Toán học - Các bài toán về đa thức

Các bài toán về đa thức
1. Tính giá trị của biểu thức:
Bài 1: Cho đa thức P(x) = x15 -2x12 + 4x7 - 7x4 + 2x3 - 5x2 + x - 1
 Tính P(1,25); P(4,327); P(-5,1289); P()
H.Dẫn:
- Lập công thức P(x)
- Tính giá trị của đa thức tại các điểm: dùng chức năng 
- Kết quả: P(1,25) = ; P(4,327) = 
 P(-5,1289) = ; P() =
Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:
P(x) = 1 + x + x2 + x3 +...+ x8 + x9 tại x = 0,53241
Q(x) = x2 + x3 +...+ x8 + x9 + x10 tại x = -2,1345
H.Dẫn:
- áp dụng hằng đẳng thức: an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b +...+ abn-2 + bn-1). Ta có:
P(x) = 1 + x + x2 + x3 +...+ x8 + x9 = 
Từ đó tính P(0,53241) = 
Tương tự: 
Q(x) = x2 + x3 +...+ x8 + x9 + x10 = x2(1 + x + x2 + x3 +...+ x8) = 
Từ đó tính Q(-2,1345) = 
Bài 3: Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 25. Tính P(6); P(7); P(8); P(9) = ? 
H.Dẫn:
Bước 1: Đặt Q(x) = P(x) + H(x) sao cho:
+ Bậc H(x) nhỏ hơn bậc của P(x)
+ Bậc của H(x) nhỏ hơn số giá trị đã biết của P(x), trongbài bậc H(x) nhỏ hơn 5, nghĩa là:
Q(x) = P(x) + a1x4 + b1x3 + c1x2 + d1x + e
Bước 2: Tìm a1, b1, c1, d1, e1 để Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0, tức là:
 ị a1 = b1 = d1 = e1 = 0; c1 = -1
Vậy ta có: Q(x) = P(x) - x2 
Vì x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = 5 là nghiệm của Q(x), mà bậc của Q(x) bằng 5 có hệ số của x5 bằng 1 nên: Q(x) = P(x) - x2 = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) 
ị P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) + x2. 
Từ đó tính được: P(6) = ; P(7) = ; P(8) = ; P(9) = 
Bài 4: Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = 5; P(2) = 7; P(3) = 9; P(4) = 11. Tính P(5); P(6); P(7); P(8); P(9) = ?
H.Dẫn:
- Giải tương tự bài 3, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + (2x + 3). Từ đó tính được: P(5) = ; P(6) = ; P(7) = ; P(8) = ; P(9) = 
Bài 5: Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = 1; P(2) = 3; P(3) = 6; P(4) = 10. Tính 
H.Dẫn:
- Giải tương tự bài 4, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + . Từ đó tính được: 
Bài 6: Cho đa thức f(x) bậc 3 với hệ số của x3 là k, k ẻ Z thoả mãn:
f(1999) = 2000; f(2000) = 2001
Chứng minh rằng: f(2001) - f(1998) là hợp số.
H.Dẫn:
* Tìm đa thức phụ: đặt g(x) = f(x) + (ax + b). Tìm a, b để g(1999) = g(2000) = 0
 ị g(x) = f(x) - x - 1
* Tính giá trị của f(x):
- Do bậc của f(x) là 3 nên bậc của g(x) là 3 và g(x) chia hết cho:
 (x - 1999), (x - 2000) nên: g(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0)
 ị f(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0) + x + 1.
Từ đó tính được: f(2001) - f(1998) = 3(2k + 1) là hợp số.
Bài 7: Cho đa thức f(x) bậc 4, hệ số của bậc cao nhất là 1 và thoả mãn:
 f(1) = 3; P(3) = 11; f(5) = 27. Tính giá trị A = f(-2) + 7f(6) = ?
