Phương pháp giải một số bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối

1. Tên sáng kiến: 
Phương pháp giải một số bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối.
2. Họ và tên: Lưu Tuấn Nghĩa 
3. Trình độ chuyên môn: Đại học Toán 
4. Nơi công tác: Trường PTTHCS Chất lượng cao Hải Hậu
5. Đơn vị áp dụng sáng kiến: 
HS lớp 7 Trường PTTHCS Chất lượng cao Hải Hậu
6. Giải pháp:






























Điều kiện, hoàn cảnh
tạo ra sáng kiến

 

 Toán học là một môn khoa học cơ bản, có liên quan đến nhiều nghành, nhiều lĩnh vực khác nhau. Các thành tựu của toán học luôn góp phần to lớn vào việc cải tạo tự nhiên, đem lại lợi ích phục vụ cho cuộc sống của loài người ngày một tốt đẹp hơn. 
 Dạy học toán là nhằm trang bị cho học sinh một hệ thống tri thức khoa học phổ thông cơ bản tạo điều kiện cho các em được hình thành và phát triển các phẩm chất, năng lực trí tuệ, đồng thời trang bị cho các em một hệ thống tri thức đảm bảo đủ để nghiên cứu và khám phá thế giới xung quanh, góp phần cải tạo thế giới, cải tạo thiên nhiên mang lại cuộc sống ấm no hạnh phúc cho mọi người.
 Trong quá trình dạy học toán, đặc biệt là dạy các vấn đề toán học có liên quan đến phần giá trị tuyệt đối cho học sinh, bản thân tôi thấy rằng, đứng trước những vấn đề toán học nêu trên học sinh thường lúng túng, đôi khi có phần e ngại, vì đây là một phạm trù kiến thức tương đối trừu tượng và phức tạp. Thực tế cho thấy, những vấn đề toán học có liên quan đến giá trị tuyệt đối lại có ứng dụng rất rộng rãi, đặc biệt là các ưu thế trong việc rèn luyện các phẩm chất và năng lực toán học cho học sinh. Với những lí do nêu trên tôi quyết định đisâuvào nghiên cứu chuyên đề:
“ Phương pháp giải một số bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối” nhằm giúp các em hiểu rõ hơn, đặc biệt là giúp cho các em nắm vững, vận dụng linh hoạt các phương pháp giải một số dạng bài tập có chứa dấu giá trị tuyệt đối.














các giải pháp thực hiện

I. một số vấn đề cơ bản 
1. Định nghĩa 
Giá trị tuyệt đối của một số thực x là khoảng cách từ điểm x đến điểm 0 trên trục số, kí hiệu , được xác định như sau:
 
Nhận xét: 
* Giá trị tuyệt đối của một số thực x thực chất là một ánh xạ
 
* Với mọi số thực x ta luôn biểu diễn x thành tổng của số thực không âm và số thực không dương, nghĩa là:
 
* Với f(x) là một biểu thức tuỳ ý ta cũng có:
 
2. Tính chất :

3. Một số định lí về giá trị tuyệt đối:
3.1) Định lí 1. 
Nếu x, y là hai số thực thì:
Chứng minh :
Ta có:

Dấu “ = ” xảy ra xy = 0
3.2) Định lí 2.
Nếu x, y là hai số thực thì: 
Chứng minh:

