Luyện thi Đại học - Bất đẳng thức

LUYỆN THI ĐH 
( PHAM VAN TUAN) 
Trường THPT 
Tõn Hiệp 
Math 
Tuan 
PHAM VAN TUAN 
Mathtuanth..kt.. 
Tổ-TOÁN TRƯỜNG THPT TÂN HIỆP 
 1 
LUYỆN TẬP CĂN BẢN 
 I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tớnh chất cơ bản: 
1. Cho a, b > 0 chứng minh: 
  
  
 
33 3
a b a b
2 2
2. Chứng minh: 
 

2 2
a b a b
2 2
3. Cho a + b  0 chứng minh: 
 

3 3
3
a b a b
2 2
4. Cho a, b > 0 . Chứng minh:   
a b
a b
b a
5. Chứng minh: Với a  b  1:  
 2 2
1 1 2
1 ab1 a 1 b
6. Chứng minh:       2 2 2a b c 3 2 a b c ; a , b , c  R 
7. Chứng minh:         2 2 2 2 2a b c d e a b c d e 
8. Chứng minh:     2 2 2x y z xy yz zx 
9. a. Chứng minh: 
   
 
a b c ab bc ca
; a,b,c 0
3 3
 b. Chứng minh: 
    
  
 
22 2 2
a b c a b c
3 3
10. Chứng minh:     
2
2 2a
b c ab ac 2bc
4
11. Chứng minh:     2 2a b 1 ab a b 
12. Chứng minh:     2 2 2x y z 2xy 2xz 2yz 
13. Chứng minh:       4 4 2 2x y z 1 2xy(xy x z 1) 
14. Chứng minh: Nếu a + b  1 thỡ:  3 3
1
a b
4
15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giỏc. Chứng minh: 
 a. ab + bc + ca  a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca). 
 b. abc  (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) 
 c. 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 – a4 – b4 – c4 > 0 
 II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CễSI: 
1. Chứng minh:     (a b)(b c)(c a) 8abc ; a,b,c 0 
2. Chứng minh:      2 2 2(a b c)(a b c ) 9abc ; a,b,c 0 
BẤT ĐẲNG THỨC 
Tổ-TOÁN TRƯỜNG THPT TÂN HIỆP 
 2 
3. Chứng minh:          
3
3
1 a 1 b 1 c 1 abc với a , b , c  0 
4. Cho a, b > 0. Chứng minh: 
   
      
   
m m
m 1a b
1 1 2
b a
 , với m  Z+ 
5. Chứng minh:      
bc ca ab
a b c ; a,b,c 0
a b c
6. Chứng minh: 

  
6 9
2 3x y
3x y 16 ; x,y 0
4
7. Chứng minh:   

4 2
2
1
2a 3a 1
1 a
. 
8. Chứng minh:   1995a 1995 a 1 , a > 0 
9. Chứng minh:           2 2 2 2 2 2a 1 b b 1 c c 1 a 6abc . 
10. Cho a , b > 0. Chứng minh: 
 
     
   2 2 2 2 2 2
a b c 1 1 1 1
2 a b ca b b c a c
11. Cho a , b  1 , chứng minh:    ab a b 1 b a 1. 
12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. Chứng minh: xyz  64(x – 1)(y – 
1)(z – 1) 
13. Cho a > b > c, Chứng minh:     3a 3 a b b c c . 
14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh: 
 a) b + c  16abc. 
 b) (1 – a)(1 – b)(1 – c)  8abc 
 c) 
   
      
   
1 1 1
1 1 1 64
a b c
15. Cho x > y > 0 . Chứng minh: 
 
 

1
x 3
x y y
16. Chứng minh: 
 a) 



2
2
x 2
2
x 1
 ,x  R b) 



x 8
6
x 1
 , x > 1 c) 



2
2
a 5
4
a 1
17. Chứng minh: 
 
   
  
ab bc ca a b c
; a, b, c 0
a b b c c a 2
18. Chứng minh:  
 
2 2
4 4
x y 1
41 16x 1 16y
 , x , y  R 
19. Chứng minh:   
  
a b c 3
b c a c a b 2
 ; a , b , c > 0 
20. Cho a , b , c > 0. C/m: 
Tổ-TOÁN TRƯỜNG THPT TÂN HIỆP 
 3 
  