H.Dẫn:
- Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c. Tìm a, b, c sao cho g(1) = g(3) = g(5) = 0 ị a, b, c là nghiệm của hệ phương trình:
 ị bằng MTBT ta giải được: 
ị g(x) = f(x) - x2 - 2
 - Vì f(x) bậc 4 nên g(x) cũng có bậc là 4 và g(x) chia hết cho (x - 1), (x - 3), (x - 5), do vậy: g(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - x0) ị f(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - x0) + x2 + 2.
Ta tính được: A = f(-2) + 7f(6) = 
Bài 8: Cho đa thức f(x) bậc 3. Biết f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = 1.
Tìm f(10) = ? (Đề thi HSG CHDC Đức)
 H.Dẫn:
- Giả sử f(x) có dạng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Vì f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = 1 nên: 
 lấy 3 phương trình cuối lần lượt trừ cho phương trình đầu và giải hệ gồm 3 phương trình ẩn a, b, c trên MTBT cho ta kết quả: 
ị ị 
Bài 9: Cho đa thức f(x) bậc 3 biết rằng khi chia f(x) cho (x - 1), (x - 2), (x - 3) đều được dư là 6 và f(-1) = -18. Tính f(2005) = ?
H.Dẫn:
- Từ giả thiết, ta có: f(1) = f(2) = f(3) = 6 và có f(-1) = -18
- Giải tương tự như bài 8, ta có f(x) = x3 - 6x2 + 11x 
Từ đó tính được f(2005) = Bài 10: Cho đa thức 
a) Tính giá trị của đa thức khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.
b) Chứng minh rằng P(x) nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên
Giải:
a) Khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4 thì (tính trên máy) P(x) = 0
b) Do 630 = 2.5.7.9 và x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4 là nghiệm của đa thức P(x) nên 
Vì giữa 9 só nguyên liên tiếp luôn tìm được các số chia hết cho 2, 5, 7, 9 nên với mọi x nguyên thì tích: chia hết cho 2.5.7.9 (tích của các số nguyên tố cùng nhau). Chứng tỏ P(x) là số nguyên với mọi x nguyên.
Bài 11: Cho hàm số . Hãy tính các tổng sau:
H.Dẫn:
* Với hàm số f(x) đã cho trước hết ta chứng minh bổ đề sau: 
 Nếu a + b = 1 thì f(a) + f(b) = 1
* áp dụng bổ đề trên, ta có: 
a) 
b) Ta có . Do đó:
2. Tìm thương và dư trong phép chia hai đa thức:
Bài toán 1: Tìm dư trong phép chia đa thức P(x) cho (ax + b)
Cách giải:
 - Ta phân tích: P(x) = (ax + b)Q(x) + r ị ị r = 
Bài 12: Tìm dư trong phép chia P(x) = 3x3 - 5x2 + 4x - 6 cho (2x - 5)
Giải:
- Ta có: P(x) = (2x - 5).Q(x) + r ị ị r = 
Tính trên máy ta được: r = = 
Bài toán 2: Tìm thương và dư trong phép chia đa thức P(x) cho (x + a)
Cách giải:
- Dùng lược đồ Hoocner để tìm thương và dư trong phép chia đa thức P(x) cho (x + a)
Bài 13: Tìm thương và dư trong phép chia P(x) = x7 - 2x5 - 3x4 + x - 1 cho (x + 5)
H.Dẫn: - Sử dụng lược đồ Hoocner, ta có:
1
0
-2
-3
0
0
1
-1
-5
1
-5
23
-118
590
-2950
14751
-73756
* Tính trên máy tính các giá trị trên như sau:
 5 
1 0 (-5) : ghi ra giấy -5
 2 (23) : ghi ra giấy 23
 3 (-118) : ghi ra giấy -118
 0 (590) : ghi ra giấy 590
 0 (-2950) : ghi ra giấy -2950
 1 (14751) : ghi ra giấy 14751
 1 (-73756) : ghi ra giấy -73756
x7 - 2x5 - 3x4 + x - 1 = (x + 5)(x6 - 5x5 + 23x4 - 118x3 + 590x2 - 2950x + 14751) - 73756
Bài toán 3: Tìm thương và dư trong phép chia đa thức P(x) cho (ax +b)
Cách giải:
- Để tìm dư: ta giải như bài toán 1
- Để tìm hệ số của đa thức thương: dùng lược đồ Hoocner để tìm thương trong phép chia đa thức P(x) cho (x +) sau đó nhân vào thương đó với ta được đa thức thương cần tìm.
