ³ " Î ³  (1.2) 
Với n = 1 thì  (1.2) đúng . 
Giả sử (1.2) đúng đến n = k :  * 0 0 0 ( ) , , và f N n N k N N k ³ " Î ³  (1.3) 
Với  0 0 1 1 N k N k ³ + Û - ³  ,theo (1.3) thì  :  0 ( 1) f N k - ³  . 
Mà  * 0 ( 1) f N N - Π nên cũng theo (1.3) thì ( ) 0 ( 1) f f N k - ³ 
Mặt khác theo (1) thì : ( ) 0 0 ( ) ( 1) f N f f N > -  nên suy được : 
( ) 0 0 ( ) ( 1) f N f f N k > - ³ 
Từ đó ta có :  0 0 ( ) hay ( ) 1 f N k f N k > ³ + 
Theo nguyên lý qui nạp thì  * 0 0 0 ( ) , , và f N n N n N N n ³ " Î ³  đúng . 
Từ đó ta được :  * ( ) , f n n n N ³ " Π khi lấy  0 N n =  (1.4) 
Từ (1) và (1.4) ta được : ( ) ( 1) ( ) ( ) f n f f n f n + > ³  : như vậy f là hàm tăng thật sự trên N * 
Do đó từ ( ) ( 1) ( ) 1 ( ) f n f f n n f n + > Þ + >  (1.5) 
Từ (1.4) và (1.5) ta có được điều phải chứng minh :  * ( ) , f n n n N = " Π
BÀI TOÁN 2 :  Tìm hàm  * * : f N N ®  sao cho : 
* , 2 : ( 1) ( ) , k k N k f n f n n N $ Î ³ + > " Π (2) 
với ( ) ( ) ( ) ... ( ) k f n f f f n =  với k lần f . 
LỜI GIẢI 
Ta sử dụng qui nạp theo n để chứng minh rằng  :  * ( ) , và , f m n m n m n N ³ " ³ Π (2.1) 
Với n = 1 : ta có  * ( ) 1 , f m m N ³ " Π (đúng) 
Giả sử  (2.1)  đúng với  n , ta cần chứng tỏ (2.1) đúng với  n + 1 . 
Ta có :  1 1 ( 1) ... ( 1) k m n m n f m n f m n ³ + Þ - ³ Þ - ³ Þ Þ - ³ 
Mà  ( ) ( 1) k f m f m > -  nên  ( ) 1 f m n ³ +  ,theo nguyên lý qui nạp , ta có (2.1) đúng 
* m n N " ³ Π . 
Cho m = n  , ta được :  * ( ) , f n n n N ³ " Π (2.2) 
Từ đó :  ( 1) ( ) ( ) k f n f n f n + > ³  nên f là tăng thật sự trên N 
* . 
Do đó  2 ( 1) ( ) ( ) 1 ( ) k f n f n f n n f n + > ³ Þ + >  (2.3) 
Từ (2.2) và (2.3)  ta kết luận  :  ( ) f n n =  là hàm số duy nhất thỏa mãn đề bài.
Trường THPT Chuyên Lương văn Chánh  Gv Châu Chí Trung 
5 
BÀI TOÁN 3 
Chứng minh rằng không tồn tại  hàm số  : f R R ®  thỏa điều kiện: 
( ) ( ) 
2 2 
f x f y x y 
f x y 
+ + æ ö ³ + - ç ÷ 
è ø 
,  , x y R " Π (3) 
LỜI GIẢI 
Ta thay y = 0 vào (3) thì được :  ( ) 2 (0) 2 
2 
x 
f x x f f æ ö ³ - + ç ÷ 
è ø 
(3.1) 
Ta sử dụng qui nạp theo số tự nhiên n để chứng minh rằng  : 
( ) ( ) 2 2 1 (0) 2 
2 
n n 
n 
x 
f x nx f f æ ö ³ - - + ç ÷ 
è ø 
, nÎN *  (3.2) 
Với  n = 1 thì (3.2) đúng . 
Giả sử  (3.2) đúng  với n . 