     3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
abca b abc b c abc c a abc
21. Áp dụng BĐT Cụsi cho hai số chứng minh: 
 a.     4a b c d 4 abcd với a , b , c , d  0 (Cụsi 4 số) 
 b.    3a b c 3 abc với a , b , c  0 , (Cụsi 3 số ) 
22. Chứng minh:     3 3 3 2 2 2a b c a bc b ac c ab ; a , b , c > 0 
23. Chứng minh:   3 942 a 3 b 4 c 9 abc 
24. Cho  
x 18
y
2 x
 , x > 0. Định x để y đạt GTNN. 
25. Cho   

x 2
y ,x 1
2 x 1
 . Định x để y đạt GTNN. 
26. Cho    

3x 1
y , x 1
2 x 1
 . Định x để y đạt GTNN. 
27. Cho   

x 5 1
y ,x
3 2x 1 2
 . Định x để y đạt GTNN. 
28. Cho  

x 5
y
1 x x
 , 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN. 
29. Cho 


3
2
x 1
y
x
 , x > 0 . Định x để y đạt GTNN. 
30. Tỡm GTNN của 
 

2
x 4x 4
f(x)
x
 , x > 0. 
31. Tỡm GTNN của  2
3
2
f(x) x
x
 , x > 0. 
32. Tỡm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x) 
33. Cho y = x(6 – x) , 0  x  6 . Định x để y đạt GTLN. 
34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3  x  
5
2
 . Định x để y đạt GTLN 
35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) ,   
5
x 5
2
 . Định x để y đạt GTLN 
36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , 
1
2
  x  
5
2
 . Định x để y đạt GTLN 
37. Cho 
2
x
y
x 2
 . Định x để y đạt GTLN 
38. Cho 
 


2
3
2
x
y
x 2
 . Định x để y đạt GTLN 
III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacụpxki 
Tổ-TOÁN TRƯỜNG THPT TÂN HIỆP 
 4 
1. Chứng minh: (ab + cd)2  (a2 + c2)(b2 + d2) BĐT Bunhiacopxki 
2. Chứng minh:  sinx cosx 2 
3. Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a2 + 4b2  7. 
4. Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a2 + 5b2  
725
47
. 
5. Cho 3a – 5b = 8. Chứng minh: 7a2 + 11b2  
2464
137
. 
6. Cho a + b = 2. Chứng minh: a4 + b4  2. 
7. Cho a + b  1 Chứng minh:  2 2
1
a b
2
LỜI GIẢI: 
I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tớnh chất cơ bản: 
1. Cho a, b > 0 chứng minh: 
  
  
 
33 3
a b a b
2 2
 (*) 
 (*)  
  
  
 
33 3
a b a b
0
2 2
      
23
a b a b 0
8
. ĐPCM. 
2. Chứng minh: 
 

2 2
a b a b
2 2
 () 
  a + b  0 , () luụn đỳng. 
  a + b > 0 , ()  
  
 
2 2 2 2
a b 2ab a b
0
4 2
  
 

2
a b
0
4
 , 
đỳng. 
 Vậy: 
 

2 2
a b a b
2 2
. 
3. Cho a + b  0 chứng minh: 
 

3 3
3
a b a b
2 2
  
  

3 3 3
a b a b
8 2
      2 23 b a a b 0        23 b a a b 0 , ĐPCM. 
4. Cho a, b > 0 . Chứng minh:   
a b
a b
b a
 () 
 ()    a a b b a b b a        a b a a b b 0 
      a b a b 0       
2
a b a b 0 , ĐPCM. 
5. Chứng minh: Với a  b  1:  
 2 2
1 1 2
1 ab1 a 1 b
 () 
     
  2 2
1 1 1 1
0
1 ab 1 ab1 a 1 b

     
 
 
   
2 2
2 2
ab a ab b
0
1 a 1 ab 1 b 1 ab
Tổ-TOÁN TRƯỜNG THPT TÂN HIỆP 
 5 
  
 
  
 
  
 
 
   2 2
a b a b a b
0
1 a 1 ab 1 b 1 ab
  
  
     2 2
b a a b
0
1 ab 1 a 1 b
  
  
    
     
2 2
2 2
b a a ab b ba
0
1 ab 1 a 1 b
  
   
   
 

  
2
2 2
b a ab 1
0
1 ab 1 a 1 b
 , ĐPCM. 
  Vỡ : a  b  1  ab  1  ab – 1  0. 
6. Chứng minh:       2 2 2a b c 3 2 a b c ; a , b , c  R 
            