Bài 14: Tìm thương và dư trong phép chia P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 cho (2x - 1)
Giải:
- Thực hiện phép chia P(x) cho , ta được:
P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 = . Từ đó ta phân tích:
P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 = 2... 
 = (2x - 1). 
Bài 15: Tìm các giá trị của m để đa thức P(x) = 2x3 + 3x2 - 4x + 5 + m chia hết cho Q(x) = 3x +2
H.Dẫn:
- Phân tích P(x) = (2x3 + 3x2 - 4x + 5) + m = P1(x) + m. Khi đó: 
P(x) chia hết cho Q(x) = 3x + 2 khi và chỉ khi: P1(x) + m = (3x + 2).H(x)
Ta có: 
Tính trên máy giá trị của đa thức P1(x) tại ta được m = 
Bài 16: Cho hai đa thức P(x) = 3x2 - 4x + 5 + m; Q(x) = x3 + 3x2 - 5x + 7 + n. Tìm m, n để hai đa thức trên có nghiệm chung 
H.Dẫn:
 là nghiệm của P(x) thì m = , với P1(x) = 3x2 - 4x + 5
 là nghiệm của Q(x) thì n = , với Q1(x) = x3 + 3x2 - 5x + 7.
Tính trên máy ta được: m = = ;n = =
Bài 17: Cho hai đa thức P(x) = x4 + 5x3 - 4x2 + 3x + m; Q(x) = x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + n.
a) Tìm m, n để P(x), Q(x) chia hết cho (x - 2)
b) Xét đa thức R(x) = P(x) - Q(x). Với giá trị m, n vừa tìm chứng tỏ rằng đa thức R(x) chỉ có duy nhất một nghiệm.
H.Dẫn:
a) Giải tương tự bài 16, ta có: m = ;n = 
b) P(x) (x - 2) và Q(x) (x - 2) ị R(x) (x - 2)
Ta lại có: R(x) = x3 - x2 + x - 6 = (x - 2)(x2 + x + 3), vì x2 + x + 3 > 0 với mọi x nên R(x) chỉ có một nghiệm x = 2.
Bài 18: Chia x8 cho x + 0,5 được thương q1(x) dư r1. Chia q1(x) cho x + 0,5 được thương q2(x) dư r2. Tìm r2 ?
H.Dẫn:
- Ta phân tích: x8 = (x + 0,5).q1(x) + r1
 q1(x) = (x + 0,5).q2(x) + r2
- Dùng lược đồ Hoocner, ta tính được hệ số của các đa thức q1(x), q2(x) và các số dư r1, r2:
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
-1
Vậy: 
= = = = = = = = = = = =
giải tam giác
1. Giải tam giác:
Bài 1: Tính các góc của tam giác ABC, biết:
AB = 4,123 ; BC = 5,042 ; CA = 7,415
Đáp số: ; ; 
Bài 2: Tính cạnh BC, góc B , góc C của tam giác ABC, biết: 
AB = 11,52 ; AC = 19,67 và góc 54o35’12’’
Đáp số: BC = ; ; 
Bài 3: Tính cạnh AB, AC, góc C của tam giác ABC, biết: 
BC = 4,38 ; 54o35’12’’ ; 101o15’7’’
Đáp số: AB= ; AC = ; 
Bài 4: Tam giác ABC có ba cạnh: AB = 4,123 ; BC = 5,042 ; CA = 7,415
Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho: BM = 2,142
1) Tính độ dài AM?
2) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM
3) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ACM.
Đáp số: 1) AM = 2) R = 3) r =
Bài 5: Tam giác ABC có: 49o27’ ; 73o52’ và cạnh BC = 18,53.
Tính diện tích S của tam giác ?
