Toán học -Chuyên đề 1: Các dạng toán về chữ số và số

 chuyªn ®Ò 1: c¸c d¹ng to¸n vÒ ch÷ sè vµ sè
Thay ®æi ch÷ sè cña mét sè
D¹ng 1: Thay ®æi ch÷ sè cña mét sè
a)Ph­¬ng ph¸p chung: Th«ng th­êng d¹ng to¸n cã c¸ch gi¶i sau:
 *C¸ch 1: Dïng ph©n tÝch sè ®Ó biÕn ®æi quan hÖ trong bµi to¸n vÒ c¸c ®¼ng thøc ®Ó gi¶i
 *C¸ch 2: §­a bµi to¸n vÒ bµi to¸n ®iÒn ch÷ sè.
 *C¸ch 3: ®­a bµi to¸n vÒ c¸c d¹ng to¸n ®iÓn h×nh.
b) VÝ dô minh häa:
+Bµi to¸n 1: Cho mét sè cã 3 ch÷ sè trong ®ã ch÷ sè hµng ®¬n vÞ lµ 8. NÕu chuyÓn ch÷ sè 8 lªn ®Çu th× ta ®­îc mét sè míi cã 3 ch÷ sè, sè míi ®em chia cho sè ban ®Çu ®­îc th­¬ng lµ 5 d­ 25. T×m sè ®ã.
Gi¶i: Gäi sè cÇn t×m lµ ab8 th× sè míi lµ 8ab. Theo ®Ò bµi ta cã: 8ab = ab8 x 5 + 25
 Hay : 800 + ab = ( ab x 10 + 8 ) x5 + 25 => 800 + ab = ab x 50 + 40 + 25
 800 + ab = ab x 50 + 65 => ab x 49 = 800 – 65 => ab x 49 = 735
 ab = 735 : 49 => ab = 15. VËy sè cÇn t×m lµ: 158
 Thö l¹i: 815 : 158 = 5 ( d­ 25 )
+ Bµi to¸n 2: Cho mét sè cã 3 ch÷ sè trong ®ã ch÷ sè hµng tr¨m lµ 5. NÕu chuyÓn sè 5 ra ®»ng sau sè ®ã th× ®­îc sè míi cã 3 ch÷ sè kÐm sè ban ®Çu 324 ®¬n vÞ.
Gi¶i: Gäi sè cÇn t×m lµ 5ab th× sè míi lµ ab5. Theo ®Ò bµi ta cã: 5ab – ab5 = 324
 Hay: 500 + ab – ( ab x 10 + 5) = 324 => 500 + ab – ab x 10 – 5 = 324
 ab x 9 = 171 => ab = 171 : 9 => ab = 19 . VËy sè cÇn t×m lµ 519.
c) C¸c bµi to¸n:
1- T×m sè cã 4 ch÷ sè mµ ch÷ sè tËn cïng lµ 5. NÕu chuyÓn sè 5 nµy lªn ®Çu ta ®­îc sè míi kÐm sè ®ã 531 ®¬n vÞ.
2- T×m sè cã hai ch÷ sè, biÕt r»ng nÕu ta ®æi chç hai ch÷ sè cña chóng cho nhau th× ta ®­îc mét sè míi kÐm sè ban ®Çu 45 ®¬n vÞ.
3- H·y t×m mét sè tù nhiªn cã 2 ch÷ sè sao cho khi ®æi vÞ trÝ cña hai ch÷ sè råi viÕt thªm ch÷ sè 0 vµo bªn ph¶i cña hai ch÷ sè th× ®­îc sè míi gÊp 45 lÇn sè ph¶i t×m.
4- T×m sè cã 3 ch÷ sè, biÕt r»ng nÕu chuyÓn ch÷ sè 7 ë hµng ®¬n vÞ cña sè ®ã lªn ®Çu th× ®­îc mét sè míi gÊp 2 lÇn sè cò vµ thªm 21 ®¬n vÞ.
5- T×m sè cã hai ch÷ sè biÕt r»ng tæng c¸c ch÷ sè cña sè ®o b»ng 9 vµ nªu ®æi chç c¸c hai ch÷ sè cña sè ®ã cho nhau ta ®­îc sè míi h¬n sè cò 45 ®¬n vÞ.
6- T×m sè cã hai ch÷ sè biÕt r»ng tæng c¸c ch÷ sè cña sè ®ã b»ng 15 vµ nÕu ®æi chç hai ch÷ sè cña sè ®o cho nhau ta ®­îc hai sè míi cã hiÖu lµ 9 ®¬n vÞ.
7- T×m sè thËp ph©n abc,de1 biÕt abc,de1 : 0,3 = 1abc,de
II- D¹ng 2: Thªm, bít ch÷ sè cña mét sè
a) Ph­¬ng ph¸p chung: 
*C¸ch 1: §­a bµi to¸n vÒ d¹ng to¸n ®iÓn h×nh ®Ó gi¶i.
*C¸ch 2: Dïng ph©n tÝch sè ®Ó biÕn ®æi mèi quan hÖ trong bµi to¸n vÒ ®¼ng thøc ®¬n gi¶n ®Ó gi¶i (th­êng chØ ®èi víi bµi to¸n cho biÕt sè cÇn t×m cã sè l­îng ch÷ sè cô thÓ).
b) VÝ dô:
+ Bµi to¸n 1: T×m mét sè cã 2 ch÷ sè, biÕt r»ng nÕu viÕt thªm ch÷ sè 3 vµo bªn tr¸i sè ®ã ta ®­îc sè míi ( cã 3 ch÷ sè ) b»ng 5 lÇn sè ph¶i t×m.
.C¸ch 1: Gia sö sè cÇn t×m lµ ab ( a # 0). Khi viÕt thªm ch÷ sè 3 vµo bªn tr¸i sè ab th× ta ®­îc mét sè míi 3ab. Ta cã 3ab – ab = 300
Theo ®Ò bµi nÕu biÓu diÔn sè cÇn t×m lµ 1 ®o¹n th¼ng th× sè míi lµ 5 ®o¹n th¼ng nh­ thÕ.
Sè cÇn t×m lµ: 300 : ( 5 – 1 ) = 75.
. C¸ch 2: Sö dông ph©n tÝch cÊu t¹o sè.