2 2 2
a 1 b 1 c 1 0 . ĐPCM. 
7. Chứng minh:         2 2 2 2 2a b c d e a b c d e 
             
2 2 2 2
2 2 2 2a a a a
ab b ac c ad d ae e 0
4 4 4 4
  
       
              
       
2 2 2 2
a a a a
b c d e 0
2 2 2 2
. ĐPCM 
8. Chứng minh:     2 2 2x y z xy yz zx 
       2 2 22x 2y 2z 2xy 2yz 2zx 0 
            2 22x y x z y z 0 
9. a. Chứng minh: 
   
 
a b c ab bc ca
; a,b,c 0
3 3
      2 2 2a b c ab bc ca 
  
         
  
 
2 2 2 2
a b c a b c 2ab 2bc 2ca ab bc ca
3 9 3
  
   

a b c ab bc ca
3 3
 b. Chứng minh: 
    
  
 
22 2 2
a b c a b c
3 3
            2 2 2 2 2 2 2 2 23 a b c a b c 2 a b c 
            
22 2 2
a b c 2 ab bc ca a b c 
  
    
  
 
22 2 2
a b c a b c
3 3
10. Chứng minh:     
2
2 2a
b c ab ac 2bc
4
        
2
2 2a
a b c b c 2bc 0
4
   
 
   
 
2
a
b c 0
2
. 
Tổ-TOÁN TRƯỜNG THPT TÂN HIỆP 
 6 
11. Chứng minh:     2 2a b 1 ab a b 
       2 22a 2b 2 2ab 2a 2b 0 
          2 2 2 2a 2ab b a 2a 1 b 2b 1 0 
            
2 2 2
a b a 1 b 1 0 . 
12. Chứng minh:     2 2 2x y z 2xy 2xz 2yz 
       2 2 2x y z 2xy 2xz 2yz 0  (x – y + z)2  0. 
13. Chứng minh:       4 4 2 2x y z 1 2x(xy x z 1) 
         4 4 2 2 2 2x y z 1 2x y 2x 2xz 2x 0 
            
2
2 22 2
x y x z x 1 0 . 
14. Chứng minh: Nếu a + b  1 thỡ:  3 3
1
a b
4
  a + b  1  b  1 – a  b3 = (1 – a)3 = 1 – a + a2 – a3 
  a3 + b3 = 
 
   
 
2
1 1 1
3 a
2 4 4
. 
15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giỏc. Chứng minh: 
 a. ab + bc + ca  a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca). 
  ab + bc + ca  a2 + b2 + c2  (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2 
       a b c , b a c , c a b 
    2 2 2a b 2bc c ,   2 2 2b a 2ac c , 
  2 2 2c a 2ab b 
  a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca). 
 b. abc  (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) 
     
22 2
a a b c        2a a c b a b c 
     
22 2
b b a c        2b b c a a b c 
     
22 2
c c a b        2c b c a a c b 
             
2 2 22 2 2
a b c a b c a c b b c a 
           abc a b c a c b b c a 
 c. 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 – a4 – b4 – c4 > 0 
  4a2b2 + 2c2(b2 + a2) – a4 – b4 – 2a2b2 – c4 > 0 
  4a2b2 + 2c2(b2 + a2) – (a2 + b2)2 – c4 > 0 
  (2ab)2 – [(a2 + b2) – c2]2 > 0  [c2 – (a – b)2][(a + b)2 – c2] > 0 
  (c – a + b)(c + a – b)(a + b – c)(a + b + c) > 0 . đỳng 
  Vỡ a , b , c là ba cạnh của tam giỏc 
  c – a + b > 0 , c + a – b > 0 , a + b – c > 0 , a + b + c > 0. 
Tổ-TOÁN TRƯỜNG THPT TÂN HIỆP 
 7 
II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CễSI: 
1. Chứng minh:     (a b)(b c)(c a) 8abc ; a, b, c 0 
  Áp dụng bất đẳng thức Cụsi cho hai số khụng õm: 
   a b 2 ab ,  b c 2 bc ,  a c 2 ac 
         2 2 2a b b c a c 8 a b c 8abc . 
2. Chứng minh:      2 2 2(a b c)(a b c ) 9abc ; a,b,c 0 
  Áp dụng bất đẳng thức Cụsi cho ba số khụng õm: 
     3a b c 3 abc ,   
32 2 2 2 2 2
a b c 3 a b c 
         32 2 2 3 3 3a b c a b c 9 a b c 9abc . 
3. Chứng minh:          
3
3
1 a 1 b 1 c 1 abc , với a , b , c  0. 
               1 a 1 b 1 c 1 a b c ab ac bc abc. 
     3a b c 3 abc ,    3 2 2 2ab ac bc 3 a b c 
               