Đáp số: S = 
Bài 6: Tam giác ABC có chu vi 58 (cm) ; 57o18’ và 82o35’
Tính độ dài các cạnh AB, BC, CA ?
Đáp số: AB = ; BC = ; CA =
Bài 7: Tam giác ABC có 90o < < 180o và sinA = 0,6153 ; AB = 17,2 ; AC = 14,6.
Tính: 1) Độ dài cạnh BC ? Trung tuyến AM ?
 2) Góc ?
 3) Diện tích tam giác S = ?
Đáp số: BC = ; AM = ; ; S =
Bài 8: Tam giác ABC có 90o ; AB = 7 (cm) ; AC = 5 (cm).
Tính độ dài đường phân giác trong AD và phân giác ngoài AE ?
Đáp số: AD = ; AE =
R
O
a
A
a
2. Đa giác, hình tròn:
* Một số công thức:
1) Đa giác đều n cạnh, độ dài cạnh là a:
+ Góc ở tâm: (rad), hoặc: (độ)
+ Góc ở đỉnh: (rad), hoặc (độ)
+ Diện tích: 
 .
O
2) Hình tròn và các phần hình tròn:
+ Hình tròn bán kính R:
- Chu vi: C = 2pR
- Diện tích: S = pR2
r
R
 .
O
+ Hình vành khăn:
d
- Diện tích: S = p(R2 - r2) = p(2r + d)d
+ Hình quạt:
- Độ dài cung: l = aR ; (a: rad)
R
 .
O
- Diện tích: (a: rad)
 (a: độ)
Bài 9: Ba đường tròn có cùng bán kính 3 cm đôi một tiêp xúc ngoài (Hình vẽ)
Tính diện tích phần xen giữa ba đường tròn đó ?
H.Dẫn: 
 O1
 O2
Sgạch xọc = SDO1O2O3 - 3 Squạt
Tam giác O1O2O3 đều, cạnh bằng 1 nên:
 O3
Squạt = 
ị Sgạch xọc = SDO1O2O3 - 3 Squạt = 
 D
 C
 B
 A
Bài 10: Cho hình vuông ABCD, cạnh a = 5,35. Dựng các đường tròn tâm A, B, C, D có bán kính R = . Tính diện tích xen giữa 4 đường tròn đó.
H.Dẫn: Sgạch = SABCD - 4Squạt
 Squạt = SH.tròn = pR2
 ị Sgạch = a2 - 4. pR2 = a2 - pa2 
 = a2(1 - p) 6,142441068
Bài 11: Cho đường tròn tâm O, bán kính R = 3,15 cm. Từ một điểm A ở ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến AB và AC (B, C là hai tiếp điểm thuộc (O) ). Tính diện tích phần giới hạn bởi hai tiếp tuyến và cung tròn nhỏ BC. Biết OA = a = 7,85 cm.
H.Dẫn:
 B
- Tính a: 
 A
 a
ị 
 O
 C
SOBAC = 2SOBA = aRsina
Squạt = 
Sgạch = SOBAC - Squạt = aRsina - 11,16 (cm2)
Bài 12: Tính diện tích phần được tô đậm trong hình tròn đơn vị (R = 1) (Xem hình 1)
Đáp số: 
Bài 13: Tính tỷ lệ diện tích của phần được tô đậm và diện tích phần còn lại trong hình tròn đơn vị (Xem hình 2)
Đáp số:
Hình 1
Hình 2
phần V. Đa giác và hình tròn
Bài 1. (Sở GD & ĐT Đồng Nai, 1998, vòng Tỉnh, cấp PTTH & PTCS)
Một ngôi sao năm cánh có khoảng cách giữa hai đỉnh không liên tiếp là . Tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp (qua 5 đỉnh).
Giải: Ta có công thức tính khoảng cách 
A
B
C
D
E
O
giữa hai đỉnh không kề nhau của ngôi sao năm cánh đều (hình vẽ):
 .
Công thức là hiển nhiên.
Công thức có thể chứng minh như sau:
Ta có: 
hay . 
Suy ra là nghiệm của phương trình: 
.
