Toán - Các bài toán bất đẳng thức chọn lọc

 1 
Các ðịnh Lý Hình Học Nổi Tiếng 
“Famous Geometry Theorems” – Dr. Kin-Yin LI 
Khoa Tốn, ðH Khoa Học và Kỹ Thuật Hong Kong 
1. Lời giới thiệu 
Cĩ rất nhiều định lý hình học nổi tiếng. Chúng ta sẽ cùng nhìn lại các định lý này và một vài 
áp dụng của chúng. Trước hết, ta sẽ viết P WX YZ= ∩ để kí hiệu P là giao điểm của hai đường 
thẳng WX và YZ . Nếu các điểm , ,A B C thẳng hàng, ta sẽ qui ước dấu AB AB
BC BC
=


 (vì vậy nếu B 
nằm giữa A và C , thì 0AB
BC
≥ (ngược lại 0AB
BC
≤ )). 
2. Các định lý 
2.1. ðịnh lý Menelaus (Nhà tốn học cổ Hy Lạp (thế kỷ I sau cơng nguyên)) 
Cho tam giác ABC . Các điểm , ,X Y Z lần lượt nằm trên các đường thẳng , ,AB BC CA . Khi đĩ 
, ,X Y Z thẳng hàng . . 1AX BY CZ
XB YC ZA
⇔ =− . 
Chứng minh. ( )⇒ Gọi L là đường thẳng vuơng gĩc với đường thẳng chứa các điểm , ,X Y Z , 
chúng cắt nhau tại O . Gọi ', ', 'A B C lần lượt là chân các đường vuơng gĩc hạ từ các điểm , ,A B C 
xuống đường thẳng L . Khi đĩ, ta cĩ 
' ' '
, ,
' ' '
AX A O BY B O CZ C O
XB OB YC OC ZA OA
= = = . 
Nhân các đẳng thức trên theo từng vế, ta nhận được 
' ' '
. . . . 1
' ' '
AX BY CZ A O B O C O
XB YC ZA OB OC OA
= =− . 
( )⇐ Gọi 'Z XY CA= ∩ . Áp dụng định lý Menelaus (phần thuận) cho đường thẳng qua các 
điểm , , 'X Y Z , ta nhận được 
'
. . 1
'
AX BY CZ
XB YC Z A
=− . 
Từ đĩ suy ra '. . . .
'
AX BY CZ AX BY CZ
XB YC Z A XB YC ZA
= hay '
'
CZ CZ
Z A ZA
= . Do đĩ 'Z Z≡ . 
2.2. ðịnh lý Ceva (Nhà tốn học Ý (1647 – 1734)) 
Cho tam giác ABC . Các điểm , ,D E F lần lượt nằm trên các đoạn thẳng , ,BC CA AB . Khi đĩ 
, ,AD BE CF đồng quy . . 1AF BD CE
FB DC EA
⇔ = 
 2 
 Chứng minh. ( )⇒ Áp dụng định lý Menelaus cho đường thẳng AD (đối với tam giác 
BCE ), ta cĩ 
. . 1BD CA EP
DC AE PB
=− . 
Tiếp tục áp dụng định lý Menelaus cho đường thẳng CF (đối với tam giác ABE ), ta cĩ 
. . 1AF BP EC
FB PE CA
=− . 
Nhân các đẳng thức trên theo từng vế, ta thu được 
. . 1AF BD CE
FB DC EA
= . 
( )⇐ Gọi , 'P AD BE F CP AB= =∩ ∩ . Sử dụng định lý Ceva (phần thuận), ta cĩ 
'
. . 1
'
AF BD CE
F B DC EA
= . 
Từ đĩ suy ra ' '. . . .
' '
AF BD CE AF BD CE
F B DC EA F B DC EA
= hay ' '
' '
AF AF
F B F B
= . Do đĩ 'F F≡ . 