3
3 2 2 23 3
1 a 1 b 1 c 1 3 abc 3 a b c abc 1 abc 
4. Cho a, b > 0. Chứng minh: 
   
      
   
m m
m 1a b
1 1 2
b a
 , với m  Z+ 
  

         
                 
         
 
m m m m m
m m 1
a b a b b a
1 1 2 1 . 1 2 2
b a b a a b
2 4 2
5. Chứng minh:      
bc ca ab
a b c ; a, b, c 0
a b c
  Áp dụng BĐT Cụsi cho hai số khụng õm: 
   
2
bc ca abc
2 2c
a b ab
,   
2
bc ba b ac
2 2b
a c ac
 , 
   
2
ca ab a bc
2 2a
b c bc
      
bc ca ab
a b c
a b c
. 
6. Chứng minh: 

  
6 9
2 3x y
3x y 16 ; x,y 0
4
 () 
 ()    6 9 2 3x y 64 12x y       
3 3
2 3 3 2 3
x y 4 12x y 
 Áp dụng BĐT Cụsi cho ba số khụng õm: 
       
3 3
2 3 3 2 3 2 3
x y 4 3x y 4 12x y . 
Tổ-TOÁN TRƯỜNG THPT TÂN HIỆP 
 8 
7. Chứng minh:   

4 2
2
1
2a 3a 1
1 a
 () 
 ()      

4 4 2 2
2
1
a a a 1 4a
1 a
. 
 Áp dụng BĐT Cụsi cho 4 số khụng õm: 

4 4 2
2
1
a , a , a 1,
1 a
        
 
4 4 2 4 4 2 2
4
2 2
1 1
a a a 1 4 a a a 1 4a
1 a 1 a
8. Chứng minh:   1995a 1995 a 1 () , a > 0 
 ()      1995 1995a 1995a 1995 a 1995 1995a 
          
19951995 1995 1995 1995
1994 soỏ
a 1995 a 1994 a 1 1 ... 1 1995 a 1995a 
9. Chứng minh:           2 2 2 2 2 2a 1 b b 1 c c 1 a 6abc . 
                 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a 1 b b 1 c c 1 a a a b b b c c c a 
  Áp dụng bất đẳng thức Cụsi cho 6 số khụng õm: 
        
62 2 2 2 2 2 2 2 2 6 6 6
a a b b b c c c a 6 a b c 6abc 
10. Cho a , b > 0. Chứng minh: 
 
     
   2 2 2 2 2 2
a b c 1 1 1 1
2 a b ca b b c a c
   
2 2
a a 1
2ab 2ba b
 ,  
2 2
b b 1
2bc 2cb c
 ,  
2 2
c c 1
2ac 2aa c
  Vậy: 
 
     
   2 2 2 2 2 2
a b c 1 1 1 1
2 a b ca b b c a c
11. Cho a , b  1 , chứng minh:    ab a b 1 b a 1. 
              a a 1 1 2 a 1, b b 1 1 2 b 1 
     ab 2b a 1, ab 2a b 1 
     ab a b 1 b a 1 
12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. C/m: xyz  64(x – 1)(y – 1)(z – 1) 
             x x 1 1 x 1 x y z 3 
                        24x 1 x 1 y 1 z 1 4 x 1 y 1 z 1 
 Tương tự:        24y 4 x 1 y 1 z 1 ;        24z 4 x 1 y 1 z 1 
  xyz  64(x – 1)(y – 1)(z – 1). 
13. Cho a > b > c, Chứng minh:     3a 3 a b b c c . 
Tổ-TOÁN TRƯỜNG THPT TÂN HIỆP 
 9 
               3a a b b c c 3 a b b c c 
14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh: 
 a) b + c  16abc. 
  