Vậy .
Từ đây ta có: 
hay 
Suy ra 
và 
Cách giải 1: 9.651218(5.073830963)
Cách giải 2: 29.6511025(5.073830963)
Bài 2. (Sở GD & ĐT TP Hồ Chí Minh, 1996, vòng 1)
Tính khoảng cách giữa hai đỉnh không liên tiếp của một ngôi sao 5 cánh nội tiếp trong đường tròn bán kính .
Cách giải 1: Ta có công thức tính khoảng cách giữa hai đỉnh không kề nhau của ngôi sao năm cánh (xem hình vẽ và chứng minh bài 1): 
.
Tính: 25.71218(10.86486964)
Cách giải 2: 10255.7122(10,86486964)
Đáp số: 10,86486964.
Bài 3. Cho đường tròn tâm , bán kính . Trên đường tròn đã cho, đặt các cung sao cho và nằm cùng một phía đối với .
O
A
B
C
H
a) Tính các cạnh và đường cao của tam giác .
b) Tính diện tích tam giác (chính xác đến 0,01).
Giải: a) Theo hình vẽ: 
sđ = sđ - sđ = 1200 - 900 = 300.
Tính các góc nội tiếp ta được:= 150; = 450. 
Suy ra: = 1200; = 450; = 750.
Ta có: ; .
Vì AHC vuông cân, nên (đặt ). 
Theo định lí Pitago ta có: . Do đó: hay . Suy ra: ; . 
Vì , nên nghiệm bị loại. Suy ra: .
Gọi diện tích là , ta có:
 .
ấn phím: 11.252(15.91) Vậy. 
ấn tiếp phím: 3 Kết quả:19.49 Vậy: . 
ấn phím:312(5.82) Vậy. 
ấn tiếp phím: 312(4.12) Vậy:. 
ấn tiếp phím: 334 
Kết quả: .
Bài 4. (Thi trắc nghiệm học sinh giỏi toán toàn nước Mỹ, 1972)
Cho hình vuông cạnh bằng 12. Vẽ đoạn với là điểm trên cạnh và . Trung trực của cắt và tại và . Tỷ số độ dài đoạn và là:
(A) 5:12; (B) 5:13; (C) 5:19; (D) 1:4; (E) 5:21.
Giải: Vẽ RS qua M song song với cạnh AB,CD. 
Ta có: . 
 S
A
B
 Q
E
D
P
M
C
Vì RM là đường trung bình của tam giác ADE nên .
Mà: . 
R
Vậy: .
áp dụng bằng số với :
5212 () 
Đáp số (C) là đúng.
Chú ý: Nếu không sử dụng phân số (52) mà dùng (52) thì máy sẽ cho đáp số dưới dạng số thập phân. 
Hãy tính: 5212 (0.2631579) 
So sánh: 5 19 	Kết quả: 0.2631579
Như vậy, hai kết quả như nhau, nhưng một kết quả được thực hiện dưới dạng phân số (khi khai báo 52), còn một kết quả được thực hiện dưới dạng số thập phân (khi khai báo 52).
Bài 5. Trên đường tròn tâm O, bán kính , người ta đặt các cung liên tiếp: 
= 600, = 900, = 1200. 
a) Tứ giác là hình gì?
b) Chứng minh ACBD.
c) Tính các cạnh và đường chéo của theo chính xác đến 0,01.
d) Tính diện tích tứ giác .
Giải: a) sđ= 3600 - (sđ+sđ +sđ)
A
B
C
D
E
60°
120°
 90°
C'
 = 3600 - (600 + 900 + 1200) = 900.
Suy ra: = , = = 450 (vì cùng bằng ). 
Từ đó ta có: . Vậy là hình thang. 
Mặt khác, = (cùng bằng ).
Vậy là hình thang cân (đpcm).
b) Vì = = 450 (vì cùng bằng ).
Suy ra = 900, vậy (đpcm).
c) Theo cách tính cạnh tam giác đều, tứ giác đều, lục giác đều nội tiếp trong đường tròn bán kính , ta có:
; ; .
