Toán - Hệ thống một số phương trình - Hệ phương trình

HỆ THỐNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A.PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA: ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ≠ 0)
Chú ý :- Phương trình bậc lẻ luôn luôn có nghiệm thực
 - Định lý Viete : Nếu phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ≠ 0) có 3 nghiệm x1, x2, x3 thì :                 x1 + x2 + x3 = -b/2a
                    x1x2 + x2x3 + x3x1 = c/a
                    x1x2x3 = -d/a
I. Những dạng thông thường
1. Nếu x = x0 là một nghiệm, ta có thể phân tích thành dạng : 
(x - x0)(ax2 + bx + c) = 0
Đặc biệt :- Nếu a ± b + c ± d = 0 → x = ±1 là nghiệm
 - Nếu (d/a) = (c/b)3 → x = -c/b là nghiệm
2. Phương trình dạng A3 + B3 = (A + B)3
pt ↔ A3 + B3 = A3 + B3 + 3AB(A + B) ↔ AB(A + B) = 0
II. Những dạng tổng quát
1. Phương trình 4x3 - 3x = q
* Với │q│ ≤ 1
- Đặt x = cost , pt trở thành : cos3t = q
- Gọi α là góc thỏa cosα = q, như vậy : cos3t = cosα
- Ta chọn t1 = α/3 ; t2,3 = (α ± 2π)/3
- Kết luận phương trình có 3 nghiệm x1,2,3 = cos t1,2,3
Chú ý rằng bước đặt x = cost là một cách đặt "ép" ẩn phụ, ta không cần chứng minh rằng pt trên luôn có nghiệm nhỏ hơn 1, khi tìm được đủ 3 nghiệm thì ta có thể kết luận ngay.
* Với │q│ > 1 : 
- Ta dễ dàng CM được pt không có nghiệm thuộc [-1;1] và nếu phương trình có nghiệm x0 không thuộc [-1;1] thì x0 là nghiệm duy nhất
- Ta chọn a thuộc R để pt có dạng 4x3 - 3x = ½ (a3 + 1/a3) bằng cách :
   q = ½ (a3 + 1/a3) ↔ a6 - 2qa3 + 1 = 0 (→ tìm được a)
- CM x0 = ½ (a + 1/a) là nghiệm (duy nhất) của phương trình
2. Phương trình 4x3 + 3x = q
- Giả sử phương trình có nghiệm x0, dùng đạo hàm ta CM được x0 là nghiệm duy nhất
- Ta chọn a thuộc R để pt có dạng 4x3 + 3x = ½ (a3 - 1/a3) rồi CM x0 = ½ (a - 1/a) là nghiệm (duy nhất) của phương trình (phương pháp tương tự như trên)
3. Phương trình x3 + px + q = 0 (Công thức Cardan - Tartaglia)
- Đặt x = u - v sao cho uv = p/3
- Từ pt, ta có : (u - v)3 + 3uv(u - v) = u3 - v3 = q
- Hệ phương trình uv = p/3 và u3 - v3 = q cho ta một phương trình trùng phương theo u (hoặc v), từ đó suy ra u,v và tìm được một nghiệm x = u + v
Chú ý rằng trong lúc giải phương trình trùng phương có thể ta gặp nghiệm phức (u hoặc v) nên từ đó phương trình bậc ba còn cho thêm 2 nghiệm phức nữa (đó mới là dạng đầy đủ của công thức trên)
Ngoài ra, các phương trình 4x3 ± 3x = q như trên cũng có thể giải được bằng PP này
4. Phương trình bậc ba tổng quát X3 + AX2 + BX + C = 0
Đặt X = x - A/3, pt trở thành x3 + px + q = 0 (#)
Cách 1 : Giải trực tiếp theo công thức Cardan - Tartaglia
Cách 2 : - Đặt x = kt (k > 0) , (#) trở thành : k3t3 + pkx + q = 0 (chọn k sao cho k3/4 = pk/3 nếu p > 0 hoặc k3/4 = -pk/3 nếu p < 0)
- Phương trình được đưa về dạng 4t3 ± 3t = Q
B.PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN:ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 (a ≠ 0)
I. Những dạng đặc biệt
1/ Pt trùng phương ax4 + bx2 + c = 0: Đặt t = x2 (t ≥ 0), phương trình trở về dạng bậc hai
2/(x + a)4 + (x + b)4 = c: Đặt t = x + ½(a + b), pt có dạng : (t + m)4 + (t - m)4 = c, khai triển sẽ được pt trùng phương
3/ (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m (m ≠ 0) với a + b = c + d
pt ↔ [x2 + (a + b)x + ab].[x2 + (c + d)x + cd] = m
Đặt t = x2 + (a + b)x = x2 + (c + d)x (nếu muốn có thể kèm theo ĐK của t)
Phương trình trở về dạng bậc hai
4/ ax4 + bx3 + cx2 ± kbx + k2a = 0 (a ≠ 0)
- Xét x = 0 có phải nghiệm pt không
- Với x ≠ 0 : Chia 2 vế pt cho x2
pt ↔ a (x2 + k2/x2) + b(x ± k/x) + c = 0