 
 
 
2
b c
bc
2
   
    
      
   
2 2
2b c 1 a
16abc 16a 16a 4a 1 a
2 2
                       
2 22
4a 1 a 1 a 4a 4a 1 a 1 1 2a 1 a b c 
 b) (1 – a)(1 – b)(1 – c)  8abc 
  (1 – a)(1 – b)(1 – c) = (b + c)(a + c)(a + b)  
2 bc.2 ac.2 ab 8abc 
 c) 
   
      
   
1 1 1
1 1 1 64
a b c
  
     
     
   
4 2
1 a a b c 4 a bc
1
a a a
   
4 2
1 4 ab c
1
b b
   
4 2
1 4 abc
1
c c
  
   
      
   
1 1 1
1 1 1 64
a b c
15. Cho x > y > 0 . Chứng minh: 
 
 

1
x 3
x y y
   
 
 
 

     
 
3
x y y1
VT x y y 3 3
x y y x y y
16. Chứng minh: 
 a) 



2
2
x 2
2
x 1
    2 2x 2 2 x 1     2 2x 1 1 2 x 1 
 b) 


x 8
x 1
 = 
 
     
  
x 1 9 9 9
x 1 2 x 1 6
x 1 x 1 x 1
 c.         2 2 2a 1 4 2 4 a 1 4 a 1  



2
2
a 5
4
a 1
17. Chứng minh: 
 
   
  
ab bc ca a b c
; a, b, c 0
a b b c c a 2
  Vỡ :  a b 2 ab 
   

ab ab ab
a b 22 ab
 ,  

bc bc bc
b c 22 bc
 ,  

ac ac ac
a c 22 ac
      a b c ab bc ca , dựa vào:     2 2 2a b c ab bc ca . 
Tổ-TOÁN TRƯỜNG THPT TÂN HIỆP 
 10 
  
   
   
  
ab bc ca ab bc ac a b c
a b b c c a 2 2
18. Chứng minh:  
 
2 2
4 4
x y 1
41 16x 1 16y
 , x , y  R 
  
 
  
 
2 2 2
4 2 2
x x x 1
81 16x 2.4x1 4x
  
 
  
 
2 2 2
4 2 2
y y y 1
81 16y 2.4y1 4y
   
 
2 2
4 4
x y 1
41 16x 1 16y
19. Chứng minh:   
  
a b c 3
b c a c a b 2
 ; a , b , c > 0 
 Đặt X = b + c , Y = c + a , Z = a + b. 
  a + b + c = 
1
2
(X + Y + Z) 
  
     
  
Y Z X Z X Y X Y Z
a , b , c
2 2 2
  
      
              
         
a b c 1 Y X Z X Z Y
3
b c a c a b 2 X Y X Z Y Z
      
1 3
2 2 2 3
2 2
. 
 Cỏch khỏc: 
  
     
             
          
a b c a b c
1 1 1 3
b c a c a b b c a c a b
                 
   
1 1 1 1
a b b c c a 3
2 b c a c a b
  Áp dụng bất đẳng thức Cụsi cho ba số khụng õm: 
                   
   
1 1 1 1 9 3
a b b c c a 3
2 b c a c a b 2 2
20. Cho a , b , c > 0. C/m: 
   
     3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
abca b abc b c abc c a abc
            3 3 2 2a b a b a ab a a b ab 
            3 3a b abc a b ab abc ab a b c , tương tự 
            3 3b c abc b c bc abc bc a b c 
Tổ-TOÁN TRƯỜNG THPT TÂN HIỆP 
 11 
            3 3c a abc c a ca abc ca a b c 
  
     
  
     
         
1 1 1 1 a b c
VT
ab a b c bc a b c ca a b c a b c abc
21. Áp dụng BĐT Cụsi cho hai số chứng minh: 
 a.     4a b c d 4 abcd với a , b , c , d  0 (Cụsi 4 số) 
     a b 2 ab , c d 2 cd 
           4a b cd 2 ab cd 2 2 ab. cd 4 abcd 
 b.    3a b c 3 abc với a , b , c  0 , (Cụsi 3 số ) 
  
   
    4
a b c a b c
a b c 4. abc
3 3
  
   
 4
a b c a b c
abc
3 3
  
    
 
 
4
a b c a b c
abc
3 3
  
  
 