Các tamgiác vuông cân, suy ra , .
Vậy: , . Suy ra .
d) .
Tính:132(433.97).
Vậy cm2.
ấn tiếp: 15.252 Kết quả: 21.57
Vậy cm.
ấn tiếp phím: 3(26.41) Vậy: .
ấn tiếp phím: 132(29.46)
Vậy .
Bài 6. Cho đường tròn tâm , bán kính . Từ một điểm ở ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến và (, là hai tiếp điểm thuộc ()). 
Tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi hai tiếp tuyến và cung tròn nhỏ BC 
O
B
a
A
C
biết rằng (chính xác đến 0,01 cm).
Giải: Ta có: .
 ;
 quạt OBC .
 gạch xọc= ABOC - quạt OBC .
Tính trên máy: 3.157.85
7.853.153.15180(11.16)	
Đáp số: gạch xọc = 11,16 cm2.
A
N
B
P
C
Q
D
M
Bài 7. Tính diện tích hình có 4 cạnh cong(hình gạch sọc) 
theo cạnh hình vuông a = 5,35 chính xác đến 0,0001cm.
Giải: Diện tích hình gạch xọc 
(SMNPQ) bằng diện tích hình vuông 
(SABCD) trừ đi 4 lần diện tích của hình tròn bán kính .
. 
ấn phím: 5.3544(6.14)
Kết luận: 6,14 cm2.
A
C
B
H
I
Bài 8. Tính diện tích phần hình phẳng (phần gạch xọc) giới hạn bởi các cung tròn và các cạnh của tam giác đều ABC (xem hình vẽ), 
biết: .
Giải: .
Suy ra: và .
Diện tích hình gạch xọc bằng diện tích tam giác trừ diện tích hình hoa 3 lá 
(gồm 6 hình viên phân có bán kính và góc ở tâm bằng 600).
 ; .
Diện tích một viên phân: .
Tính theo a, diện tích một viên phân bằng: ;
 gạch xọc; gạch xọc.
Bấm tiếp: 5,7593412
Kết quả: gạch xọc 8,33 cm2.
D
M
A
Q
C
P
N
B
Bài 9. Viên gạch cạnh có hoa văn như hình vẽ .
a) Tính diện tích phần gạch xọc của hình 
đã cho, chính xác đến 0,01 cm.
b) Tính tỉ số phần trăm giữa diện tích phần 
gạch xọc và diện tích viên gạch.
Giải: a) Gọi là bán kính hình tròn.
Diện tích một hình viên phân bằng:
 . 
Vậy diện tích hình gồm 8 viên phân bằng .
Diện tích phần gạch xọc bằng:	.
Tính trên máy: 3042
(386.28) Vậy gạch xọc 386,28 cm2.
ấn phím tiếp: 	(42.92)
Tỉ số của diện tích phần gạch xọc và diện tích viên gạch là 42,92%.
Đáp số: 386,28 cm2; 42,92 %.
Bài 10. Nhân dịp kỷ niệm 990 năm Thăng Long, người ta cho lát lại đường ven hồ Hoàn Kiếm bằng các viên gạch hình lục giác đều. Dưới đây là viên gạch lục giác đều có 2 mầu (các hình tròn cùng một mầu, phần còn lại là mầu khác). 
Hãy tính diện tích phần gạch cùng mầu và tỉ số diện tích giữa hai phần đó,
 biết rằng .
A
B
F
O
Giải: Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều 
là: . Diện tích mỗi hình tròn là:
Diện tích 6 hình tròn là: .
Tính trên máy: 152(353.4291)
Diện tích toàn bộ viên gạch là:. 
Diện tích phần gạch xọc là: .
Bấm tiếp phím: 3153(231.13797)
ấn tiếp phím: Kết quả: 65.40
Đáp số: 353,42 cm2 (6 hình tròn); 231,14 cm2 (phần gạch xọc); 65,40 %
F
A
D
O
C
B
R
M
N
P
Q
S
Bài 11. Viên gạch hình lục giác đều ABCDEF có hoa văn hình sao như hình vẽ, trong đó các đỉnh hình sao là trung điểm các cạnh của lục giác. 