II. Biến đổi các biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối 
1. Mục đích biến đổi 
Biến đổi các biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối là nhằm thay đổi chúng bằng những biểu thức tương đương không chứa giá trị tuyệt đối, nói cách khác là nhằm loại trừ các dấu giá trị tuyệt đối khỏi các biểu thức để có thể tiến hành các phép tính đại số quen biết. Thông thường, ta sẽ được các biểu thức khác nhau ( không chứa giá trị tuyệt đối ) trong những khoảng khác nhau.
2. Phương pháp biến đổi 
Muốn biến đổi các biểu thức có chứa giá trị tuyệt đối thì phải căn cứ vào:
a) Định nghĩa giá trị tuyệt đối, tính chất và định lí đã nêu ở trên.
b) Quy tắc về dấu của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai như sau:
* Nhị thức bậc nhất ax + b ( a 0) cùng dấu với a khi và trái dấu với a khi 
Thật vậy: Gọi x0 là nghiệm của nhị thức ax + b thì x0 = 
Xét 
* Tam thức bậc hai ax2 + bx + c ( a 0 ) trái dấu với a trong khoảng giữa hai nghiệm ( nếu có ), cùng dấu với a trong mọi trường hợp khác.
3. Bài tập ví dụ
Ví dụ 1. Cho x, y là hai số thực; x, y 0; x y. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào x và y: 
Giải
 Xét 2 trường hợp: x và y cùng dấu ( xy > 0); x và y trái dấu ( xy < 0)
*) xy > 0 
-) x và y cùng dương: P = 1 + 
-) x và y cùng âm: P = 1 + 
*) xy < 0 
-) x > 0; y < 0 
 P = - 1 + 
-) x 0 
 P = - 1 + 
Kết luận: Trong mọi trường hợp ta đều có: P = 1
Nhận xét: Trong lời giải trên ta đã sử dụng cách xác định giá trị tuyệt đối của một số: để tính giá trị của biểu thức P.
Ví dụ 2. Rút gọn biểu thức 

Giải
Ta có 
Xét hai trường hợp ứng với hai khoảng giá trị của biến x:
a) Nếu x 5 thì A = 3(2x – 1 ) – ( x – 5 ) = 5x + 2
b) Nếu x 5 thì A = 3(2x – 1 ) – ( - x + 5 ) = 7x – 8 
Ví dụ 3. Rút gọn biểu thức 
Giải
Ta có 
Xét 3 trường hợp ứng với ba khoảng giá trị của biến x:
a) Nếu x < 2 thì B = (2 – x ) – ( 3 – x ) = -1 
b) Nếu 2 x 3 thì B = (x – 2) – (3 – x ) = 2x – 5 
c) Nếu x > 3 thì B = (x – 2) – (x – 3 ) = 1
v Nhận xét: Giá trị tuyệt đối của một biểu thức bằng chính nó ( nếu biểu thức không âm ) hoặc bằng biểu thức đối của nó ( nếu biểu thức âm ). Vì thế khi khử dấu giá trị tuyệt đối của một biểu thức, cần xét giá trị của biến làm cho biểu thức dương hay âm. Dấu của các biểu thức thường được viết trong bảng xét dấu, chẳng hạn đối với bài toán trên ta có bảng xét dấu như sau:
x
 2 3
x – 2
 - 0 + 
 + 
x – 3
 - 
 - 0 +





III. giải phương trình bậc nhất chứa dấu giá trị tuyệt đối
Phương pháp chung để giải phương trình bậc nhất chứa dấu giá trị tuyệt đối là biến đổi phương trình đó thành một phương trình mới tương đương không còn chứa dấu giá trị tuyệt đối. Bằng cách xét các khoảng giá trị của biến để lập bảng xét dấu rồi khử dấu giá trị tuyệt đối.
Ví dụ 4: Tìm x biết rằng (1)
v Nhận xét: Như trên chúng ta đã biến đổi được biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối thành các biểu thức không chứa dấu giá trị tuyệt đối. Vậy ta sẽ biến đổi biểu thức ở vế trái của đẳng thức trên. Từ đó sẽ tìm được x
Giải
Xét x – 1 = 0 x = 1; x – 1 0 x > 1
 x- 3 = 0 x = 3; x – 3 0 x > 3
Ta có bảng xét dấu các đa thức x- 1 và x- 3 dưới đây:

x
 1 3
x – 1
 - 0 + 
 + 
x – 3
 - 
 - 0 +

 
 


Xét khoảng x < 1 ta có: (1) (1 – x ) + ( 3 – x ) = 2x – 1 
 -2x + 4 = 2x – 1 
 x = (giá trị này không thuộc khoảng đang xét)
Xét khoảng 1 x 3 ta có: 
 (1) (x – 1 ) + ( 3 – x ) = 2x – 1 
 2 = 2x – 1 
 x = ( giá trị này thuộc khoảng đang xét)
Xét khoảng x > 3 ta có: (1) (x – 1 ) + (x – 3 ) = 2x – 1
 - 4 = -1 ( Vô lí)
Kết luận: Vậy x = . 

v Như vậy trong lời giải trên chúng ta đã dùng phương pháp lập bảng xét dấu. Sau đây ta xét một số dạng đặc biệt. Trong những dạng này, để tìm x ngoài phương pháp chung đã nêu ở trên ta còn có thể giải bằng cách khác đơn giản hơn.