2.3. ðịnh lý Pascal (Nhà tốn học Pháp (1623 – 1662)) 
Cho , , , , ,A B C D E F là các điểm cùng nằm trên một đường trịn (cĩ thể khơng xếp theo thứ tự 
như trên). Gọi , ,P AB DE Q BC EF R CD FA= = =∩ ∩ ∩ . Khi đĩ các điểm , ,P Q R thẳng hàng. 
Chứng minh. Gọi , ,X EF AB Y AB CD Z CD EF= = =∩ ∩ ∩ . Áp dụng định lý Menelaus 
cho các đường thẳng , ,BC DE FA (đối với tam giác XYZ ), ta cĩ 
. . 1, . . 1, . . 1ZQ XB YC XP YD ZE YR ZF XAQX BY CZ PY DZ EX RZ FX AY=− =− =− . 
Nhân các đẳng thức trên, chú ý rằng . . , . . , . .XA XB XE XF YC YD YAYB ZE ZF ZC ZD= = = , được 
. . 1ZQ XP YRQX PY RZ =− . 
Theo định lý Menelaus, ta nhận được các điểm , ,P Q R thẳng hàng. 
2.4. ðịnh lý Newton (Nhà tốn học Anh (1642 – 1727)) 
Một đường trịn nội tiếp tứ giác ABCD , lần lượt tiếp xúc với các cạnh , , ,AB BC CD DA tại 
các điểm , , ,E F G H . Khi đĩ, các đường thẳng , , ,AC EG BD FH đồng quy. 
 3 
Chứng minh. Gọi O EG FH= ∩ và X EH FG= ∩ . Vì D là giao điểm của các tiếp tuyến 
với đường trịn tại ,G H , sử dụng định lý Pascal cho các điểm , , , , ,E G G F H H ta suy ra các điểm 
, ,O D X thẳng hàng. Tương tự, sử dụng định lý Pascal cho các điểm , , , , ,E E H F F G ta suy ra các 
điểm , ,B X O thẳng hàng. Do đĩ, , ,B O D thẳng hàng, vì thế các đường thẳng , ,EG BD FH cắt 
nhau tại O . Chứng minh tương tự, ta cũng nhận được các đường thẳng , ,AC EG FH cắt nhau tại 
O . Do đĩ, các đường thẳng , , ,AC EG BD FH đồng quy tại O . 
2.5. ðịnh lý Desargues (Nhà tốn học Pháp (1593 – 1662)) 
Cho hai tam giác , ' ' 'ABC A B C . Nếu các đường thẳng ', ', 'AA BB CC đồng quy tại điểm O , 
thì các điểm , ,P Q R thẳng hàng, trong đĩ ' ', ' ', ' 'P BC B C Q CA C A R AB A B= = =∩ ∩ ∩ . 
Chứng minh. Áp dụng định lý Menelaus lần lượt cho các đường thẳng ' 'A B đối với tam giác 
OAB ; đường thẳng ' 'B C đối với tam giác OBC , đường thẳng ' 'C A đối với tam giác OCA , ta cĩ 
' ' ' ' ' '
. . 1, . . 1, . . 1
' ' ' ' ' '
OA AR BB OB BP CC AA OC CQ
A A RB B O B B PC C O A O C C QA=− =− =− . 
Nhân các đẳng thức trên theo từng vế, ta thu được 
. . 1AR BP CQ
RB PC QA =− . 
Theo định lý Menelaus, ta suy ra các điểm , ,P Q R thẳng hàng. 
2.6. ðịnh lý Brianchon (?) 
Các đường thẳng , , , , ,AB BC CD DE EF FA tiếp xúc với một đường trịn lần lượt tại các tiếp 
điểm , , , , ,G H I J K L (cĩ thể khơng xếp theo thứ tự như này). Khi đĩ, các đường thẳng ,AD BE 
và CF đồng quy. 