Viên gạch được tô bằng hai mầu (mầu của 
hình sao và mầu của phần còn lại).
Biết rằng cạnh của lục giác đều là a = 16,5 cm. 
+ Tính diện tích mỗi phần (chính xác đến 0,01). 
+ Tính tỉ số phần trăm giữa hai diện tích đó. 
Giải: Diện tích lục giác bằng: S1=6=.
Lục giác nhỏ có cạnh là , 6 cánh sao là các tam giác đều cũng có cạnh là . Từ đó suy ra: diện tích lục giác đều cạnh là S2 bằng: S2 ==, diện tích 6 tam giác đều cạnh là S3: S3 =. 
Tính trên máy: 316.5382(353.66)
ấn tiếp phím: 316,532(353.66)
ấn tiếp phím: Kết quả: 100. 
Vậy diện tích hai phần bằng nhau.
Lời bình: Có thể chứng minh mỗi phần có 12 tam giác đều bằng nhau, do đó diện tích hai phần bằng nhau. Từ đó chỉ cần tính diện tích lục giác đều và chia đôi.
E
E'
D'
D
C'
F
F'
A
B'
A'
B
S
M
N
P
Q
R
c
Bài 12. Cho lục giác đều cấp 1 có cạnh . Từ các trung điểm của mỗi cạnh dựng một lục giác đều và hình sao 6 cánh cũng có đỉnh là các trung điểm (xem hình vẽ). Phần trung tâm của hình sao là lục giác đều cấp 2 .Với lục giác này ta lại làm tương tự 
như đối với lục giác ban đầu và được 
hình sao mới và lục giác đều cấp 3. Đối với 
lục giác cấp 3, ta lại làm tương tự như trên 
và được lục giác đều cấp 4. Đến đây ta dừng lại. 
Các cánh hình sao cùng được tô bằng một mầu 
(gạch xọc), còn các hình thoi trong hình chia thành 
2 tam giác và tô bằng hai mầu: mầu gạch xọc và mầu "trắng". Riêng lục giác đều cấp 4 cũng được tô mầu trắng.
 a) Tính diện tích phần được tô bằng mầu "trắng" theo a.
 b) Tính tỉ số phần trăm giữa diện tích phần "trắng" và diện tích hình lục giác ban đầu.
 Giải: a) Chia lục giác thành 6 tam giác đều có cạnh là a bằng 3 đường chéo đi qua 2 đỉnh đối xứng qua tâm, từ đó ta có S = 6 = .Chia lục giác thành 24 tam giác đều có cạnh bằng . Mỗi tam giác đều cạnh có diện tích bằng diện tích tam giác "trắng" (xem hình vẽ). Suy ra diện tích 6 tam giác trắng vòng ngoài bằng diện tích lục giác cấp 1 .
Vậy diện tích 6 tam giác trắng vòng ngoài là: . (1)
b) Tương tự với cách tính trên ta có: ; . 
Diện tích 6 tam giác trắng của lục giác cấp 2 là:. (2) 
Diện tích 6 tam giác trắng của lục giác cấp 3 là: .	 (3) 
Diện tích lục giác trắng trong cùng bằng (với ): . (4)
Tóm lại ta có: 
 S1 = = ; S2 == = ; 
 S3 = = = ; S4 = = = .
 Strắng =S1+S2+S3+S4 =()=.
ấn phím: 33632(3367.11)
Vậy SABCDEF = 3367,11 mm2.
ấn tiếp phím: 24222
6(1157.44) Vậy Strắng 1157,44 mm2.
ấn tiếp phím:	 (34.38). Vậy 34,38%.
Đáp số: 1157,44 mm2 và 34,38%.