+ Bµi to¸n 2: T×m mét sè cã 3 ch÷ sè cã ch÷ sè hµng ®¬n vÞ lµ 3. NÕu xãa ch÷ sè 3 ®ã ta ®­îc mét sè míi kÐm sè ph¶i t×m lµ 408 ®¬n vÞ.
. GV gi¶i t­¬ng tù bµi to¸n 1.
Sè cÇn t×m lµ 45.
c) C¸c bµi tËp:
1- T×m sè cã 3 ch÷ sè biÕt r»ng nÕu viÕt thªm ch÷ sè 2 vµo bªn tr¸i sè ®ã th× ta ®­îc mét sè míi b»ng 17 lÇn sè ph¶i t×m.
2- T×m mét sè biÕt r»ng nÕu viÕt thªm ch÷ sè 0 vµo bªn ph¶i sè ®ã th× ta ®­îc mét sè míi lín h¬n sè ph¶i t×m lµ 18 036 ®¬n vÞ.
3- T×m mét sè biÕt r»ng nÕu viÕt thªm sè 97 vµo bªn ph¶i sè ®ã th× ta ®­îc mét sè míi lín h¬n sè ph¶i t×m lµ 1 978 ®¬n vÞ.
4- T×m mét sè cã 3 ch÷ sè trong ®ã ch÷ sè hµng tr¨m lµ 5 vµ nÕu xãa ch÷ sè nµy th× sè ®ã gi¶m ®i 26 lÇn.
5- T×m mét sè cã 3 ch÷ sè biÕt r»ng nÕu xãa ®i mét ch÷ sè ë hµng ®¬n vÞ cña sè ®ã th× ta ®­îc sè míi nhá h¬n sè ban ®Çu lµ: a) 252 ®¬n vÞ. b) 142 ®¬n vÞ.
6- Cho mét sè cã hai ch÷ sè, nªu viÕt thªm mét ch÷ sè a vµo ®»ng tr­íc sè ®ã ta ®­îc sè míi gÊp 3 lÇn sè ®· cho. T×m sè ®ã vµ ch÷ sè a.
7- T×m sè tù nhiªn biÕt r»ng nÕu viÕt thªm ch÷ sè 0 vµo gi÷a ch÷ sè hµng chôc vµ hµng ®¬n vÞ cña sè ®ã th× ta ®­îc mét sè gÊp 7 lÇn sè ®ã.
8- T×m mét sè tù nhiªn biÕt r»ng khi viÕt xen vµo gi÷a hai ch÷ sè cña nã chÝnh sè ®ã th× sè ®ã ®­îc t¨ng thªm 1180 ®¬n vÞ.
9- NÕu xen vµo gi÷a c¸c ch÷ sè cña mét sè cã 2 ch÷ sè chÝnh sè ®ã th× ta ®­îc mét sè míi cã 4 ch÷ sè vµ gÊp 99 lÇn sè ban ®Çu. T×m sè ®ã.
10- T×m sè cã 3 ch÷ sè biÕt r»ng khi viÕt thªm ch÷ sè 1 vµo bªn ph¶i sè ®ã th× ta ®­îc mét sè gÊp 3 lÇn sè cã ®­îc b»ng c¸ch viÕt thªm ch÷ sè 2 vµo bªn tr¸i sè ®ã.
B- T×m sè theo diÒu kiÖn cho tr­íc vÒ ch÷ sè.
I- D¹ng 1: VËn dông cÊu t¹o sè.
a) Ph­¬ng ph¸p gi¶i:
 - DiÔn t¶ sè cÇn t×m qua c¸c kÝ hiÖu kÌm theo c¸c ®iÒu kiÖn rµng buéc cña c¸c kÝ hiÖu ®ã.
 - DiÔn t¶ mèi quan hÖ trong bµi to¸n b»ng c¸c ®¼ng thøc to¸n.
 - BiÕn ®æi c¸c ®¼ng thøc ®· lËp ®­îc vÒ c¸c ®¼ng thøc ®¬n gi¶n h¬n.
 - Dïng ph­¬ng ph¸p lùa chän.
 - Thö l¹i ®Ó x¸c ®Þnh sè cÇn t×m.
b) VÝ dô:
 +Bµi to¸n 1: T×m sè cã hai ch÷ sè biÕt r»ng sè ®ã gÊp 14 lÇn ch÷ sè hµng chôc cña nã.
 Gi¶i: Gäi sè cÇn t×m lµ ab ( 1 < = a< 10 ; 0 <=b < 10)
 Theo ®Ò bµi ta cã: ab = a x 14, hay: a x 10 + b = a x 14 => a x 10 + b = a x 4 + a x 10
 b = a x 4. Do 0 < = b < 10 nªn a chØ cã thÓ lÊy c¸c gi¸ trÞ: 1 ; 2.
a
b = a x 4
Sè cÇn t×m
1
2
4
8
14
28
Thö l¹i: 14 = 1 x 14 ( ®óng)
 28 = 2 x 14 ( ®óng)
+Bµi to¸n 2: T×m sè tù nhiªn kh¸c 0, biÕt r»ng sè ®ã gÊp 21 lÇn ch÷ sè hµng ®¬n vÞ cña nã.
Gi¶i: Gäi sè cÇn t×m lµ Ab, víi A lµ chØ sè chôc vµ b lµ ch÷ sè hµng ®¬n vÞ ( 0 < b < 10 )
 Theo ®Ò bµi ta cã: Ab = b x 21. Hay: A x 10 + b = b x 21 => A x 10 + b = b x 20 + b
 A x 10 = b x 20 => A x 10 = b x 2 x 10 => A = b x 2
Ta cã :
b
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Sè cÇn t×m
21
42
63
84
105
126
147
168
189
Thö l¹i: Ta thÊy c¸c sè võa t×m ®­îc ®Òu tháa m·n ®Ò bµi.
II- D¹ng 2: Dïng ph­¬ng ph¸p lùa chän.
VÝ dô:
+ Bµi to¸n 1: T×m sè cã hai ch÷ sè biÕt tæng c¸c ch÷ sè cña sè ®ã b»ng 9 vµ tÝch c¸c ch÷ sè cña sè ®ã b»ng 18.