Dạng 1. ( a là hằng số dương)
Ta lần lượt xét .
Mỗi lần tìm được một giá trị của x ta được 1 đáp số

Ví dụ 5: Tìm x biết: 
Giải
Ta có: 
Vậy x1 = 3; x2 = -2 
Dạng 2. 
Ta phải tìm x thoả mãn cả hai điều kiện
 

Ví dụ 6: Tìm x biết rằng: 
Giải 
Ta có 






Kết luận: Vậy 

Dạng 3. 
Ta phải tìm x thoả mãn một trong hai điều kiện 

Ví dụ 7: Tìm x biết: 
Giải
Ta có 
Kết luận :Vậy x1= -1; x2 = 1

Dạng 4. 
Ta phải tìm x thoả mãn cả hai điều kiện: 

Ví dụ 8: Tìm x biết rằng: 
Giải

Kết luận: Vậy x = 3.
v Chú ý: Trong một số bài, ngoài những cách giải như trên ta còn có thể giải nhờ những nhận xét đặc biệt. 
Ví dụ 9: Tìm x thoả mãn (*)


v Như vậy trong lời giải trên ta đã sử dụng kiến thức và nếu để biến đổi biểu thức chứa giá trị tuyệt đối, từ đó tìm được x. Và lời giải này chắc chắn sẽ ngắn gọn hơn cách lập bảng xét dấu.
Ví dụ10. Tìm x, y trong đẳng thức sau:

Giải

Vậy x = 2 và y = 3.


IV. bất phương trình bậc nhất có chứa dấu giá trị tuyệt đối 
Phương pháp chung để giải bất phương trình bậc nhất chứa dấu giá trị tuyệt đối là biến đổi bất phương trình đó thành một bất phương trình mới tương đương không còn chứa dấu giá trị tuyệt đối. Bằng cách xét các khoảng giá trị của biến để lập bảng xét dấu rồi khử dấu giá trị tuyệt đối. Sau đó giải các bất phương trình không còn chứa giá trị tuyệt đối trong các khoảng. Cuối cùng tổng hợp các kết quả để có toàn bộ nghiệm của bất phương trình.
Ví dụ 11. Tìm x biết rằng: (2)
Giải
Lập bảng xét dấu ( như ví dụ 4)
x
 1 3
x – 1
 - 0 + 
 + 
x – 3
 - 
 - 0




 Với x <1 ta có (2) (1 – x ) + (3 – x ) < x + 1 -3x < -3 
x > 1 ( các giá trị này không thuộc khoảng đang xét)
Với 1 x 3 ta có ( 2) (x – 1 ) + (3 – x ) < x + 1 2 < x + 1 
 x > 1. Ta được các giá trị 1 < x 3 (3) 
Với x > 3 ta có ( 2) (x – 1 ) + (x – 3 ) < x + 1 2x- 4 < x + 1 
x < 5. Ta được các giá trị 3 < x < 5 (4)
Kết luận: Kết hợp (3) và (4) ta được các giá trị cần tìm của x là: 
1 < x < 5.
v Nhận xét: Trong một số trường hợp, có thể giải nhanh hơn cách dùng phương pháp chung nói trên. Sau đây ta xét một số dạng đặc biệt:
Dạng 1. Với a là hằng số dương 
 
Ví dụ 12. Tìm x biết: a) 
 b) 
Giải
a) Ta có 
Kết luận: Vậy . 
b) Ta có 
Kết luận:Vậy 
Dạng 2. 
 
Ví dụ 13. Tìm x biết a) 
 b) 
Giải.
 

Dạng 3. 