Bài 13. Cho hình vuông cấp một với độ dài cạnh là . Lấy làm tâm, thứ tự vẽ các cung tròn bán kính bằng a, bốn cung tròn cắt nhau tại . Tứ giác cũng là hình vuông, gọi là hình vuông cấp 2. Tương tự như trên, lấy làm tâm vẽ các cung tròn 
bán kính , được 4 giao điểm 
là hình vuông cấp 3. Tương tự làm tiếp được 
hình vuông cấp 4 thì dừng lại (xem hình vẽ).
a) Tính diện tích phần hình không bị 
tô mầu (phần để trắng theo a).
b) Tìm tỉ số phần trăm giữa hai diện tích tô mầu và không tô mầu.
Giải:	a) Tính diện tích 4 cánh hoa trắng cấp 1 (bằng 4 viên phân trừ đi 2 lần diện tích hình vuông cấp 2).
 S1 = 	( là cạnh hình vuông cấp 2).
Tương tự, tính diện tích 4 cánh hoa trắng cấp 2 và cấp 3:
 ( là cạnh hình vuông cấp 3).
 ( là cạnh hình vuông cấp 4).
Rút gọn: S1 = a2(- 2) - 2b2; S2 = b2(- 2) - 2c2; S3 = c2(- 2) - 2d2 ; 
 Strắng=S1+S2+S3 =(a2 + b2 + c2)-4(b2 + c2)-2 (a2 + d2).
b) Ta có: = 300; b = QM = 2MK = 2a.sin150 = a(2sin150).
Tương tự: c = 2b.sin150 = a(2sin150)2; d = 2c.sin150 = a(2sin150)3.
Ký hiệu x = 2sin150, ta có: b = a.x; c = ax2; d = ax3.
Thay vào công thức tính diện tích Strắng ta được:
 Strắng = (a2 + a2 x2 + a2 x4) - 4(a2 x2 + a2 x4) - 2(a2 + a2 x6)
 = (1 + x2 + x4) - 4a2(x2 + x4) - 2a2(1 + x6)
ấn phím: 1524
 140440
 4240
 16(1298.36)
Vậy Strắng 1298,36 cm2.
Bấm tiếp phím: 40(301.64) 
Vậy Sgạch xọc 301,64 cm2.
Bấm tiếp phím: (23.23) 
Vậy 23,23%.
Đáp số: 1298,36 cm2; 23,23%.
B
A'
O
A
B'
C
Bài 14. Cho tam giác đều có cạnh là và tâm là O. Vẽ các cung tròn qua hai đỉnh và trọng tâm O của tam giác được hình 3 lá. Gọi là các trung điểm các cạnh BC, CA và AB. 
Ta lại vẽ các cung tròn qua hai trung điểm và 
điểm O, ta cũng được hình 3 lá nhỏ hơn.
a) Tính diện tích phần cắt bỏ (hình gạch xọc) 
của tam giác ABC để được hình 6 lá còn lại.
b) Tính tỉ số phần trăm giữa phần cắt bỏ 
và diện tích của tam giác ABC.
Giải: cũng là tam giác đều 
nhận O làm tâm (vì cũng là các đường cao, đường trung tuyến của ). 6 chiếc lá chỉ có điểm chung duy nhất là O, nghĩa là không có phần diện tích chung.
Mỗi viên phân có góc ở tâm bằng 600, bán kính bằng đường cao tam giác đều. Gọi S1 là diện tích 1 viên phân. Khi ấy S1 = =(2-3).
Ta có: =.
Gọi S là diện tích 3 lá lớn, S' là diện tích 3 lá nhỏ. Khi ấy:
 S =6S1 =(2-3)=(2-3). 
Gọi cạnh tam giác đều là b, tương tự ta cũng có:
 S'=(2-3) =(2-3).
Tổng diện tích 6 lá là: S + S' = (2-3)().
Diện tích phần gạch xọc (phần cắt bỏ) là S''.
 S''=-(S + S')=- (2-3)(.
Tính : 33.3334(481.0290040)
Tính S'' : 73851233.33(229.4513446)
Vậy S'' 229,45 cm2.
ấn tiếp phím để tính : Kết quả: 47.70 
Đáp số: S'' 229,45 cm2; 47,70 %.