Gi¶i: Gäi sè cÇn t×m lµ ab ( a # 0. Theo ®Ò bµi ta cã: a + b = 9 vµ a x b = 18.
 C¸c sè mµ tæng c¸c ch÷ sè b»ng 9 lµ: 18; 27; 36; 45; 54; 63; 72; 81; 90.
Trong c¸c sè ®ã ta chØ thÊy cã 36 vµ 63 lµ phï hîp ®iÒu kiÖn: tÝch c¸c ch÷ sè b»ng 18 ( 3 x 6 = 18). VËy sè cÇn t×m lµ: 36; 63.
( Ta còng cã thÓ lËp b¶ng ®Ó thö chän)
+ Bµi to¸n 2: T×m sè cã 2 ch÷ sè mµ ch÷ sè hµng chôc lín h¬n ch÷ sè hµng ®¬n vÞ vµ nÕu ®em sè ®ã trõ ®i 5 th× ®­îc sè cã 2 ch÷ sè gièng nhau.
Gi¶i: C¸c sè cã hai ch÷ sè mµ 2 ch÷ sè gièng nhau lµ: 11; 22; 33; 44; 55; 66; 77; 88; 99. Theo ®Ò bµi ta cã: ( Sè cÇn t×m ) – 5 = aa. Hay ( Sè cÇn t×m) = aa + 5
aa
11
22
33
44
55
66
77
88
99
Sè cÇn t×m
16
27
38
49
60
71
82
93
104
KÕt qu¶
Lo¹i
Lo¹i
Lo¹i
Lo¹i
NhËn
NhËn
NhËn
NhËn
Lo¹i
Sè cÇn t×m lµ : 60; 71; 82; 93.
III- D¹ng 3: §­a vÒ bµi to¸n ®iÒn ch÷ sè.
VÝ dô: T×m mét sè cã 5 ch÷ sè biÕt r»ng sè ®ã t¨ng lªn 9 lÇn nÕu viÕt 5 ch÷ sè cña sè ®ã theo thø tù ng­îc l¹i.
 Gi¶i: Gäi sè cÇn t×m lµ abcde ( a # 0). Theo ®Ò bµi ta cã: 
 abcde Ta thÊy a ph¶i nhá h¬n 2 ®Ó cho abcde x 9 th× ®­îc sè cã 5 ch÷ sè. Do a kh¸c 0 nªn a =1 
 x 9 ®Ó 9 x 9 cã tËn cïng lµ 1. Ta cã: 1bcd9 
 edcba x 9
 9dcb1
 - NÕu b = 1, ta cã : 11cd9 Ta thÊy d = 7 ®Ó cho 7 x 9 + ( nhí) cã tËn cïng lµ 1. Lóc ®ã dï c = 0
 x 9 th× 11079 x 9 kh¸c 97011, cßn c > hoÆc = 1 th× 11cd9 x 9 lµ sè cã
 9cd11 s¸u ch÷ sè. VËy b kh«ng thÓ lµ 1.
 - NÕu b = 0 ta cã: 10cd9
 x 9
 9cd01
 Ta thÊy d = 8 ®Ó cho 8 x 9 + 8( nhí) cã tËn cïng b»ng 0. VËy 100c89 x 9 = 98c01
 Hay: ( 10089 + c00) x 9 = 98001 + c00 => 10089 x 9 + c00 x 9 = 98001 + c00
 90801 + c00 x 8 = 98001 + c00 => 90801 + c00 x 8 = 90801 + 7200
 c00 x 8 = 7200 => c00 = 7200 : 8 => c00 = 900. Ta cã c = 9. VËy sè cÇn t×m lµ 10989.
C¸c bµi tËp øng dông
 1- T×m mét sè tù nhiªn biÕt r»ng sè ®ã gÊp 71 lÇn ch÷ sè hµng ®¬n vÞ cña nã.
 2- T×m sè tù nhiªn biÕt r»ng sè ®ã gÊp 51 lÇn ch÷ sè hµng chôc cña nã.
 3- T×m sè tù nhiªn cã hai ch÷ sè biÕt r»ng sè ®ã gÊp 9 lÇn tæng c¸c ch÷ sè cña nã.
 4- T×m sè cã hai ch÷ sè biÕt r»ng sè ®o b»ng 8 lÇn ch÷ sè hµng chôc céng víi 7 lÇn ch÷ sè hµng ®¬n vÞ.
 5- T×m sè cã hai ch÷ sè biÕt r»ng sè ®ã gÊp 12 lÇn hiÖu gi÷a c¸c ch÷ sè cña nã.
6- T×m sè tù nhiªn cã hai ch÷ sè biÕt r»ng tæng cña sè ®ã víi c¸c ch÷ sè cña nã lµ 103.
 7- T×m sè cã hai ch÷ sè biÕt r»ng tæng cña sè ®ã víi sè cã hai ch÷ sè nh­ thÕ nh­ng viÕt theo thø tù ng­îc l¹i lµ 187.
 8- T×m sè cã hai ch÷ sè biÕt r»ng tæng c¸c ch÷ sè cña sè ®ã b»ng sè lÎ nhá nhÊt cña hai ch÷ sè, cßn ch÷ sè hµng ®¬n vÞ th× lín h¬n ch÷ sè hµng chôc lµ 3 ®¬n vÞ.
 9- T×m sè cã bèn ch÷ sè biÕt r»ng tÝch cña hai ch÷ sè ngoµi cïng lµ 40, tÝch cña hai ch÷ sè ë gi÷a lµ 28, ch÷ sè hµng ngh×n nhá h¬n ch÷ sè hµng ®¬n vÞ, ch÷ sè hµng chôc nhá h¬n ch÷ sè hµng tr¨m.
 10- T×m sè lÎ cã ba ch÷ sè biÕt r»ng nÕu dem sè ®ã céng víi 631 th× ®­îc sè cã ba ch÷ sè gièng nhau.
11-T×m sè cã hai ch÷ sè biÕt r»ng tÝch c¸c ch÷ sè cña sè ®ã lµ 12, cßn tæng c¸c ch÷ sè cña sè ®ã lµ7
 12- T×m sè cã n¨m ch÷ sè biÕt r»ng sè gåm 5 ch÷ sè trªn viÕt theo thø tù ng­îc l¹i b»ng 4 lÇn sè ph¶i t×m.