Ví dụ 14. Tìm x biết 
Giải:


V. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
1. Kiến thức cần thiết: 
 a, ẵf (x)ẵ = f (x) nếu f (x) 0 
 ẵf (x)ẵ = - f (x) nếu f (x) 0
 b, ẵf (x)ẵ+ ẵg (x)ẵ ẵf (x) + g (x)ẵ dấu “=” xảy ra f (x). g (x) 0 
 c, ẵf (x)ẵ - ẵg (x)ẵ ẵf (x) - g (x)ẵ dấu “ = ” xảy ra f (x). g (x) 0
Chứng minh:
 a, Luôn đúng theo định nghĩa
 b, Với mọi f (x), g (x) ta luôn có
 - ẵf (x)ẵ f (x) ẵf (x)ẵ
 - ẵg (x)ẵ g (x) ẵg (x)ẵ
Từ đó suy ra 
 - (ẵf (x)ẵ + ẵg (x)ẵ) f (x) + g (x) ẵf (x)ẵ + ẵg (x)ẵ 
 ẵ f (x) + g (x)ẵ ẵf (x)ẵ + ẵg (x)ẵ
 Dấu đẳng thức xảy ra f (x) và g (x) cùng dấu f (x).g (x) 0
 c) Từ b) ẵf (x)ẵ = ẵ(f (x) - g (x)) + g (x)ẵ ẵf (x) –g (x)ẵ + ẵg (x)ẵ
 ẵf (x)ẵ -ẵg (x)ẵ ẵf (x) - g (x)ẵ
 Dấu đẳng thức xảy ra f (x) . g (x) 0
 Nhận xét: Việc chứng minh câu b, c có thể bình phương hai vế như cách chứng minh định lí 1 và 2
2. Các ví dụ
Ví dụ 15: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
 A = ẵx - 1996ẵ + ẵ x - 2000ẵ
Giải
 Cách 1: Chia khoảng để xét.
 Nếu x < 1996 thì A = - x + 1996 - x + 2000 = 3996 - 2x
 Do x - 3992
 A = 3996 - 2x > 3996- 3992 = 4 A> 4 (1)
 Nếu 1996 x 2000 thì A = x- 1996 + 2000- x = 4 (2)
 Nếu x > 2000 thì A = x - 1996 + x - 2000 = 2x- 3996
 x > 2000 2x > 4000 2x- 3996 > 4000- 3996
 A > 4 (3) 
 Từ (1), (2), (3) A đạt giá trị nhỏ nhất là 4 1996 x 2000
 Cách 2: áp dụng bất đẳng thức
 ẵxẵ + ẵyẵẵx +yẵ dấu “ = ” xảy ra khi xy 0
 Ta có: A = ẵx- 1996ẵ + ẵx- 2000ẵ
 = ẵx- 1996ẵ + ẵ2000- xẵ ẵx - 1996 - x +2000ẵ = 4
 Vậy A 4 
Dấu “ = ” xảy ra (x - 19996) (2000 - x) 0 
 Lập bảng xét dấu
x
 1996 2000
x- 1996
 - 0 + ẵ +
2000- x
 + ẵ + 0 -
(x-1996) (2000- x)
 - 0 + 0 -

 (x- 1996) (2000- x) 0 1996 x 2000
 Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 4 1996 x 2000
Ví dụ 16: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 A = ẵx +1ẵ + ẵ2x + 5ẵ + ẵ3x- 8ẵ
v Nhận xét: Từ bất đẳng thức ẵf (x)ẵ + ẵg (x)ẵ ẵf (x) + g (x)ẵ
 Ta mở rộng được:ẵf (x)ẵ +ẵg (x)ẵ +...+ẵh(x)ẵẵf (x) +g (x)+...+ h(x)ẵ
 Ví dụ 17: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
 -2
Giải:
Ta có B đạt giá trị nhỏ nhất đạt giá trị nhỏ nhất
 Đặt ta có f(x) < 0 x vì 