Thay x bới 
2 n 
x 
trong (3.1) : 
1 
2 
(0) 2 
2 2 2 n n n 
x x x 
f f f + 
æ ö æ ö ³ - + ç ÷ ç ÷ 
è ø è ø 
Suy ra :  1 
1 
2 2 2 (0) 2 
2 2 
n n n 
n n 
x x 
f x f f + + 
æ ö æ ö ³ - + ç ÷ ç ÷ 
è ø è ø 
Từ đó ta có : 
( ) 
( )  1  1 
( ) 2 2 1 (0) 2 
2 
2 2 1 (0) 2 2 (0) 2 
2 
n n 
n 
n n n 
n 
x 
f x nx f f 
x 
nx f x f f + + 
æ ö ³ - - + ç ÷ 
è ø 
æ ö ³ - - + - + ç ÷ 
è ø 
1 1 
1 
2( 1) (2 1) (0) 2 
2 
n n 
n 
x 
n x f f + + + 
æ ö = + - - + ç ÷ 
è ø 
(3.3) 
Theo nguyên lý qui nạp thì (3.2) đúng  * n N " Π . 
Trong (3.2) cho x = 1 ta có : 
1 
(1) 2 (2 1) (0) 2 
2 
n n 
n 
f n f f æ ö ³ - - + ç ÷ 
è ø 
Suy ra : 
1 (2 1) (0) 2 (1) 
2 2 
n 
n n 
f n f 
f 
- - + æ ö £ ç ÷ 
è ø 
(3.4) 
Tương tự khi cho x = – 1 ta cũng có  : 
1 (2 1) (0) 2 ( 1) 
2 2 
n 
n n 
f n f 
f 
- - - + - æ ö £ ç ÷ 
è ø 
(3.5) 
Chọn n = N đủ lớn để cho { } 2 max ( 1), (1) N f f > -  thì từ (3.4) và (3.5) cho ta : 
1 1 
, (0) 
2 2 N N 
f f f 
- æ ö æ ö < ç ÷ ç ÷ 
è ø è ø 
. 
Khi đó (3) không còn đúng khi ta cho 
1 1 
và 
2 2 N N 
x y 
- 
= =  . 
Vậy hàm số f(x) không tồn tại . 
2 – TÌM HÀM SỐ BẰNG CÁCH LÀM CHẶT HAI ĐẦU CHẬN CỦA HÀM SỐ
Trường THPT Chuyên Lương văn Chánh  Gv Châu Chí Trung 
6 
Ý tưởng của phương pháp là dựa vào các điều kiện của bất phương trình hàm của đề bài để xây dựng 
bất đẳng thức  : 
( ) ( ) ( ) k k a g x f x a g x £ £  ,  f x D " Π và  1 k a khi k ® ® +¥ 
BÀI TOÁN 4 
Tìm tất cả các hàm [ ) [ ) : 1; 1; f +¥ ® +¥  thỏa mãn điều kiện : 
4.1) 
1 
( ) 2( 1) 
2 
x 
f x x 
+ 
£ £ +  với mọi x ³ 1 . 
4.2)  2 . ( 1) ( ) 1 x f x f x + = -  với mọi x ³ 1 . 
LỜI GIẢI: 
Thay x bởi x + 1 trong (4.1) , ta có  : 
2 
( 1) 2( 2) 
2 
x 
f x x 
+ 
£ + £ +  (4.3) 
Từ (4.2) ta được :  2 ( ) . ( 1) 1 f x x f x = + +  ,  1 x " ³ 
Nên  :  2 
1 
( 1) ( ) 2 ( 1) 
2 
xf x f x xf x + + < < + +  (4.4) 
Từ (4.3) và (4.4) ta có : [ ] [ ] 2 1 ( 2)  ( ) 2 1 ( 2) 
2 
x x 
f x x x 
+ + 
< < + + 
Hay : [ ] ( ) 
2 
2  2 ( 1) 
( ) 2 1 
2 
x 
f x x 
+ 
< < +  (4.5) 
Lấy căn bậc hai ở hai vế của (4.5) ta có : 
1 
( 1) ( ) 2( 1) 
2 
x f x x + < < +  (4.6) 
Áp dụng (4.6) và cách lập luận trên k lần , ta được : 
1/2 
1/2 
1 
( 1) ( ) 2 ( 1) 
2 
k 
k  x f x x + < < + 
Cho  k ® +¥  thì  1/2 2 1 
k 
®  nên ta được :  1 ( ) 1 ( ) 1 x f x x f x x + £ £ + Þ = +  ,  thử lại thỏa điều kiện bài 
toán. 
Vậy  ( ) 1 f x x = +  . 