C- C¸c bµi to¸n vÒ ch÷ sè tËn cïng.
 I- D¹ng 1: X¸c ®Þnh sè ch½n sè lÎ.
 *Ghi nhí: 1- Tæng c¸c sè ch½n lµ mét sè ch½n. Tæng c¸c sè lÎ lµ: Sè ch½n khi l­îng sè lÎ lµ sè ch½n. Lµ sè lÎ khi l­îng sè lÎ lµ sè lÎ. Tæng sè ch½n víi sè lÎ lµ sè lÎ.
 2- HiÖu cña hai sè lÎ lµ sè ch½n. HiÖu cña hai sè ch½n lµ sè ch½n. HiÖu SC – SL = SL.
 3- TÝch cña c¸c sè lÎ lµ sè lÎ. TÝch cã mét thõa s« lµ SC th× tÝch lµ SC.
 *VÝ dô: 1)Tæng cña 1997 sè tù nhiªn liªn tiÕp b¾t ®Çu tõ 1 lµ mét sè ch½n hay lÎ? ( kh«ng cÇn tÝnh tæng).
 Gi¶i: Tõ 1 ®Õn 1997 cã 1997 sè tù nhiªn liªn tiÕp, trong ®ã c¸c sè lÎ gåm: 1; 3; 5; 7; ; 1997 vµ c¸c sè ch½n gåm cã 2; 4; 6; 8; ; 1996.
 Sè l­îng sè lÎ lµ: (1997 – 1) : 2 + 1 = 999 ( sè). Sè l­îng sè ch½n lµ: (1996 – 2) : 2 + 1 = 998 ( sè)
 Ta cã: Tæng cña 999 sè lÎ lµ sè lÎ. Tæng cña 998 sè ch½n lµ sè ch½n. Tæng cña mét sè ch½n víi mét sè lÎ lµ mét sè lÎ. VËy tæng cña 1997 sè tù nhiªn liªn tiÕp b¾t ®Çu tõ 1 lµ mét sè lÎ.
 2) Kh«ng cÇn lµm tÝnh em h·y xem xÐt c¸c phÐp tÝnh sau ®óng hay sai? Gi¶i thÝch:
 a) 672 x 41 x 37 = 1 019 423 b) 1 472 + 6 210 + 532 + 946 = 9161 
Gi¶i: a) KÕt qu¶ lµ sai. V× cã mét thõa sè ch½n ( 672) nªn tÝch ph¶i lµ sè ch½n mµ 1 019 423 lµ sè lÎ.
 b) KÕt qu¶ sai. V× cã tæng c¸c sè ch½n lµ sè ch½n mµ 9 161 lµ sè lÎ.
II- D¹ng 2: X¸c ®Þnh mét ch÷ sè tËn cïng.
*Ghi nhí: 1- Ch÷ sè tËn cïng cña mét tæng b»ng ch÷ sè tËn cïng cña tæng c¸c ch÷ sè hµng ®¬n vÞ cña c¸c sè h¹ng trong tæng Êy.
 2- Ch÷ sè tËn cïng cña mét tÝch b»ng ch÷ sè tËn cïng cña tÝch c¸c ch÷ sè hµng ®¬n vÞ cña c¸c thõa sè trong tÝch Êy.
 3- .TÝch mét sè ch½n víi mét sè tËn cïng lµ 5 th× tËn cïng lµ 0.
 . TÝch mét sè lÎ víi mét sè tËn cïng lµ 5 th× tËn cïng lµ 5.
 . TÝch c¸c sè tËn cïng lµ 1 th× tËn cïng lµ 1, tËn cïng lµ 6 th× lµ 6.
 . TÝch a x a kh«ng thÓ tËn cïng b»ng 2; 3; 7; hoÆc 8.
*VÝ dô:
 1) T×m c¸c ch÷ sè tËn cïng cña tÝch sau: a) 1 x 3 x 5 x 7 x x 57 x 59.
 b) 2 x 12 x 22 x  x 82 x 92 . c) 39 x 49 x 59 x  x 1 979 x 1 989.
 Gi¶i: a) Trong phÐp nh©n cã chø thõa sè 5 nªn tÝch lµ mét sè chia hÕt cho 5, do ®ã ch÷ sè tËn cïng cña tÝch lµ 0 hoÆc 5. V× c¸c thõa sè lµ sè lÎ nªn tÝch lµ sè lÎ. VËy ch÷ sè tËn cïng cña tÝch lµ 5.
 b) TÝch gåm c¸c thõa sè tËn cïng lµ 2 nªn tÝch cã 10 thõa sè vµ ta cã:
 2 x 12 x 22 x 32 x 42 x 52 x 62 x 72 x 82 x 92.
 **6 x *  *6 x **4
 *  *6 x **4 = *  *4
Do tÝch cña hai sè tËn cïng b»ng 2 th× cã tËn cïng lµ 4; tÝch cña bèn sè tËn cïng b»ng 2 th× cã tËn cïng lµ 6; tÝch cña sè cã tËn cïng b»ng 6 víi sè cã tËn cïng lµ 4 th× cã tËn cïng lµ 4, nªn tÝch:
 2 x 12 x 22 x  x 82 x 92 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 4.
 c) Ta thÊy: 49 – 39 = 10; 59 – 49 = 10; 1989 – 1979 = 10. VËy qui luËt d·y sè c¸ch nhau 10 ®¬n vÞ. Ta cã tÝch gåm c¸c thõa sè cã hµng ®¬n vÞ lµ 9 tõ 39 ®Õn 1989.
 Sè l­îng thõa sè cña tÝch lµ: (1989 – 39) : 10 + 1 = 196 thõa sè.
 Do tÝch cña hai sè tËn cïng b»ng 9 th× cã tËn cïng lµ 1. 39 x 49 = 1911 nªn ta t¸ch c¸c thõa sè cña tÝch thµnh nhãm mçi nhãm cã hai thõa sè liÒn nhau råi thay thÕ 2 thõa sè b»ng tÝch riªng cña chóng ( cã tËn cïng lµ 1). Sè nhãm cã lµ: 196 : 2 = 98 (nhãm)
 TÝch cã thÓ viÕt: **1 x **1 x **1 x  x **1 = **1
 98 thõa sè
 V× tÝch c¸c sè cã tËn cïng lµ 1, nªn tÝch 39 x 49 x 59 x  x 1979 x 1989 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 1.