Chứng minh. Gọi ,M AB CD N DE FA= =∩ ∩ . Áp dụng định lý Newton cho tứ giác 
AMDN , suy ra các đường thẳng , ,AD IL GJ đồng quy tại điểm 'A . Tương tự, các đường thẳng 
, ,BE HK GJ đồng quy tại điểm 'B ; các đường thẳng , ,CF HK IL đồng quy tại điểm 'C . Chú ý 
rằng ' 'IL A C≡ . Áp dụng định lý Pascal cho các điểm , , , , ,G G I L L H , suy ra các điểm , ,A O P 
thẳng hàng, trong đĩ ,O GI LH P IL HG= =∩ ∩ . Tiếp tục áp dụng định lý Pascal cho các điểm 
, , , , ,H H L I I G , suy ra , ,C O P thẳng hàng. Do đĩ , ,A C P thẳng hàng. 
Bây giờ ta đặt ' ', ' ', ' 'G AB A B H BC B C P CA IL CA C A= = = =∩ ∩ ∩ ∩ . Áp dụng định lý 
Desargues (phần đảo) cho các tam giác , ' ' 'ABC A B C , suy ra các đường thẳng ' , ' ,AA AD BB BE≡ ≡ 
'CC CF≡ đồng quy. 
Lưu ý rằng, phần đảo của định lý Brianchon cũng đúng. Thật vậy, gọi ' 'O BB CC= ∩ . Xét 
 4 
các tam giác ', 'RBB QCC . Vì các đường thẳng , , ' 'RQ BC B C cắt nhau tại P , và A RB QC= ∩ , 
' 'O BB CC= ∩ , ' ' 'A BR C Q= ∩ , sử dụng định lý Desargues (phần thuận), ta cĩ , , 'A O A thẳng 
hàng. Do đĩ, các đường thẳng ', ', 'AA BB CC đồng quy. 
3. Một số bài tốn áp dụng 
Bài tốn 1. Trong tam giác ABC , M là chân đường vuơng gĩc hạ từ A xuống đường phân 
giác trong của gĩc BCA∠ . ,N L lần lượt là chân các đường vuơng gĩc hạ từ các đỉnh ,A C xuống 
đường phân giác trong của gĩc ABC∠ . Gọi F là giao điểm của các đường thẳng MN và AC , E 
là giao điểm của các đường thẳng BF và CL , D là giao điểm của các đường thẳng BL và AC . 
Chứng minh rằng DE và MN song song với nhau. 
Lời giải. 
Kéo dài AM cắt BC tại ,G kéo dài AN cắt BC tại I . Khi đĩ ,AM MG AN NI= = , suy ra 
MN và BC song song với nhau. Vì AM MG= nên ta cĩ AF FC= . Kéo dài CL cắt AB tại J . 
Khi đĩ JL LC= , suy ra LF và AB song song với nhau. 
Gọi H LF BC= ∩ . Ta cĩ BH HC= . Trong tam giác BLC , các đoạn thẳng , ,BE LH CD cắt 
nhau tại F . Sử dụng định lý Ceva, ta nhận được 
. . 1BH CE LD
HC EL DB
= . 
Vì BH HC= nên CE DB
EL LD
= . Từ đĩ suy ra DE và BC song song với nhau. Do đĩ, DE và 
MN song song với nhau. 
Bài tốn 2. (Macedonia 2001) Cho tam giác ABC nội tiếp trong một đường trịn. Gọi D là 
giao điểm của tiếp tuyến tại A với đường thẳng BC , E là giao điểm của tiếp tuyến tại B với 
đường thẳng CA , F là giao điểm của tiếp tuyến tại C với đường thẳng AB . Chứng minh rằng 
các điểm , ,D E F thẳng hàng. 
Lời giải. Áp dụng định lý Pascal cho các điểm , , , , ,A A B B C C cùng nằm trên đường trịn, dễ 
thấy được các điểm , ,D E F thẳng hàng. 