Đặt t = x ± k/x (nếu muốn có thể kèm theo ĐK của t)
5/ a[f2(x) + 1/f2(x)] + b[f(x) ± 1/f(x)] + c = 0
Đặt t = f(x) ± 1/f(x) (tổng quát hơn so với dạng phương trình 4)
6/ a.f2(x) + b.f(x).g(x) + c.g2(x) = 0 (a ≠ 0)
- Với g(x) = 0, pt ↔ f(x) = 0
- Với g(x) ≠ 0, chia 2 vế phương trình cho g2(x)
- Đặt t = f(x)/g(x), pt trở về dạng bậc hai theo t
7/ x = f(f(x)): pt ↔ hệ đối xứng loại 2 : t = f(x) và x = f(t)
* Chú ý : Nếu trong phương trình có chứa tham số, trong vài trường hợp ta có thể đổi vai trò của ẩn và tham số (xét phương trình theo tham số a, tính a theo x rồi suy ra x theo a)
II. Pt bậc 4 tổng quát X4 + AX3 + BX2 + CX + D = 0 (công thức Ferrari)
- Đặt X = x - A/4, phương trình trở về dạng khuyết bậc ba :x4 = ax2 + bx + c
- Cộng 2 vế pt cho 2mx2 + m2 (m thuộc R), ta được :  (x2 + m2)2 = (2m + a)x2 + bx + c + m2
- Xét vế phải pt, ta sẽ chọn m sao cho vế phải là bình phương 1 nhị thức bằng cách :
  ΔVP = b2 - 4(2m + a)(c + m2) : pt bậc ba theo m → luôn có nghiệm thực
- Khi đó pt có dạng : (x2 + m2)2 = f2(x)
C.PTRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI - CĂN THỨC
I. Phương trình - bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối
│A│ = │B│ ↔ A = B hay A = -B
│A│ =  B    ↔ (A ≥ 0 và A = B) hay (A ≤ 0 và -A = B) ↔ (B ≥ 0 và A = B) hay (B ≥ 0 và A = -B)
│A│ < │B│ ↔ A2 < B2 ↔ (A + B)(A - B) < 0
│A│ < B     ↔ (A ≥ 0 và A < B) hay (A ≤ 0 và -A = B) ↔ -B < A < B
│A│ > B     ↔ A B
* Chú ý :│A + B│ = │A│ + │B│ ↔ AB ≥ 0
 │A│ + │B│ = A + B     ↔ A ≥ 0 và B ≥ 0
II. Phương trình - bất phương trình chứa căn
√A = √B ↔ A ≥ 0 (có thể thay bằng B ≥ 0) và A = B
√A = B   ↔ B ≥ 0 và A = B2
3√A = 3√B ↔ A = B
3√A = B  ↔ A = B3
√A 0 và A < B2
√A ≤ B ↔ A ≥ 0 và B ≥ 0 và A ≤ B2
√A > B ↔ (A ≥ 0 và B B2)
√A ≥ B ↔ (A ≥ 0 và B ≤ 0) hay (B > 0 và A ≥ B2)
* Chú ý :  A > B ↔ A2 > B2 với mọi A,B ≥ 0
  A > B ↔ A3 > B3 với mọi A,B thuộc R
- Phương trình f(x) = g(x) , với mọi x thuộc MXĐ của pt, tồn tại M thuộc R sao cho f(x) ≤ M ≤ g(x).   Khi đó pt ↔ f(x) = g(x) = C
- Phương trình 3√A + 3√B = 3√C
   Lấy tam thừa 2 vế của pt và thay (3√A + 3√B) bằng 3√C ta được pt hệ quả :
  A + B + 3√(ABC) = C (sau đó thử lại nghiệm)
D.HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Đặt
- D ≠ 0 : Hệ có nghiệm duy nhất x = Dx/D và y = Dy/D
- D = 0 và (Dx ≠ 0 hay Dy ≠ 0) : hệ vô nghiệm
- D = Dx = Dy = 0 : hệ có vô số nghiệm (theo công thức nghiệm tổng quát)
Nhân tiện mình sẽ trình bày hệ phương trình tuyến tính (n phương trình n ẩn) theo phương pháp Cramer (tham khảo)
Đặt: 
Ta gọi Ai là ma trận được thành lập bằng cách thay phần tử cột i của ma trận A bằng cột của ma trận B (với i = 1,2,....,n)
- Nếu │A│ ≠ 0 ↔ hệ có nghiệm duy nhất (x1, x2, ... , xn) với xi = │Ai│/│A│ 
- Nếu │A│ = 0 và tồn tại │Ai│ ≠ 0 → hệ vô nghiệm
- Nếu │A│ = 0 và với mọi i = 1,2,...,n thỏa │Ai│ = 0 → hệ không có nghiệm duy nhất (hệ vô số nghiệm hoặc vô nghiệm)
II. Những dạng hệ phương trình đặc biệt thường gặp
1. Hệ phương trình đối xứng loại 1
Thông thường,ta đặt S=x+y&P=xy,được hpt theo S,P→ x,y.Chú ý với mỗi (S,P), để tồn tại (x,y) thì phải thỏa : S2 - 4P ≥ 0
2. Hệ phương trình đối xứng loại 2: 
Thông thường,trừ vế với vế 2 pt, ta có pt dạng (x - y).h(x,y) = 0
3. Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2
* Với y = 0 , giải và tìm nghiệm của hệ
* Với y ≠ 0,giả sử (x,y) là 1nghiệm của hệ thì luôn tồn tại 1 số thực k sao cho x = ky
   Thay x = ky ta được hệ 2 pt mới
   Chia 2 pt trên cho nhau ta được một pt chỉ chứa k.
   Tìm được k , suy ra y và x
E.Một số bảng giá trị cần nhớ
Nguyễn Tấn Thành sưu tầm
Nguồn:Olympiavn.org