 2) H·y cho biÕt ch÷ sè tËn cïng cña kÕt qu¶ d·y tÝnh sau:
 a) 81 x 82 x 83 x 84 + 85 x 86 + 87 x 88 x 89 x 90 + 91 x 92 x 93
 b) 81 x 63 x 45 x 27 – 37 x 29 x 51 x 12.
 Gi ¶i: a) Ta thÊy : - Do 1 x 2 x 3 x 4 = 24 nªn 81 x 82 x 83 x 84 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 4.
 - Do 5 x 6 = 30 nªn 85 x 86 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 0.
 - Do 7 x 8 x 9 x 0 = 0 nªn 87 x 88 x 89 x 90 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 0.
 - Do 1 x 2 x 3 = 6 nªn 91 x 92 x 93 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 6.
 V× 4 + 0 + 0 + 6 = 10 nªn kÕt qu¶ d·y tÝnh cã ch÷ cã tËn cïng lµ 0.
 b) Ta thÊy: - Do 1 x 3 x 5 x 7 = 105 nªn 81 x 63 x 45 x 27 cã sè tËn cïng lµ 5.
 - Do 7 x 9 x 1 x 2 = 126 nªn 37 x 29 x 51 x 12 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 6.
 VËy : 81 x 63 x 45 x 27 – 37 x 29 x 51 x 12 = **5 - *...*6 = **9. D·y sè cã tËn cïng lµ 9.
 * C¸c bµi tËp luyÖn tËp:
 1- Kh«ng cÇn tÝnh kÕt qu¶ h·y kiÓm tra kÕt qu¶ cña c¸c phÐp tÝnh sau ®©y ®óng hay sai? Gi¶i thÝch.
 a) 9783 + 1789 + 8075 + 301 + 2779 = 22472.
 b) 568 + 12540+ 6384 = 8191
 c) 4624 x 123 = 568751’
 d) ( 20 + 4 + 6 +  + 100 + 102) : 3 = 815
 e) abc x abc – 853467 = 0
 2- a) NÕu tæng cña hai sè tù nhiªn lµ mét sè lÎ th× tÝch cña chóng cã thÓ lµ mét sè lÎ ®­îc kh«ng.
 b) NÕu tÝch cña hai sè tù nhiªn lµ mét sè lÎ th× tæng cña chóng cã thÓ lµ mét sè lÎ ®­îc kh«ng?
 c) Sè 2003 cã thÓ lµ tÝch cña ba sè tù nhiªn liªn tiÕp nµo?
3- Tæng cña 2003 sè tù nhiªn liªn tiÕp b¾t ®Çu tõ 1 lµ sè ch½n hay lÎ? ( kh«ng cÇn tÝnh tæng)
4- Cã thÓ t×m sè tù nhiªn A vµ B sao cho (A + B) x ( A –B) = 2010 hay kh«ng?
5- An mua mét sè vë. An ®­a cho b¹n B×nh vµ b¹n Ch©u ®Õm l¹i. B×nh ®Õm mçi lÇn 6 quyÓn th× thõa 2 quyÓn, Ch©u ®Õm mçi lÇn 4 quyÓn th× thõa 3 quyÓn. Em h·y chøng tá trong hai b¹n B×nh vµ Ch©u cã Ýt nhÊt mét b¹n ®Õm sai?
6- C¸c tÝch sau tËn cïng b»ng ch÷ sè nµo:
a) 24 x 34 x 44 x  x 114 x 124.
b) 198 x 208 x 218 x  x 448 x 458.
c) 3 x 13 x 23 x  x 103.
d) 17 x 37 x 57 x 77 x  x 157 x 177.
 7- H·y cho biÕt ch÷ sè tËn cïng cña kÕt qu¶ d·y tÝnh sau:
 a) 11 x 22 x 33 x 44 + 55 + 66 x 77 x 88 x 99.
 b) 32 x 44 x 75 x 69 – 21 x 49 x 65 x 55.
 c) 1991 x 1992 x 1993 x 1994 x 1995 x 1996 x 1997 x 1988.
 8- T×m bèn sè tù nhiªn liªn tiÕp cã tÝch b»ng 255024 vµ 24024.
 Chuyªn ®Ò 2: c¸c d¹ng to¸n vÒ d·y sè nguyªn.
A- D·y sè tù nhiªn vµ d·y sè c¸ch ®Òu.
 I- D¹ng 1: T×m qui luËt thµnh lËp d·y sè, ®iÒn thªm sè h¹ng vµo d·y sè.
 * VÝ dô: T×m qui luËt thµnh lËp vµ ®iÒn tiÕp 3 sè h¹ng n÷a vµo d·y sè 0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; 
 + Ta nhËn thÊy: 1 = 0 + 1; 2 = 1 + 1; 3 = 1 + 2; 5 = 2 + 3; 8 = 3 + 5; .
 VËy d·y sè ®· cho ®­îc thµnh lËp theo qui luËt: kÓ tõ sè h¹ng thø ba trö ®i mçi sè h¹ng ®Òu b»ng tæng hai sè h¹ng liªn tiÕp ngay tr­íc nã. Ta cã 3 sè h¹ng tiÕp theo cña d·y sè lµ:
 5 + 8 = 13; 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34. Ta cã d·y sè: 0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 
 II- D¹ng 2: X¸c ®Þnh sè a cã thuéc d·y ®· cho hay kh«ng?
VÝ dô: Cho hai d·y sè: 1) 3; 6; 9; vµ 2) 4; 7; 10; 13; 
Hái sè 1997 cã ph¶i lµ mét sè h¹ng cña d·y sè ®· cho kh«ng?
Ta thÊy: - D·y sè 3; 6; 9;  gåm c¸c sè chia hÕt cho 3 vµ d·y sè 4; 7; 10; 13;  gåm c¸c sè h¹ng chia cho 3 d­ 1. Do 1997 chia cho 3 d­ 2 nªn 1997 kh«ng ph¶i lµ mét sè h¹ng cña c¸c d·y sè trªn.