 
3
a b c
abc
3
     3a b c 3 abc . 
22. Chứng minh:     3 3 3 2 2 2a b c a bc b ac c ab ; a , b , c > 0 
   3 2a abc 2a bc ,  3 2b abc 2b ac ,  3 2c abc 2c ab 
        3 3 3 2 2 2a b c 3abc 2 a bc b ac c ab 
         3 3 3 2 2 22 a b c 2 a bc b ac c ab , 
 vỡ :   3 3 3a b c 3abc 
 Vậy:     3 3 3 2 2 2a b c a bc b ac c ab 
23. Chứng minh:   3 942 a 3 b 4 c 9 abc 
  Áp dụng bất đẳng thức Cụsi cho 9 số khụng õm: 
           3 3 3 94 4 4 4VT a a b b b c c c c 9 abc 
24. Cho  
x 18
y
2 x
 , x > 0. Định x để y đạt GTNN. 
  Áp dụng BĐT Cụsi cho hai số khụng õm: 
   
x 18 x 18
y 2 . 6
2 x 2 x
  Dấu “ = ” xảy ra       2
x 18
x 36 x 6
2 x
, chọn x = 6. 
 Vậy: Khi x = 6 thỡ y đạt GTNN bằng 6 
25. Cho   

x 2
y ,x 1
2 x 1
 . Định x để y đạt GTNN. 
Tổ-TOÁN TRƯỜNG THPT TÂN HIỆP 
 12 
  

  

x 1 2 1
y
2 x 1 2
  Áp dụng bất đẳng thức Cụsi cho hai số khụng õm 


x 1 2
,
2 x 1
: 
 
     
 
x 1 2 1 x 1 2 1 5
y 2 .
2 x 1 2 2 x 1 2 2
  Dấu “ = ” xảy ra   

     
  
2 x 3x 1 2
x 1 4
x 1(loaùi)2 x 1
 Vậy: Khi x = 3 thỡ y đạt GTNN bằng 
5
2
26. Cho    

3x 1
y , x 1
2 x 1
 . Định x để y đạt GTNN. 
  

  

3(x 1) 1 3
y
2 x 1 2
  Áp dụng bất đẳng thức Cụsi cho hai số khụng õm 
 

3 x 1 1
,
2 x 1
: 
    
      
 
3 x 1 1 3 3 x 1 1 3 3
y 2 . 6
2 x 1 2 2 x 1 2 2
  Dấu “ = ” xảy ra  
  
 
 

 
     

  

2
6
x 1
3 x 1 1 2 3
x 1
2 x 1 3 6
x 1(loaùi)
3
 Vậy: Khi  
6
x 1
3
 thỡ y đạt GTNN bằng 
3
6
2
27. Cho   

x 5 1
y ,x
3 2x 1 2
 . Định x để y đạt GTNN. 
  

  

2x 1 5 1
y
6 2x 1 3
  Áp dụng bất đẳng thức Cụsi cho hai số khụng õm 


2x 1 5
,
6 2x 1
: 
  
     
 
2x 1 5 1 2x 1 5 1 30 1
y 2 .
6 2x 1 3 6 2x 1 3 3
 Dấu “ = ” xảy ra 
Tổ-TOÁN TRƯỜNG THPT TÂN HIỆP 
 13 
   
 

     
  


2
30 1
x
2x 1 5 2
2x 1 30
6 2x 1 30 1
x (loaùi)
2
 Vậy: Khi 


30 1
x
2
 thỡ y đạt GTNN bằng 
30 1
3
28. Cho  

x 5
y
1 x x
 , 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN. 
 
    
        
  
x 5 1 x 5x x x 1 x 1 x
f(x) 5 5 2 5 5 2 5 5
1 x x 1 x x 1 x x
 Dấu “ = „ xảy ra  
  
     
  
2
x 1 x x 5 5
5 5 x
1 x x 1 x 4
 (0 < x < 
1) 
  Vậy: GTNN của y là 2 5 5 khi 


5 5
x
4
29. Cho 


3
2
x 1
y
x
 , x > 0 . Định x để y đạt GTNN. 
  

      
3
3
2 2 2 2 3
x 1 1 x x 1 x x 1 3
x 3
2 2 2 2 4x x x x
  Dấu “ = „ xảy ra   
2
x x 1
2 2 x
   3x 2 . 
  Vậy: GTNN của y là 
3
3
4
 khi  3x 2 
30. Tỡm GTNN của 
 

2
x 4x 4
f(x)
x
 , x > 0. 
  
 
     
2
x 4x 4 4 4
x 4 2 x. 4 8
x x x
  Dấu “ = „ xảy ra  
4
x
x
  x = 2 (x > 0). 
  Vậy: GTNN của y là 8 khi x = 2. 
31. Tỡm GTNN của  2
3
2
f(x) x
x
 , x > 0. 
  