BÀI TOÁN 5  (THTT/t6­95) 
Tìm các hàm số liên tục [ ] : 0,1 f R ®  thỏa mãn điều kiện : 
[ ] 2 ( ) 2 ( ) , 0,1 f x xf x x ³ " Π (5) 
LỜI GIẢI: 
Thay lần lượt  0 x =  ,  1 x =  vào (5) ta được :  (0) 0 f ³  và  (1) 2 (1) (1) 0 f f f ³ Û £  (5.1) 
Với 
1 
0 
2 
x < <  , sử dụng (5)  n lần ta được : 
2 2 3 4  2 1 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ... (2 ) ( ) 
n n n n f x xf x x f x x x f x - - ³ ³ ³ ³  ,  * n N " Π (5.2) 
Vì 
1 
0, 
2 
x æ ö Î ç ÷ 
è ø 
và f liên tục nên  :  2 1 2 lim (2 ) . . ( ) (0) 
n 
n n n n x x f x f 
®+¥ 
- - é ù = ë û  = 0  (5.3) 
Từ (5.2) và (5.3) cho 
1 
( ) 0 , 0, 
2 
f x x é ö ³ " Î ÷ ê ë ø 
.  (5.4) 
Mặt khác, với ( ) 0,1 x Π thì từ (5)  ta có :
Trường THPT Chuyên Lương văn Chánh  Gv Châu Chí Trung 
7 
1 
2 
1 1 
2 
( ) 
( ) 2 ( ) ( ) ... 
2 
2 
n 
n  n 
f x 
f x 
f x x f x f x 
x 
x 
- 
æ ö 
ç ÷ ç ÷ 
è ø ³ Þ £ £ £  (5.5) 
Mà 
1 
2 
1 1 
2 
lim 0 
2 
n 
n 
n 
n 
f x 
x 
®+¥ - 
æ ö 
ç ÷ ç ÷ 
è ø =  nên từ (5.5) ta có  : ( ) ( ) 0 , 0,1 f x x £ " Π (5.6) 
Từ (5.4) và (5.6) cho ta : 
1 
( ) 0 , 0, 
2 
f x x é ö = " Î ÷ ê ë ø 
(5.7) 
Với mỗi 
1 
,1 
2 
x é ö Î ÷ ê ë ø 
, tồn tại  n N Π để  2 
1 
2 
n 
x <  thì  2 1 2 ( ) 2 . ( ) 0 
n n n f x x f x - ³ = 
Do đó 
1 
( ) 0 , ,1 
2 
f x x é ö ³ " Î ÷ ê ë ø 
(5.8) 
Theo (5.6) và (5.8) ta được 
1 
( ) 0 , ,1 
2 
f x x é ö = " Î ÷ ê ë ø 
(5.9) 
Tóm lại  :  ( ) 0 , [0,1) f x x = " Π
Vì hàm f liên tục trên [ ] 0.1  nên ta có được :  ( ) 0 , [0,1] f x x = " Π ,Thử lại thỏa điều kiện bài toán  . 
Vậy ta được :  ( ) 0 , [0,1] f x x = " Π
BÀI TOÁN 6 :    Cho hàm số [ ] : 0,1 f R ®  thỏa điều kiện : 
6.1) [ ] ( ) ( ) ( ) ; , , 0,1 f x y f x f y x y x y + ³ + " + Π
6.2) [ ] ( ) 0, 0,1 f x x ³ " Π
6.3)  (1) 1 f = 
Chứng minh [ ] ( ) 2 ; 0,1 f x x x £ " Π
LỜI GIẢI 
1)Chứng minh  * ; 
2 
1 
2 
1 
N n f 
n n 
Î " £ ÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ  bằng quy nạp. 
2) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ); , , 0,1 f x y f x f y f x x y x y + ³ + ³ " + Π ; suy ra  f  không giảm trên [ ] 0,1 
3) [ ] 0,1 x " Π , chọn  1 2 2  1 
1 1 1 1 1 
log , log 1 2 2 
2 2 
k k 
k k 
k k k x 
x x x 
+ 
+ 
é ù = £ < + Û £ < Û < £ ê ú ë û 
Mà  f  không giảm nên :  1 
1 1 
( ) 2. 2 
2 2 k k 
f x f x + 
æ ö £ = < ç ÷ 
è ø 
. 
BÀI TOÁN 7  ( Bulgaria  1998) 
Chứng minh rằng không tồn tại hàm số  : f R R + + ®  thỏa điều kiện : 
[ ] 2 ( ) ( ). ( ) f x f x y f x y ³ + +  ,  với mọi x , y > 0 .                  (7) 
LỜI GIẢI : 
Giả sử tồn tại hàm số f(x) > 0 thỏa điều kiện bài toán . 