 III- D¹ng 3: X¸c ®Þnh sè h¹ng vµ sè l­îng sè trong d·y sè.
 * VÝ dô: Cho d·y sè: 354; 355; 356;  ; 2005; 2006. Hái:
 a) D·y sè ®ã cã bao nhiªu sè? b) D·y sè ®ã cã bao nhiªu ch÷ sè? c) Sè h¹ng thø 100 lµ sè nµo?
 * Gi¶i: D·y sè 354; 355; 356; ; 2005; 2006 lµ d·y sè tù nhiªn liªn tiÕp b¾t dÇu tõ sè 354.
a) Sè l­îng c¸c sè cã trong d·y sè lµ: ( 2006 – 354 ) + 1 = 1653 ( sè)
b) Ta cã: + C¸c sè cã ba ch÷ sè gåm: 354; 355; 356; ; 998; 999 cã tÊt c¶: 
 ( 999 – 354 ) + 1 = 646 ( sè cã ba ch÷ sè)
 + C¸c sè cã bèn ch÷ sè gåm: 1000; 1001; 1002; ; 2005; 2006 cã tÊt c¶:
 ( 2006 – 1000) + 1 = 1007(sè cã bèn ch÷ sè)
 VËy d·y sè cos tÊt c¶: 3 x 646 + 4 x 1007 = 5966 ( ch÷ sè)
c) NhËn xÐt: Theo c©u b) ta cã 646 sè cã ba ch÷ sè nªn sè h¹ng thø 100 lµ sè cã ba ch÷ sè.
 Sè h¹ng thø nhÊt lµ: 354. Sè h¹ng thø hai lµ: 354 + 1 x ( 2 – 1 ) = 355
 Sè h¹ng thø ba lµ: 354 + 1 x ( 3 – 1 ) = 356
 Sè h¹ng thø t­ lµ: 354 + 1 x ( 4 – 1 ) = 357 v.v
 Ta thÊy mçi sè h¹ng trong d·y sè b»ng sè h¹ng thø nhÊt céng víi tÝch cña 1 vµ hiÖu cña sè thø tù cña sè ®ã víi 1. Do ®ã ta cã: Sè h¹ng thø n lµ: 354 + 1 x ( n – 1 )
 Sè h¹ng thø 100 lµ: 354 + 1 x ( 100 – 1 ) = 453.
IV-D¹ng 4: X¸c ®Þnh sè h¹ng vµ sè l­îng trong d·y sè c¸ch ®Òu.
VÝ dô: Cho d·y sè: 2; 4; 6; 8; 10; ; 2004.
 a) Hái d·y sè ®ã cã bao nhiªu ch÷ sè? 
b) NÕu ph¶i viÕt 184 csè th× viÕt ®Õn sè nµo?
c) T×m ch÷ sè thø 2000 cña d·y sè.
 *Gi ¶i:
 a) D·y sè ®· cho lµ d·y sè ch½n liªn tiÕp b¾t ®Çu tõ 2 ®Õn 2004. Hai sè ch½n liªn tiÕp h¬n ( kÐm) nhau 2 ®¬n vÞ. Ta thÊy trong d·y sè ®ã: 
+ Tõ 2 ®Õn 8 cã: (8 – 2) : 2 + 1 = 4 (ch÷ sè)
+ Tõ 10 ®Õn 98 cã: ( 98 – 10 ) : 2 + 1 = 45 ( sè cã hai ch÷ sè)
+ Tõ 100 ®Õn 998 cã: ( 998 – 100) : 2 + 1 = 450 ( sè cã ba ch÷ sè)
+ Tõ 1000 ®Õn 2004 cã: ( 2004 – 1000 ) : 2 + 1 = 503 ( sè cã bèn ch÷ sè)
 VËy sè l­îng ch÷ sè cña d·y sè lµ: 1 x 4 + 2 x 45 + 3 x 450 + 4 x 503 = 3456 ( ch÷ sè)
 b)Ta thÊy: NÕu viÕt c¸c sè ch½n liªn tiÕp tõ 2 ®Õn 98 th× ph¶i viÕt tíi: 1 x4 +2 x 45 = 94 (ch÷ sè)
 NÕu viÕt c¸c sè ch½n liªn tiÕp tõ 2 ®Õn 998 th× ph¶i viÕt tíi: 1 x 4 + 2 x45 +3 x 450 =1444( csè)
 Do 94 < 184 < 1444 nªn 184 ch÷ sè chØ dïng ®Ó viÕt c¸c sè ch½n cã 3 ch÷ sè.
 Sè l­îng ch÷ sè dïng ®Ó viÕt c¸c sè ch½n cã 3 ch÷ sè lµ: 184 – 94 = 90 ( ch÷ sè)
 Sè l­îng sè ch½n cã 3 ch÷ sè viÕt ®­îc lµ: 90 : 3 = 30 ( sè).
 Hai sè ch½n liªn tiÕp h¬n kÐm nhau 2 ®¬n vÞ vµ sè kho¶ng c¸ch Ýt h¬n sè l­îng sè lµ 1 nªn:
 Sè kho¶ng c¸ch ( mçi kho¶ng c¸ch 2 ®¬n vÞ ) lµ: 30 – 1 = 29 ( kho¶ng c¸ch )
 Sè ch½n cã 3 ch÷ sè thø 30 h¬n sè 100 lµ: 2 x 29 = 58 ( ®¬n vÞ )
 Sè ch½n cã 3 ch÷ sè thø 30 cña d·y sè lµ: 100 + 58 = 158.
 VËy nÕu 184 ch÷ sè th× viÕt ®Õn sè 158.
c) Ta thÊy: 
NÕu viÕt c¸c sè ch½n liªn tiÕp tõ 2 ®Õn 998 th× ph¶i viÕt tíi: 1 x 4 + 2 x45+3 x 450=1444(ch÷ sè) 
NÕu viÕt c¸c sè ch½n liªn tiÕp tõ 2 ®Õn 2004 th× ph¶i viÕt tíi 3 456 ch÷ sè (theo c©u a).
Do 1444 < 2000 < 3456 nªn ch÷ sè thø 2000 thuéc c¸c sè ch½n cã 4 ch÷ sè.
