Toán học - Bài tập tích phân

GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP TÍCH PHÂN HAY
Bài 1. Tính các tích phân sau :
.	
GIẢI
.(ĐHTM-2001) 
- Chia tử và mẫu cho . Ta được :
. Đặt 
- Đặt : 
 . ( ĐHTNguyên-98)
- Ta có : .
- Đặt : 	
- Đặt : 
- Từ : 
.
Phân tích : 
Tính J : Phân tích : 
Vậy : 
Tính K . Phân tích : 
Đặt : 
Với : 
Thay hai kết quả của J và K vào ta tìm ra I 
Bài 2. Tính các tích phân sau :
GIẢI
Phân tích : 
Vậy : 
Đặt :
Vậy : 
Đặt : 
Vậy : 
Đặt : 
Vậy : I
Bài 3. Tính các tích phân sau :
Chứng minh rằng : . ( ĐH-Thái Nguyên KG-2001 )
GIẢI
Đặt : 
Vậy : 
2. Chứng minh : .
- Đặt : . Khi đó : 
- f(x)dx= sin
- Vậy : 2I=0 hay I=0 ( đpcm) 
Bài 4 . Tính các tích phân sau :
. ( ĐHLâm Nghiệp - 2000) 
. Tính . ( ĐHSPI-98) 
GIẢI
.
Đặt : 
Vậy : 
- Tính H : 
- Tính J : 
- Vậy : I= 
b. Ta có : 
- Tính : . 
- Đặt : 
Thay vào (1) ta được :
Vậy : 
Bài 5 . Tính các tích phân sau :
	. (ĐHYHN-2001)
GIẢI
; f(x)=
Vậy : (1)
Tính : . Sử dụng phương pháp tích phân từng phần : 
Tương tự : 
Vậy : .
. 
* Nhắc nhở học sinh không được áp dụng cách đặt : ,vì hàm số cosx không xác định với mọi x thuộc .Mà phải sử dụng phương pháp tích phân từng phần .
Bài 6. Tính các tích phân sau :
. Áp dụng tính : 
 . Áp dụng : tính :
GIẢI
Phân tích : . Đặt : 
Do đó : 
Vậy : 
Đặt : 
Do đó : . Vì : 
Cho nên : 
Bài 7. Tính các tích phân sau :
. Với : . Áp dụng tính : 
. Áp dụng tính : 
GIẢI
Đặt : 
Đặt : 
Vậy : 
Do đó : 
Đặt : 
Vậy : 
Áp dụng : a=1,b=1 suy ra : c=. Ta có : 
Bài 8 . Tính các tích phân sau .
GIẢI
Đặt : 
Vậy : 
Tính : 
Do đó : . Thay vào (1) : 
Ta có :
Đồng nhất hệ số hai tử số : 
Vậy : 
Chú ý : Ta có thể sử dụng kỹ thuật " Nhẩy tầng lầu " phân tích :
f(x)= 
Bài 9. Tính các tích phân sau .
GIẢI
. 
HỌC SINH CHÚ Ý : Phải sử dụng hai lần đổi biến số .
Đặt : 
Đặt : 
Vậy : 
Đặt : 
Do đó : . Cộng (1) và (2) vế với vế :
Suy ra : 
Vậy : 
Bài 10. Tính các tích phân sau .
GIẢI
. Áp dụng công thức : . Ta có :
Vậy : 
Ta có : 
Tương tự : 
. Sử dụng phương pháp tích phân từng phần ,ta có :
Vậy : 
Bài 11. Tính các tích phân sau :
a. 	b. 
c. Chứng minh : . Từ đó tính : J= 
Giải .
a. 
Đặt : . Vậy : 
b. 
c. 
Đặt : . (đpcm)