Từ bất đẳng thức đã cho ta có : 
2 ( ) ( ). ( ) . ( ) f x f x f x y y f x y - + ³ +
Trường THPT Chuyên Lương văn Chánh  Gv Châu Chí Trung 
8 
Suy ra : 
. ( ) 
( ) ( ) 0 ( ) ( ) 
( ) 
y f x y 
f x f x y f x f x y 
f x 
+ 
- + ³ > Þ > +  , với mọi x, y > 0 . 
Điều trên chứng tỏ  f(x) là hàm giảm trên R +  . 
Cũng từ (7)  cho ta  : 
[ ] 2 ( ) . ( ) ( ). ( ) . ( ) f x y f x f x y f x y y f x + ³ + + + 
Hay : [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) f x f x y f x y f x y y f x + - + + ³ 
Suy ra : 
. ( ) 
( ) ( ) 
( ) 
y f x 
f x f x y 
f x y 
- + ³ 
+ 
, với mọi x, y > 0 .                            (7.1) 
Trong (7.1)  lần lượt thay x bởi 
i 
x 
n 
æ ö + ç ÷ 
è ø 
và y bởi 
1 
n 
với  0 , i n =  , n Î N * . 
Ta có : 
1 
( ) 1 1 
( ) 
1  2 ( ) 
i 
f x i i  n n f x f x 
i n n n f x 
n n 
+ + æ ö + - + ³ > ç ÷ 
è ø + + 
với  0 , i n =  , n Î N * . 
Cho i nhận lần lượt các giá trị  0 , 1, 2, n  và cộng n bất đẳng thức có được , ta có : 
1 
( ) ( 1) 
2 
f x f x - + ³  .                                                                    (7.2) 
Thay x bởi  x j +  với  0 , j m =  với m Î N *  vào (5.2) và cộng vế theo vế : 
Ta được :  ( ) ( ) 
2 
m 
f x f x m - + >  , với m Î N * . 
Û  ( ) ( ) 
2 
m 
f x m f x + < -  , với m ΠN *  .                                    (7.3) 
Theo trên ta có  f(x) là hàm giảm nên khi cố định x và cho m đủ lớn thì  ( ) 0 f x m + <  . 
Điều tìm được ở (7.3)  không thỏa với giả thiết bài toán . 
Vậy hàm  f  ở đề bài không tồn tại. 
· Với bài toán 6, để chứng minh không tồn tại hàm số  f  ta  chứng tỏ rằng  : có những giá trị  y R + Π
nhưng  ( ) f y R + Ï  và điều này trái với giả thiết bài toán. 
BÀI TOÁN 8 
Cho số a > 1 và hàm số  : f R R ®  thỏa mãn  điều kiện: 
[ ]  * 
1 
1 ( ) ( ) 1 , và , 
n 
k 
k 
a f x ky f x ky n N x y R 
= 
- £ + - - £ Î Î å  (8) 
Xác định  f(x). 
LỜI GIẢI: 
Từ (1) ta có : [ ] 
1 
1 
1 ( ) ( ) 1 
n 
k 
k 
a f x ky f x ky 
- 
= 
- £ + - - £ å 
Hay  : [ ] 
1 
1 
1 ( ) ( ) 1 
n 
k 
k 
a f x ky f x ky 
- 
= 
- £ - - + £ å  (8.1) 
Cộng (8) với (8.1)  và thu gọn ta được : 
[ ] 2 ( ) ( ) 2 n a f x ny f x ny - £ + - - £ 
* 2 ( ) ( ) , và , 
n 
f x ny f x ny n N x y R 
a 
Û + - - £ ΠΠ (8.2) 
Đặt  và 
2 2 
u v u v 
x y 
n 
+ - 
= =  khi đó  (1.2) trở thành : 
2 
( ) ( ) 
n 
f u f v 
a 
- £
Trường THPT Chuyên Lương văn Chánh  Gv Châu Chí Trung 
9 
Mà ta có 
2 
0 khi 
n 
n 
a 
® ® +¥  nên  ( ) ( ) f u f v =  với mọi u , v . 
Do đó  ( ) c f x =  ( hằng số ) , thử lại điều kiện bài toán thỏa mãn. 
Vậy ta có :  ( ) c f x =  ( c hằng số ) 
3 – TÌM HÀM SỐ BẰNG CÁCH SỬ DỤNG PHÉP THAY CÁC GIÁ TRỊ ĐẶC BIỆT 
Ta thường gặp một số bài toán về phương trình và bất phương trình hàm được giải theo kỷ thuật 
là đổi biến hoặc đặt hàm phụ để qui về các phương trình và bất phương trình hàm Cauchy  quen 
thuộc . Phần này cũng nhắc lại kỷ thuật thường dùng đó để tìm cách xây dựng bất đẳng thức để xác 
định nghiệm của bài toán. 