Sè l­îng ch÷ sè dïng ®Ó viÕt c¸c sè ch½n cã 4 ch÷ sè lµ: 2000 – 1444 = 556 ( ch÷ sè)
Sè l­îng sè ch½n cã 4 ch÷ sè lµ: 556 : 4 = 139 ( sè)
Sè ch½n cã 4 ch÷ sè ®Çu tiªn lµ 1000, sè ch½n cã 4 ch÷ sè thø 139 lµ: 1000+(139-1)x2=1276
 VËy d·y sè ch½n liªn tiÕp tõ 2 ®Õn 1276 cã ®óng 2000 ch÷ sè.
 Do ®ã ch÷ sè thø 2000 cña d·y sè lµ 6 ( cña sè 1276).
V- D¹ng 5: ViÕt d·y sè “ c¸ch ®Òu”
 *VÝ dô: ViÕt d·y sè c¸ch ®Òu biÕt sè h¹ng ®Çu tiªn lµ 1 vµ sè h¹ng thø 20 lµ 77.
 *HiÖu cña sè h¹ng thø 20 vµ sè h¹ng ®Çu tiªn lµ: 77 – 1 = 76
 Tõ sè h¹ng thø nhÊt ®Õn sè h¹ng thø 20 cã sè kho¶ng c¸ch lµ: 20 – 1 = 19 ( kho¶ng c¸ch)
 Gi¸ trÞ mçi kho¶ng c¸ch lµ: 76 : 19 = 4 ( ®¬n vÞ)
 VËy d·y sè ph¶i t×m lµ: 1; 5; 9; 13; 17;  ; 77; 
 VI- D¹ng 6: TÝnh tæng c¸c sè h¹ng trong d·y sè “c¸ch ®Òu”.
C«ng thøc tÝnh tæng:
NÕu n lµ sè ch½n th× : a1 + a2 +  + an = ( a1 + an) x 
NÕu n lµ sè lÎ th×: a1 + a2 +  + an = a1 + ( a2 + an ) x 
C¸c bµi tËp øng dông
 1- T×m qui luËt thµnh lËp cña d·y sè sau, råi ®iÒn tiÕp theo 3 sè h¹ng vµo d·y sè:
 a) 1; 4; 7; 10;  b) 5; 7; 12; 19; 31; 50;  c) 5; 8; 11; 24; 43; 78; 
d) 1; 4; 9; 16; 25;  e) 1; 2; 6; 24; 120;  g) 2; 20; 56; 110; 182; 
2- T×m sè h¹ng ®µu tiªn cña d·y sè sau: ; 10; 16; 26; 42 . BiÕt d·y sè cã 7 sè h¹ng.
3- §iÒn thªm s¸u sè h¹ng n÷a vµo tæng sau: 9 + + 16 = 100.
4- Em h·y cho biÕt 50 vµ 133 cã thuéc d·y sè sau kh«ng: 90; 95; 100; 
5- Em h·y cho biÕt: a) Sè 2006 cã thuéc d·y sè: 1; 4; 7; 10; 
 b) Sè nµo trong c¸c sè: 666; 1000; 9999 thuéc d·y sè: 3; 6; 12; 24; 
6- Cho d·y sè: 100; 97; 94;  cã bao nhiªu sè h¹ng biÕt r»ng sè h¹ng cuèi cïng cña d·y sè ®ã lµ sè nhá nhÊt cã 1 ch÷ sè kh¸c 1 vµ chia 3 d­ 1? T×m sè h¹ng thø 17 cña d·y sè.
7- Tõ 1 ®Õn 2004 cã bao nhiªu ch÷ sè tËn cïng lµ 4? 
8- Cho d·y sè: 1; 3; 5; 7; ; 2005. Hái d·y sè cã bao nhiªu sè h¹ng vµ sè h¹ng thø 100 lµ sè nµo?
9- a) Tõ 563 ®Õn 2005 cã bao nhiªu sè tù nhiªn liªn tiÕp?
 b) D·y sè lÎ liªn tiÕp tõ 147 ®Õn 2005 cã bao nhiªu sè?
 c) D·y sè ch½n liªn tiÕp tõ 140 ®Õn 2004 cã bao nhiªu sè?
10- H·y viÕt d·y sè c¸ch ®Òu cã 10 sè h¹ng ®Òu lµ c¸c sè tù nhiªn, biÕt sè h¹ng ®Çu tiªn lµ 10 vµ sè h¹ng cuèi cïng lµ 37.
11- Cho d·y sè c¸ch ®Òu cã 9 sè h¹ng, cã sè h¹ng thø n¨m lµ 19 vµ sè h¹ng thø chÝn lµ 35. H·y viÕt ®ñ c¸c sè h¹ng cña d·y sè ®ã.
12- a) ViÕt tÊt c¶ 50 sè ch½n liªn tiÕp b¾t ®Çu tõ 1996. Hái sè cuèi cïng ph¶i viÕt lµ sè nµo?
 b) ViÕt 96 sè ch½n liªn tiÕp. Sè cuèi cïng cña d·y lµ 2004. Hái sè ®Çu tiªn cña d·y lµ sè nµo?
13- Ng­êi ta ®¸nh m¸y ch÷ c¸c sè: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; ®Ó d¸n vµo trong mét quyÓn s¸ch dµy 500 trang ( ®¸nh sè trang ). Hái ph¶i gâ vµo m¸y ch÷ bao nhiªu lÇn( chØ tÝnh nh÷ng lÇn gâ vµo ch÷ sè vµ gi¶ sö kh«ng lÇn nµo gâ nhÇm)?
14- ViÕt c¸c sè tù nhiªn liªn tiÕp b¾t ®Çu tõ 1. Hái ch÷ sè thø 2004 lµ ch÷ sè nµo?
15-ViÕt liªn tiÕp c¸c sè ch½n b¾t ®Çu tõ 2004. Hái nÕu ph¶i viÕt 480 ch÷ sè th× ph¶i viÕt ®Õn sè nµo?
16- TÝnh c¸c tæng sau: a) 1 + 3 + 5 + 7 +  + 2005 
b) 1 + 4 + 9 + 16 ++ 100 c) 2 + 4 + 8 + 16 + .( cã 16 sè h¹ng).