   
          
   
3
22 2 2 2
2 5
3 3 3 3 5
2 x x x 1 1 x 1 5
x 5
3 3 3 3 27x x x x
Tổ-TOÁN TRƯỜNG THPT TÂN HIỆP 
 14 
  Dấu “ = „ xảy ra    
2
5
3
x 1
x 3
3 x
  x = 2 (x > 0). 
  Vậy: GTNN của y là 
5
5
27
 khi  5x 3 . 
32. Tỡm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x) 
  f(x) = –10x2 + 11x – 3 = 
   
          
   
2
2 11x 11 1 1
10 x 3 10 x
10 20 40 40
  Dấu “ = “ xảy ra  
11
x
20
  Vậy: Khi 
11
x
20
 thỡ y đạt GTLN bằng 
1
40
. 
33. Cho y = x(6 – x) , 0  x  6 . Định x để y đạt GTLN. 
  Áp dụng BĐT Cụsi cho 2 số khụng õm x và 6 – x (vỡ 0  x  6): 
         6 x 6 x 2 x 6 x  x(6 – x)  9 
  Dấu “ = “ xảy ra  x = 6 – x  x = 3 
  Vậy: Khi x = 3 thỡ y đạt GTLN bằng 9. 
34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3  x  
5
2
 . Định x để y đạt GTLN. 
  y = (x + 3)(5 – 2x) = 
1
2
(2x + 6)(5 – 2x) 
  Áp dụng BĐT Cụsi cho 2 số khụng õm 2x + 6 và 5 – 2x 
,
 
   
 
5
3 x
2
: 
              11 2x 6 5 2x 2 2x 6 5 2x  
1
2
(2x + 6)(5 – 2x)  
121
8
  Dấu “ = “ xảy ra  2x + 6 = 5 – 2x   
1
x
4
  Vậy: Khi  
1
x
4
 thỡ y đạt GTLN bằng 
121
8
. 
35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) ,   
5
x 5
2
 . Định x để y đạt GTLN. 
  y = (2x + 5)(5 – x) = 
1
2
(2x + 5)(10 – 2x) 
  Áp dụng BĐT Cụsi cho 2 số khụng õm 2x + 5 , 10 – 2x 
Tổ-TOÁN TRƯỜNG THPT TÂN HIỆP 
 15 
,
 
   
 
5
x 5
2
: 
             2x 5 10 2x 2 2x 5 10 2x  
1
2
(2x + 5)(10 – 2x)  
625
8
  Dấu “ = “ xảy ra  2x + 5 = 10 – 2x  
5
x
4
  Vậy: Khi 
5
x
4
 thỡ y đạt GTLN bằng 
625
8
36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , 
1
2
  x  
5
2
 . Định x để y đạt GTLN 
  y = 3(2x + 1)(5 – 2x) 
  Áp dụng BĐT Cụsi cho 2 số khụng õm 2x + 1 , 5 – 2x 
,
 
   
 
1 5
x
2 2
: 
             2x 1 5 2x 2 2x 1 5 2x  (2x + 1)(5 – 2x)  9 
  Dấu “ = “ xảy ra  2x + 1 = 5 – 2x  x = 1 
  Vậy: Khi x = 1 thỡ y đạt GTLN bằng 9. 
37. Cho 
2
x
y
x 2
 . Định x để y đạt GTLN 
    2 22 x 2 2x 2x 2  
 2
1 x
2 2 2 x
  
1
y
2 2
  Dấu “ = “ xảy ra   2x 2 và x > 0 x= 2 
  Vậy: Khi x 2 thỡ y đạt GTLN bằng 
1
2 2
. 
38. Cho 
 


2
3
2
x
y
x 2
 . Định x để y đạt GTLN 
      
32 2 2
x 2 x 1 1 3 x .1.1   
 
   

2
3
2 2
3
2
x 1
x 2 27x
27
x 2
  Dấu “ = “ xảy ra     2x 1 x 1 
  Vậy: Khi  x 1 thỡ y đạt GTLN bằng 
1
27
. 
III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacụpxki 
1. Chứng minh: (ab + cd)2  (a2 + c2)(b2 + d2) () BĐT 
Bunhiacopxki 
Tổ-TOÁN TRƯỜNG THPT TÂN HIỆP 
 16 
 ()       2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a b 2abcd c d a b a d c b c d 
    2 2 2 2a d c b 2abcd 0    
2
ad cb 0 . 
2. Chứng minh:  sinx cosx 2 
  Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 1 , sinx , 1 , cosx : 
   sinx cosx       2 2 2 21. sinx 1. cosx 1 1 sin x cos x 2 
3. Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a2 + 4b2  7. 
  Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 3 , 3a , 4 , 4b : 
         2 23a 4b 3. 3a 4. 4b 3 4 3a 4b  3a2 + 4b2  
7. 
4. Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a2 + 5b2  
725
47
. 
    