BÀI TOÁN 9  ( APMO  94) 
Tìm tất cả hàm số  : f R R ®  thỏa mãn đồng thời các điều kiện : 
9.1)  ( 1) 1 ; (1) 1 f f - = - = 
9.2) ( ) ( ) (0) , 0;1 f x f x £ " Π
9.3)  ( ) ( ) ( ) , , f x y f x f y x y R + ³ + " Π
9.4)  ( ) ( ) ( ) 1 , , f x y f x f y x y R + £ + + " Π
LỜI GIẢI 
Thay y = 1 vào (9.3) và theo (9.1) ta có :  ( 1) ( ) (1) ( ) 1, f x f x f f x x R + ³ + = + " Π
Thay x và y  bởi  1 x +  và  1 -  vào (9.3) và theo (9.1) ta có 
( ) ( 1) ( 1) ( 1) 1, f x f x f f x x R ³ + + - = + - " Π
Suy ra :  ( 1) ( ) 1 f x f x + = +  (9.5) 
Từ (9.5) suy được  : 1 (1) (0 1) (0) 1 (0) 0 f f f f = = + = + Þ = 
Từ (9.2) suy ra : ( ) ( ) (0) 0 , 0;1 f x f x £ = " Π
Mà theo (8.4) ta lại có : 1 (1) ( 1 ) ( ) (1 ) 1 f f x x f x f x = = + - £ + - + 
Suy ra :  ( ) (1 ) 0 f x f x + - ³ 
Nhưng với  0 1 x < <  thì  0 1 1 x < - <  nên ta được :  ( ) (1 ) 0 f x f x = - = 
Như vậy :  ( ) 0 f x =  khi  0 1 x £ <  và  ( 1) ( ) 1 f x f x + = + 
Vậy ta có [ ] ( ) f x x =  , ( ) 0,1 x " Π
BÀI TOÁN 10 
Tìm tất cả hàm số  : f R R ®  thỏa mãn điều kiện : 
( ) ( ) ( ) 3 ( 2 3 ) f x y f y z f z x f x y z + + + + + ³ + +  ,  , , x y z R " Π (10) 
LỜI GIẢI 
Đặt  ( ) ( ) (0) g x f x f = - 
(10) trở thành  : 
( ) ( ) ( ) 3 ( 2 3 ) , , , 
(0) 0 
g x y g y z g z x g x y z x y z R 
g 
+ + + + + ³ + + " Î ì 
í = î 
Cho y = z = 0 thì :  2 ( ) 3 ( ) ( ) 0 g x g x g x ³ Û £ 
Cho z = – y  thì :  ( ) 2 ( ) g x y g x y + ³ - 
Cho x = y vào trên thì  (2 ) 2 (0) 0 ( ) 0 g x g g x ³ = Û ³
Trường THPT Chuyên Lương văn Chánh  Gv Châu Chí Trung 
10 
Từ trên ta có được  :  ( ) 0 , g x x R = " Π
Vậy hàm số tìm được :  ( ) (0) ( ) f x f f x a = Û =  , "x Î R. 
BÀI TOÁN 11  (Flander – 99) 
Tìm các hàm  , : f g R R ®  thỏa mãn  : 
2 ( ) ( ) ( ) , (11.1) 
( ). ( ) 1 (11.2) 
f x g x f y y x y R 
f x g x x x R 
- = - " Î ì 
í ³ + " Î î 
LỜI GIẢI 
Trong (11.1) , cho x = y thì có  ( ) ( ) g x f x x = +  (11.3) 
Khi đó (11.1) trở thành :  ( ) ( ) , , f x x f y y x y R - = - " Π (11.4) 
Trong (11.2)  cho y = 0 ta được :  ( ) (0) f x x f x a = + = +  với  a = f(0). 
Từ đó ta cũng suy được :  ( ) 2 g x x a = +  . 
Ta phải xác định a . 
Thế  ( ) và ( ) 2 f x x a g x x a = + = +  vào (b) ta được :  ( )(2 ) 1 , x a x a x x R + + ³ + " Î 
Û  2 2 2 (3 1) 1 0 , x a x a x R + - + - ³ " Π
Ta phải có  2 ( 3) 0 a - £ Û  a = 3 . 
Vậy các hàm tìm được là :  ( ) 3 và ( ) 2 3 f x x g x x = + = + 
Thử lại các điều kiện bài toán thỏa mãn. 