17- Mét phßng häp cã hµng ghÕ ®Çu gåm 12 ghÕ, hµng ghÕ thø hai cã 13 ghÕ, hµng ghÕ thø ba cã 14 ghÕ, cø xÕp nh­ thÕ nµo cho ®Õn hµng ghÕ cuèi cïng cã 30 ghÕ. Hái phßng häp cã bao nhiªu hµng ghÕ? Vµ phßng häp Êy cã ®ñ cho 390 ng­êi ngåi kh«ng?
 Chuyªn ®Ò 3: c¸c bµi to¸n cã ph­¬ng ph¸p gi¶i ®iÓn h×nh
 D¹ng I: C¸c bµi to¸n vÒ sè trung b×nh céng.
*Vd :Vieät coù 10 hoøn bi, Nam coù 7 hoøn bi, Hoøa coù nhieàu hôn Nam 2 hoøn bi, Bình coù soá bi keùm möùc trung bình cuûa caû boán baïn laø 1 hoøn bi. Tính soá bi cuûa Bình?
1. Long coù 15nhaõn vôû, Li coù 19 nhaõn vôû, Quy coù soá nhaõn vôû baèng trung bình coäng cuûa Long vaø Li, Phöôïng coù soá nhaõn vôû keùm trung bình coäng cuûa caû boán ngöôøi laø 9 nhaõn vôû. Hoûi Phöôïng coù bao nhieâu nhaõn vôû?
2. Moät quaày löông thöïc ngaøy thöù nhaát baùn ñöôïc 350 kg gaïo.ngaøy thöù hai baùn ñöôïc 275 kg gaïo.Ngaøy thöù ba baùn ñöôïc nhieàu hôn trung bình coäng soá gaïo cuûa caû ba ngaøy laø 45 kg gaïo. Hoûi ngaøy thöù ba quaày haøng baùn ñöôïc bao nhieâu kg gaïo?
3. Tìm naêm soá chaün lieân tieáp bieát trung bình coäng cuûa chuùng laø 3286.
4. Tìm 7 soá leû lieân tieáp bieát trung bình coäng cuûa chuùng laø soá nhoû nhaát coù 5 chöõ soá.
5. Moät ñoäi xe taûi coù 5 chieác xe, trong ñoù coù hai xe A vaø B moãi xe chôû 3 taán, hai xe C vaø D moãi xe chôû ñöôïc 45 taï, coøn xe E chôû hôn möùc trung bình coäng cuûa toaøn ñoäi laø 1 taán. Haõy tính xem xe E chôû maáy taán
 6. Tìm ba soá töï nhieân lieân tieáp bieát trung bình coäng cuûa chuùng baèng 17.
7. Tìm ba soá bieát trung bình coäng cuûa chuùng baèng 2.
8. Tuoåi trung bình cuûa boá vaø meï hôn tuoåi cuûa meï laø 2 tuoåi. Hoûi boá hôn meï maáy tuoåi?
 9. Tìm trung bình coäng cuûa caùc soá sau baèng caùch tính nhanh:
 a. 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35 .
 b. 1, 2, 3, 4, 5, , 23.
10.Tìm 2 soá bieát trung bình coäng cuûa chuùng laø 123, soá thöù nhaát hôn soá thöù hai 46 ñôn vò.
11.Trung bình coäng tuoåi cuûa ba, meï, An vaø Bình laø 18. Neáu boû An ra thì trung bình coäng tuoåi cuûa ba ngöôøi coøn laïi laø 21. Tìm tuoåi cuûa An.
12: Thaønh coù 20 vieân bi, Ñöùc coù 22 vieân bi, An coù soá bi hôn möùc trung bình coäng soá bi cuûa ba baïn laø 6 vieân. Hoûi An coù bao nhieâu vieân bi?
 D¹ng II: C¸c bµi to¸n vÒ t×m hai sè khi biÕt tæng vµ hiÖu cña hai sè dã.
1- T×m hai sè ch½n liªn tiÕp cã tæng b»ng 98.
2- T×m hai sè lÎ cã tæng b»ng 120, biÕt gi÷a chóng cã 5 sè ch½n.
3- Trung b×nh céng cña hai sè b»ng 59. T×m hai sè biÕt sè lín h¬n sè bÐ 6 ®¬n vÞ.
4- T×m hai sè biÕt trung b×nh céng cña hai sè lµ 23,8 vµ sè thø nhÊt h¬n sè thø hai 4,5 ®¬n vÞ.
5- Anh h¬n em 5 tuæi, 5 n¨m sau tæng sè tuæi cña hai anh em lµ 25 tuæi. TÝnh sè tuæi cña mçi ng­êi hiÖn nay.
6- Mét thöa ruéng HCN cã chu vi lµ 188m. ChiÒu réng ng¾n h¬n chiÒu dµi 17m. tÝnh diÖn tÝch thöa ruéng ®ã.
7- Cho mét phÐp céng cã sè h¹ng thø nhÊt h¬n sè h¹ng thø hai lµ 15 ®¬n vÞ. BiÕt tæng cña sè h¹ng thø nhÊt, sè h¹ng thø hai vµ tæng b»ng 682. T×m sè h¹ng thø hai cña tæng.
8- Mét phÐp céng cã hai sè h¹ng lµ hai sè ch½n liªn tiÕp. Tæng c¸c sè: sè h¹ng thø nhÊt, sè h¹ng thø hai vµ tæng sè b»ng 276. T×m phÐp céng ®ã biÕt sè h¹ng thø nhÊt lín h¬n sè h¹ng thø hai.
9- Cho phÐp trõ hai sè mµ tæng cña sè bÞ trõ, sè trõ vµ hiÖu sè b»ng 478, hiÖu sè bÐ h¬n sè trõ 117 ®¬n vÞ. T×m phÐp trõ ®ã.
10- C¶ hai ngµy b¸n ®­îc 894m v¶i. NÕu ngµy thø nhÊt b¸n thªm 146m v¶i th× ngµy thø nhÊt b¸n Ýt h¬n ngµy thø hai 58m v¶i. Hái mçi ngµy b¸n ®­îc bao nhiªu mÐt v¶i.
11- Trong ®ît Gióp b¹n nghÌo v­