Bài tốn 3. Cho tam giác ABC nội tiếp trong một đường trịn. ,D E lần lượt là các điểm giữa 
của các cung ,AB AC . Gọi P là một điểm thuộc cung BC , ,Q DP BA R PE AC= =∩ ∩ . Chứng 
minh rằng đường thẳng QR chứa tâm I đường trịn nội tiếp của tam giác ABC . 
Lời giải. 
 5 
Vì D là điểm giữa của cung AB nên đường thẳng CD chia đơi gĩc ACB∠ . Tương tự, đường 
thẳng EB chia đơi gĩc ABC∠ . Do đĩ I CD EB= ∩ . Áp dụng định lý Pascal cho các điểm ,C D , 
, , ,P E B A , ta nhận được các điểm , ,I Q R thẳng hàng. 
Bài tốn 4. (Australia 2001) Cho , , , ', ', 'A B C A B C là các điểm nằm trên một đường trịn sao 
cho 'AA vuơng gĩc BC , 'BB vuơng gĩc CA , 'CC vuơng gĩc AB . Một điểm D nằm trên 
đường trịn. Gọi ' '', ' '', ' ''DA BC A DB CA B DC AB C= = =∩ ∩ ∩ . Chứng minh rằng '', '', ''A B C và 
trực tâm của tam giác ABC thẳng hàng. 
Lời giải. 
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC . Áp dụng định lý Pascal cho các điểm , ', , ', ,A A D C C B , 
ta suy ra , '', ''H A C thẳng hàng. Tương tự, áp dụng định lý Pascal cho các điểm ', , ', , ,B D C C A B , 
ta cũng nhận được '', '',B C H thẳng hàng. Từ đĩ suy ra '', '', '',A B C H thẳng hàng. 
Bài tốn 5. (IMO 1991 unused) Cho tam giác ABC và P là một điểm trong tam giác. Gọi 
1 2,P P lần lượt là chân các đường vuơng gĩc hạ từ P xuống các cạnh ,AC BC . Nối ,AP BP ; từ C 
kẻ các đường vuơng gĩc xuống ,AP BP . Gọi 1 2,Q Q là chân các đường vuơng gĩc này. Giả sử 
rằng 2 1 1 2,Q P Q P≠ ≠ . Chứng minh rằng các đường thẳng 1 2 1 2, ,PQ Q P AB đồng quy. (kí hiệu ≠ chỉ 
các đường thẳng khơng trùng nhau) 
Lời giải. 
Vì 1 2 2 1, , ,CPP CP P CQ P CQ P∠ ∠ ∠ ∠ đều là các gĩc vuơng nên các điểm 1 1 2 2, , , , ,C Q P P P Q cùng 
nằm trên một đường trịn cĩ đường kính là CP . Chú ý rằng 1 1 2 2,A CP PQ B Q P P C= =∩ ∩ . Áp 
dụng định lý Pascal cho các điểm 1 2 1 2, , , , ,C P Q P Q P ta nhận được 1 2 1 2X PQ Q P= ∩ thuộc đường 
thẳng AB . 
Bài tốn 6. (China 2005) Một đường trịn cắt ba cạnh , ,BC CA AB của tam giác ABC tại các 
điểm 1 2 1 2 1 2, ; , ; ,D D E E F F . Các đoạn 1 1 2 2,D E D F cắt nhau tại L , các đoạn 1 1 2 2,E F E D cắt nhau tại 
M , các đoạn 1 1 2 2,FD F E cắt nhau tại N . Chứng minh rằng các đường thẳng , ,AL BM CN đồng quy. 
Lời giải. 
 6 
Gọi 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2, ,P D F D E Q E D E F R F E F D= = =∩ ∩ ∩ . 
• Áp dụng định lý Pascal cho các điểm 2 1 1 1 2 2, , , , ,E E D F F D , ta nhận được , ,A L P thẳng hàng. 