BÀI TOÁN 12  (South Korea) 
Cho hàm số  R f ® + Q :  và thỏa điều kiện: 
( ) ( ) ; , 
m 
f m n f m m n Q 
n 
+ + - £ " Π . 
Chứng minh rằng :  * 
1 
( 1) 
(2 ) (2 ) ; 
2 
k 
k i 
i 
k k 
f f k N 
= 
- 
- £ " Î å  (12) 
LỜI GIẢI: 
Trong (11) thay  2 i m n = = 
Ta được ( ) ( ) 1 2 2 2 (2 ) 2 (2 ) 1 
2 
i 
i i i i i 
i 
f f f f + + - £ Þ - £ 
Ta lại có  1 , i k " =  thì 
( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 (2 ) 2 (2 ) 2 (2 ) ... 2 (2 ) k i k k k k k i i f f f f f f f f k i - - - + - - £ - + - + + - £ - 
Do đó 
1 
1 1 0 
( 1) 
(2 ) (2 ) ( ) 
2 
k k k 
k i 
i i 
k k 
f f k i i 
- 
= = 
- 
- £ - = = å å å 
4.  SỬ DỤNG GIỚI HẠN DÃY SỐ 
BÀI TOÁN 13 
Cho hàm số f xác định trên tập số thực R thỏa mãn điều kiện : 
9 4 
3 ( ) 3 ( ) 1 
4 3 
f x f x f x æ ö - - ³ ç ÷ 
è ø 
với mọi  x R Π (13) 
Tìm số thực a lớn nhất để có :  ( ) f x a ³  với mọi  x R Π .
Trường THPT Chuyên Lương văn Chánh  Gv Châu Chí Trung 
11 
LỜI GIẢI: 
Giả sử tồn tại  số a thỏa mãn điều kiện bài toán , xét hàm hằng  ( ) f x k =  ,  x R Π . 
Thay vào (13) : 
9 4 
3 3 1 
4 3 
k k k k - - = Û = 
Vì hàm hằng 
4 
( ) 
3 
f x =  thỏa mãn (1) nên ta có 
4 
3 
a ³  . 
Ta sẽ chứng tỏ rằng : mọi hàm f(x)  xác định trên R thỏa mãn (1) thì  luôn luôn thỏa : 
4 
( ) 
3 
f x ³  . 
Trước hết , từ (13) ta có : 
9 4 
3 ( ) 1 3 ( ) 
4 3 
f x f x f x æ ö ³ + - ç ÷ 
è ø 
(13.1) 
Bình phương  (8.1) suy ra : 
9 4 9 
1 2 3 ( ) ( ) 
4 3 4 
f x f x f x æ ö - ³ - ç ÷ 
è ø 
Þ 
4 4 
3 9 
f x æ ö ³ ç ÷ 
è ø 
Từ đó ta được : 
4 
( ) 
9 
f x ³ 
Bình phương (13.1) và rút gọn ta được : 
2 
4 4 64 
( ) 
3 9 27 
f x f x 
æ ö æ ö + ³ ç ÷ ç ÷ è ø è ø 
(13.2) 
Trong (13.3)  thay  x bởi 
3 
4 
x  , ta được : ( ) 
2 
4 64 3
( ) 
9 27 4 
f x f x æ ö + ³ ç ÷ 
è ø 
Suy ra : 
4 8 3 
( ) 3 
9 9 4 
f x f x æ ö ³ - + ç ÷ 
è ø 
với mọi  x R Π . 
Ta xây dựng dãy số ( ) n a  :  1 1 
4 4 8 
; 3 
9 9 9 n n 
a a a + = = - +  . 
Sử dụng qui nạp ta có  :  ( )  n f x a ³  với mọi  x R Π và 
* n N Π
Mặt khác dãy số ( ) n a  là dãy tăng và bị chặn trên nên có giới hạn 
Đặt  lim  n n 
a a 
®+¥ 
=  , ta tìm được 
4 
3 
a =  . 
Do đó  : 
4 
( ) 
3 
f x ³  với mọi  x R Π . 
Vậy  số thực a lớn nhất phải tìm là 
4 
3 
a =  . 