 Dấu “ = ” xảy ra x = vậy 
 vì max f(x) = - x = 
 nên min ẵf(x)ẵ = x = 
 do đó min B = - 2 = - x = 
3. Bài tập ứng dụng:
Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất (nếu có) của các biểu thức sau:
 A = ẵ2x- 3ẵ
 B = ẵ5- 3xẵ + 2
 C = 5 ẵ1- 4xẵ - 1
 D = ẵx -1ẵ + ẵx- 4ẵ
 E = 5 - ẵ2x -1ẵ
 H = 
 K = ẵx- 1ẵ + ẵx + 2ẵ + ẵx + 3ẵ + ẵ x + 15ẵ + ẵx- 16ẵ
 L = ẵx- a1ẵ + ẵx- a2ẵ + ... + ẵx- a2m - 1ẵ
 Trong đó a1, a2,..., a2m – 1 cho trước
VI. Đồ thị Hàm số chứa giá trị tuyệt đối 
Trong chương trình toán lớp 7, phần hàm số mới là mở đầu cho chương trình hàm số ở chương trình toán THCS. Đối với đồ thị hàm số học sinh đã biết cách vẽ đồ thị hàm số y = ax (a 0). Đó là đường thẳng đi qua gốc toạ độ và điểm A( 1;a).
Để vẽ đồ thị hàm số có chứa giá trị tuyệt đối, cũng như trên ta phải biến đổi các biểu thức chứa giá trị tuyệt đối. Sau đó tiến hành vẽ đồ thị theo cách đã biết.

Ví dụ18. Vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) y = 
b) 
c) 

O
-1
1
y
x
1
Hình 1 
Giải
a) Ta có y = 
Với x 0 thì đồ thị hàm số y = x là tia phân giác
của góc phần tư thứ I 
Với x 0 thì đồ thị hàm số y = - x là tia phân giác
của góc phần tư thứ II 
Đồ thị của hàm số y = gồm hai tia phân giác 
O
1
y
x
1
A
x’
Hình 2 
của các góc I và II như trên hình 1.

b) Với x 0 thì y = x 
 Với x < 0 thì y = 0
Đồ thị của hàm số gồm hai tia O x’ và OA 
như hình 2.

c)Với x > 0 thì y = 1 
Với x < 0 thì y = - 1
O
-1
y
x
1
A
z
B
Hình 3

Đồ thị hàm số gồm hai tia Az và Bt
 như trên hình 3.
( ở đây dấu mũi tên nói rằng hai điểm A và B
không thuộc đồ thị )



t





7. Kết luận 
 Nhờ áp dụng kinh nghiệm đã trình bày ở trên kết quả môn toán phần giá trị tuyệt đối do tôi giảng dạy được nâng cao rõ rệt. Học sinh tích cực hoạt động và tự tin khi giải toán, linh hoạt sáng tạo trong tìm tòi lời giải. Từ đó kích thích nhiều học sinh vươn lên học khá, giỏi bộ môn.
Kinh nghiệm trên đã giúp nhiều học sinh tự tìm tòi được nhiều lời giải hay, độc đáo với những bài toán nâng cao và đạt giải cao trong các kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện. 
Ngoài ra kinh nghiệm trên có tác dụng tốt với học sinh học các môn khoa học khác.
8. Kiến nghị, đề xuất
Để có thể dạy - học tốt và bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán ở trường THCS tôi xin khuyến nghị một số vấn đề sau:
1, Toán học là bộ môn văn hoá cơ bản trong nhà trường phổ thông do đó cần phải có nhận thức đúng đắn về vai trò, vị trí của nó trong cấu trúc chương trình. 
2, Tạo điều kiện về cơ sở vật chất, trang thiết bị, phương tiện dạy - học để việc tổ chức tiết học đạt hiệu quả.
3, Nhân rộng và phổ biến những kinh nghiệm hay mô hình tốt có hiệu quả thiết thực.
4, Đầu tư kinh phí hợp lý cho công tác nghiên cứu thực tế, nắm tốt thông tin từ giáo viên và học sinh, đề ra những chủ trương, biện pháp khả thi thiết thực. 
Với hướng suy nghĩ như trên tôi đã hướng dẫn học sinh giải một số bài toán có chứa giá trị tuyệt đối đạt hiệu quả cao. Vì điều kiện chưa thể tiếp tục trình bày thêm, chắc chắn không tránh khỏi thiếu khuyết về cấu trúc, về ngôn ngữ và cả về những kiến thức khoa học. Xin trân trọng cảm ơn mọi sự góp ý chân thành ./.

Đánh giá, xếp loại của cơ quan Yên Định Ngày 10/5/2008
 Tác giả sáng kiến 
Lưu Tuấn Nghĩa