2 3
2a 3b 3a 5b
3 5
  Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 
2 3
, 3a , , 5b
3 5
: 
        
 
2 22 3 4 9
3a 5b 3a 5b
3 53 5
  3a2 + 5b2  
735
47
. 
5. Cho 3a – 5b = 8. Chứng minh: 7a2 + 11b2  
2464
137
. 
    
3 5
3a 5b 7 a 11b
7 11
  Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 
3 5
, 7 a , , 11b
7 11
: 
        
 
2 23 5 9 25
7 a 11b 7a 11b
7 117 11
  7a2 + 11b2  
2464
137
. 
6. Cho a + b = 2. Chứng minh: a4 + b4  2. 
  Áp dụng BĐT Bunhiacopski: 
        2 22 a b 1 1 a b  a2 + b2  2 
          2 2 4 42 a b 1 1 a b  a4 + b4  2 
7. Cho a + b  1 Chứng minh:  2 2
1
a b
2
           2 2 2 2 2 2
1
1 a b 1 1 a b a b
2
Tổ-TOÁN TRƯỜNG THPT TÂN HIỆP 
 17 
1. (CĐGT II 2003 dự bị) 
 Cho 3 số bất kỡ x, y, z. CMR: 
     2 2 2 2 2 2x xy y x xz+z y yz+z 
2. (CĐBC Hoa Sen khối A 2006) 
 Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng: x3 + y3 + z3  x + y + 
z. 
3. (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006) 
 Cho 3 số dương x, y, z thoả x + y + z  1. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của 
biểu thức: A = x + y + z +  
1 1 1
x y z
4. (CĐSPHCM khối ABTDM 2006) 
 Cho x, y là hai số thực dương và thoả x + y = 
5
4
. Tỡm giỏ trị nhỏ 
nhất của biểu thức: A = 
4 1
x 4y
. 
5. (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006) 
 Cho 4 số dương a, b, c, d. Chứng minh bất đẳng thức: 
   
       
a b c d
a b c b c d c d a d a b
< 2 
6. (CĐKT Cao Thắng khối A 2006) 
 Chứng minh rằng nếu x > 0 thỡ (x + 1)2
 
  
 2
1 2
1
xx
 16. 
7. (CĐKTKTCN1 khối A 2006) 
 Cho 3 số dương a, b, c. Ch. minh rằng: 
     
  
a b c a b c a b c
9
a b c
8. (CĐKTYTế1 2006) 
 Cho cỏc số thực x, y thay đổi thoả món điều kiện: y  0; x2 + x = y 
+ 12. 
 Tỡm giỏ trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A = xy + x + 2y + 17 
9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) 
 Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A 
= xyz. 
10. (Học viện BCVT 2001) 
 Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thoả món điều kiện: 
ĐỀ THI BẤT ĐẲNG THỨC 
Tổ-TOÁN TRƯỜNG THPT TÂN HIỆP 
 18 
a + b + c = 1 thỡ: 
 
     
 a b c a b c
1 1 1 a b c
3
3 3 3 3 3 3
11. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2) 
 Cho ba số dương a, b, c thoả a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh: 
   
  2 2 2 2 2 2
a b c 3 3
2b c c a a b
12. (ĐH Kiến trỳc HN 2001) 
 Cho cỏc số a, b, c thoả: 
   

  
2 2 2
a b c 2
ab bc ca 1
 Chứng minh:         
4 4 4 4 4 4
a ; b ; c
3 3 3 3 3 3
13. (Học viện NH TPHCM khối A 2001) 
 Cho ABC cú 3 cạnh là a, b, c và p là nửa chu vi. Chứng minh 
rằng: 
 
     
    
1 1 1 1 1 1
2
p a p b p c a b c
14. (ĐH