BÀI TOÁN 14  (Việt Nam 2003) 
Gọi F là tập hợp các hàm số  : f R R + + ®  thỏa mãn điều kiện : 
( ) (3 ) (2 ) , f x f f x x R + ³ " Π (14) 
Tìm số thực a  lớn nhất  để có mọi hàm  F f Π thì :  ( ) . f x x a ³ 
LỜI GIẢI 
Ta xét hàm số  ( ) 
2 
x 
f x =  thì có :  (2 ) f x x =  , 
3 
(3 ) 
2 
x 
f x =  , ( ) (2) ( ) 
2 
x 
f f f x = = 
Ta thấy  ( ) 
2 
x 
f x =  thỏa  điều kiện (14) nên  ( ) F 
2 
x 
f x = Π
Khi đó  ( ) . f x x a ³ Û  . 
2 
x 
x a ³  , suy ra  1 
2 
a £
Trường THPT Chuyên Lương văn Chánh  Gv Châu Chí Trung 
12 
Trong  (14) thay  x bởi 
3 
x 
thì có  ( ) (2. )
3 3 
x x 
f x f f æ ö ³ + ç ÷ 
è ø 
Mà  (2 ) 0 ( ) 
3 3 
x x 
f f f x æ ö > Þ ³ ç ÷ 
è ø 
Ta xây dựng dãy số ( ) n a  : 
2 
1 1 
2 1 1 
,
3 3 
n 
n 
a 
a a + 
+ 
= =  , 
Sử dụng qui nạp ta chứng minh  :  ( )  n f x a x ³  với mọi  x R Π và 
* n N Π
Từ (14) ta có ( )  2 2  1 (3 ) 2 (2 ) .2 (2 1) .3 k k k k f x f x x a f x x a x x a x a x + ³ + ³ + ³ + = + = 
Mặt khác dãy số ( ) n a  là dãy tăng và bị chặn trên nên có giới hạn 
Đặt  lim  n n 
a a 
®+¥ 
=  , ta tìm được 
1 
2 
a =  . 
Do đó ta được 
1 
( ) 
2 
f x x ³ 
Vây 
1 
2 
a =  là số phải tìm. . 
5  SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA  ĐẠO HÀM 
Áp dụng biểu thức định nghĩa đạo hàm của hàm số : 
0 
/ 0 
0 
( ) ( ) 
lim ( ) 
x x 
f x f x 
f x 
x x ® 
- 
= 
- 
BÀI TOÁN 15 
Tìm tất cả hàm số  : f R R ®  thỏa mãn đồng thời các điều kiện : 
0 
15.1) ( ) ( ) ( ) , , 
( ) 
15.2) lim ( 0) , 
x 
f x y f x f y x y R 
f x 
a a x R 
x ® 
+ £ + " Î 
= ¹ Π
LỜI GIẢI: 
Từ điều kiện (15.1) ta có : 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x h f x f x f h f x f h + - £ + - =  với x , h ÎR . 
Và [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x h h f x h f h = + + - £ + + -  với x , h ÎR . 
Từ đó ta được :  ( ) ( ) ( ) ( ) f h f x h f x f h - - £ + - £ 
Xét hai trường hợp : 
Nếu  h > 0 thì : 
( ) ( ) ( ) ( ) f h f x h f x f h 
h h h 
- + - 
£ £ 
- 
Nên 
0 
( ) ( ) 
lim 
h 
f x h f h 
a 
h + ® 
+ - 
=  theo ( 15.2) 
0 
( ) 
lim ( 0) 
x 
f x 
a a 
x ® 
= ¹ 
Nếu  h < 0 thì : 
( ) ( ) ( ) ( ) f h f x h f x f h 
h h h 
- + - 
³ ³ 
- 
Nên cũng có 
0 
( ) ( ) 
lim 
h 
f x h f h 
a 
h - ® 
+ - 
= 
Như vậy : f(x) tồn tại đạo hàm  / ( ) f x a = 
Ta được hàm  :  ( ) f x ax b = +  ( a, b hằng số ) 
BÀI TOÁN 16 
Tìm hàm số  : f R R ®  thỏa mãn  điều kiện sau : 
2 
( ) ( ) , , , à 3 k f x f y x y x y R k N v k - £ - " Î Î ³  (16)
Trường THPT Chuyên Lương văn Chánh  Gv Châu Chí Trung 
13 
LỜI GIẢI 
Cố định y , với  , x R x y Î ¹  , từ (15) ta được : 
2 
2 ( ) ( )  k f x f y 
x y 
x y 
- - £ - 
- 
Þ  2 
( ) ( ) 
0 
k f x f y 
x y 
x y 
- - £ £ - 
- 
Vì 
2 
lim 0, và 3 
x y 
k 
x y k N k 
® 
- - = Î ³  nên  / 
( ) ( ) 
lim 0 ( ) 0 , 
x y 
f x f y 
f y y R 
x y ® 
- 
= Þ = " Î 
- 
Ta được :  ( ) c, x R f x = " Π ( c hằng số ) , thử lại thấy đúng. 