• Áp dụng định lý Pascal cho các điểm 2 1 1 1 2 2, , , , ,F F E D D E , ta nhận được , ,B M Q thẳng hàng. 
• Áp dụng định lý Pascal cho các điểm 2 1 1 1 2 2, , , , ,D D F E E F , ta nhận được , ,C N R thẳng hàng. 
Gọi 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2, ,X E E D F CA D F Y F F E D AB E D Z D D F E BC F E= = = = = =∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ . 
• Áp dụng định lý Pascal cho các điểm 1 1 1 2 2 2, , , , ,D F E E D F , ta nhận được , ,P R X thẳng hàng. 
• Áp dụng định lý Pascal cho các điểm 1 1 1 2 2 2, , , , ,E D F F E D , ta nhận được , ,Q P Y thẳng hàng. 
• Áp dụng định lý Pascal cho các điểm 1 1 1 2 2 2, , , , ,F E D D F E , ta nhận được , ,R Q Z thẳng hàng. 
Xét hai tam giác ,ABC PQR , ta cĩ , ,X CA RP Y AB PQ Z BC QR= = =∩ ∩ ∩ . Áp dụng định 
lý Desargues (phần đảo), ta cĩ , ,AP AL BQ BM CR CN≡ ≡ ≡ là các đường thẳng đồng quy. 
4. Một số bài tốn tự luyện 
Bài 1. Cho tam giác ABC .Gọi E là chân đường vuơng gĩc hạ từ B xuống AC , D là chân 
đường vuơng gĩc hạ từ E xuống BC , F là trung điểm của AB . Chứng minh rằng , ,AD BE CF 
đồng quy khi và chỉ khi 090ABC∠ = 
Bài 2. Cho P là một điểm nằm trong tứ giác lồi ABCD . Các đường phân giác trong của các gĩc 
, , ,APB BPC CPD DPA∠ ∠ ∠ ∠ lần lượt cắt các đường thẳng , , ,AB BC CD DA tại các điểm , , ,K L M N . 
Chứng minh rằng nếu KLMN là hình bình hành thì ,PB PD PA PC= = . 
Bài 3. Cho tam giác ABC vuơng tại C . Về phía ngồi của tam giác ABC , ta lần lượt dựng các 
hình vuơng ,ACMQ BCNP . Chứng minh rằng các đường thẳng ,AP BQ đồng quy với đường cao 
CH của tam giác ABC . 
Bài 4. Cho M là một điểm nằm trên đường trịn nội tiếp tam giác ABC , và R là một điểm bất 
kỳ. Các đường thẳng , ,AR BR CR lần lượt cắt đường trịn nội tiếp tại các điểm 1 1 1, ,A B C . Chứng 
minh rằng giao điểm của các cặp đường thẳng 1 1 1, ; , ; ,MA BC MB CA MC AB thẳng hàng và đường 
thẳng này cũng chứa điểm R . 
Bài 5. Các điểm 1 6,...,A A cùng nằm trên một đường trịn; các điểm , , ,L L M N lần lượt thuộc các 
đường thẳng 1 2 3 4 1 6 4 5, , ,A A A A A A A A sao cho 2 3 3 6 6 5, ,KL A A LM A A MN A A   . Chứng minh rằng 
5 2NK A A . 
Tài liệu tham khảo 
[1]. Kiran S. Kadlaya, “Geometry unbound”, 2006 
[2]. Kin Y. LI, “Famous Geometry Theorems”, Mathematical Excalibur, Vol.10, No.3, 2005 
[3]. Nguyễn Văn Ban, Hồng Chúng “Hình Học Của Tam Giác”, NXB Giáo Dục, 1996 
[4]. Paul Yiu, “Euclidean Geometry”, 1998 
[5]. Viktor Prasolov, “Problems in Plane and Solid Geometry”, 2001 
Người dịch: Cao Minh Quang 
GV THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long, Việt Nam 
E-mail: kt13quang@yahoo.com