BÀI TOÁN 17 
Cho hàm số  : f R R ®  thỏa mãn : 
( ) 2 ( ) ( ) f x f q m x q - £ -  ,  * , và m N q Z x R Î " Î " Π (17) 
Chứng tỏ f là hàm hằng 
LỜI GIẢI 
0 0 , và x x R x x " Î ¹  , chọn số hữu tỷ q  nằm giữa hai số đó thì : 
0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f x f q f q f x - = - + - 
2 2 2 
0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) f x f q f q f x m x q m q x m x x £ - + - £ - + - £ -  (17.1) 
Khi ta cho  0 x x ®  thì  0 ( ) ( ) 0 f x f x - ®  , do đó  f liên tục trên R . 
Từ (17.1) ta có được :  0  0 
0 
( ) ( ) 
2 
f x f x 
m x x 
x x 
- 
£ - 
- 
Suy ra : khi  0 x x ®  thì 
0 
0 
( ) ( ) 
0 
f x f x 
x x 
- 
® 
- 
hay  /  0 0 ( ) 0 , f x x = " 
Do f liên tục và  /  0 0 ( ) 0 , f x x = "  nên  ( ) f x C =  ( hàm hằng ). 
BÀI TOÁN 18 
Tìm các hàm số  , : f g R R ®  thoả mãn điều kiện 
2 
( ) ( ) ( )( ) ; , 
a 
f y f x g x x y M x y x y R 
+ 
- - - £ - " Π và  M , a  là các số dương.  (18) 
LỜI GIẢI 
Giả sử có các hàm số  , : f g R R ®  thoả điều kiện. 
Trong (18) , thay đổi vai trò của  y x,  ta có: 
2 
( ) ( ) ( )( ) ; , 
a 
f x f y g y y x M y x x y R 
+ 
- - - £ - " Π .  (18.1) 
Từ  (18) và (18.1), ta có  : 
[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) g x g y x y f y f x g x x y f x f y g y y x - - £ - - - + - - - 
Hay 
2 
[ ( ) ( )]( ) 2 ; , 
a 
g x g y x y M x y x y R + - - £ - " Π (18.2) 
Từ đó ta được :  y x R y x y x M 
y x 
y g x g  a ¹ Î " - £ 
- 
- 
, , ; 2 
) ( ) ( 
. 
Cố định  cho x y x ®  , ta có  / ( ) 0; suy ra ( ) (const); g x x R g x c x R = " Î = " Π
Thay  c x g = ) (  vào (14) và làm tương tự như trên, ta có: 
y x R y x y x M c 
y x 
y f x f  a ¹ Î " - £ - 
- 
- 
, , ; 2 
) ( ) ( 
và  d cx x f c x f + = Þ =  ) ( ) ( '  .
Trường THPT Chuyên Lương văn Chánh  Gv Châu Chí Trung 
14 
Thử lại  d cx x f c x g + = =  ) ( ; ) (  thấy đúng. 
BÀI TẬP 
1.Tìm hàm số  * * : f N N ®  thỏa mãn các điều kiện  : 
[ ] 
* 
* 
1) (1) 1 
2) (2 ) 6 ( ) 
3) 3 ( ). (2 1) (2 ). 3 ( ) 1 
f 
f n f n n N 
f n f n f n f n n N 
= 
< " Î 
+ = + " Π
2.Cho hàm số  * * : f N N ®  thỏa mãn các điều kiện  : 
( ) 
* 
* 
1) ( 1) ( ) 
2) ( ) 3 
f n f n n N 
f f n n n N 
+ > " Î 
= " Π
Tìm giá trị  (2001) f 
3.  Cho hàm số  : f R R ®  liên tục và thỏa mãn điều kiện : 
( ) ( ) ( ) , , f x a f x f x b x y R + £ £ + " Π và a, b hằng số . 
a)Cho  2 a =  và b = 1 . Chứng minh rằng f là hàm hằng . 
b)Tìm điều kiện chung của a , b để f thỏa điều kiện bài toán là hàm hằng. 
4.  Chứng minh rằng không tồn tại hàm số  : f R R ®  thỏa mãn bất phương trình : 
2 ( ) ( ) ( ) , , f x y x f x x y R ³ - " Π
5.  Tìm  , : f g R R ®  thỏa mãn : 
2 ( ) ( ) ( ) (1) 
( ). ( ) 1 (2) 
f x