Đề thi học sinh giỏi lớp 12 có đáp án môn thi: Toán - Đề 23

kì thi học sinh giỏi lớp 12.
môn thi: Toán học
Thời gian: 180 phút
đề bài
Bài 1 (2 điểm)
 Tính tổng sau: Pn(x) = 1 + 2x + 3x2 + + nxn-1.
 Sau đó áp dụng với x = 2 và n = 2006.
Bài 2 (2điểm)
 Tính tích phân: I = 
Bài 3 (2 điểm)
 Với giá trị nào của m thì bất phương trình sau có nghiệm
 (m + 2)x2 - 2(m - 1)x + 4 < 0.
Bài 4 (2 điểm)
 Giải hệ phương trình: 
Bài 5 (2 điểm)
 Giải phương trình: cos2006x - sin2006x = 1.
Bài 6 (2 điểm).
 Cho tam giác ABC, chứng minh rằng:
Bài 7 (2 điểm)
 Cho tam giác đều ABC cạnh a và đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A, M là một điểm di động trên D.
 a. Qua trung điểm I của đoạn thẳng AB, dựng mặt phẳng vuông góc với MC. Biết MA = a, tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng đó.
 b. Gọi H là trực tâm của tam giác MBC, Chứng minh rằng đường thẳng Hy vuông góc với mặt phẳng (MBC) luôn đi qua một điểm cố định khi M chạy trên đường thẳng d
Bài 8 (2 điểm)
 Giải phương trình: 3log3(
Bài 9 (2 điểm).
 Cho điểm M(2; -2) và Elíp (E): . Lập phương trình đường thẳng đi qua M và cắt (E) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB = .
Bài 10 (2 điểm).
 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
 f(x) = x(2006 + ).
kì thi học sinh giỏi lớp 12.
môn thi: Toán học
Thời gian: 180 phút
Bài làm
Đáp án
Điểm
Bài 1
 Pn(x) = 1 + 2x + 3x2 +  + nxn-1
 Xét Fn(x) = x + x2 + x3 +  + xn. Có F'n(x) = Pn(x).
 mà Fn(x) = (Vì Fn(x) là tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân).
1 điểm
0,5 điểm
 * áp dụng: x = 2 và n = 2006 
0,5 điểm
Bài 2 
 I = 
 Đặt 
 Đổi cận: 
0,5 điểm
0,5 điểm
 Mặt khác, xét: 
 2I = 
0,5 điểm
 ị I = 
0,5 điểm
Bài 3 
 (m +2)x2 - 2(m - 1)x + 4 <0 (1)
 Trước hết ta tìm điều kiện để bất phương trình (1) vô nghiệm.
 Để phương trình (1) vô nghiệm 
 Vậy để bất phương trình (1) có nghiệm thì 
1 điểm
 Bài 4. Giải hệ phương trình:
 Điều kiện : x,y ạ 0.
 áp dụng bất đẳng Bunhiacôpxki cho vế trái của phương trình (1)
0,75 điểm
 Từ (1) 
0,5 điểm
 Để xảy ra phương trình (2) thay vào phương trình (1) ta có: x = y = 1.
0,5 điểm
 Vậy hệ phương trình có nghiệm: x = y = 1.
0,5 điểm
 Bài 5. Giải phương trình: cos2006x - sin2006x = 1 (1).
 Nhận xét: -1Ê cosxÊ1 ị 0Ê cos2006x Ê 1.
 -1 Ê sinx Ê 1 ị 0 Ê sin2006x Ê 1.
0,5 điểm
 ị -1 Ê cos2006x - sin2006x Ê 1 ị cos2006x - sin2006x Ê 1
0,5 điểm
 Để cos2006x - sin2006x = 1 
1 điểm
Bài 6. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: (1)
 Trước hết ta chứng minh: (2)
 Thật vậy: (2) 
 Bất đẳng thức luôn đúng, dấu "=" xảy ra khi A = B = C
1 điểm
 Ta chứng minh bất đẳng thức (1).
 Do A, B, C là 3 góc của tam giác ABC đều dương.
 áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số này ta có:
0,5 điểm
 Mà theo trên thì: 
 dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.
0,5 điểm
bài 7. M
a. 
 F
 B C
 I E
 A
 Lấy E, F, I lần lượt là trung điểm AC, MC, AB. Có BE ^ (MAC) 
 ị BE ^ MC, AF ^ MC
0,25 điểm
0,25 điểm
 ị Các mặt phẳng vuông góc với MC sẽ song song với BE, AF.
 ị Kẻ IQ // BE (Qẻ AC)
 QP // AF (Pẻ MC) 
 ị (IQP) qua I và vuông góc với MC
0,25 điểm
 ị d/(A, (IQP)) = 
0,25 điểm
b. Gọi K là trung điểm của BC. Vì tam giác MBC cân ị H ẻ MK
 Mặt khác: (MAK) ^ BC 
 ị Hy ^ mặt phẳng này ị Hy ầ AK = O
0,25 điểm
 Ta có:
 CH ^ MB (H là trực tâm)
 OH ^ MB (OH ^ (MBC))
 ị MB ^ (OHC)
0,25 điểm
 ị MB ^ OC ị theo định lí 3 đường vuông góc ị AB^OC
 ị O là trực tâm của D đều ABC.
0,25 điểm
 ị Hy đi qua tâm O của D đều ABC.
 M
 y
 H
 A O C
 K
 B
0,25 điểm
Bài 8 
 3 (1).
 Điều kiện: x > 0
0,5 điểm
 Đặt x = 212y khi đó:
 (1) trở thành: 3log3(1 + 26y + 24y) = 2log226y
 Û 3log3(1 + 26y + 24y) = 12y
 Û 1+ 26y + 24y = 34y.
 (2).
0,5 điểm
 Nhận thấy y = 1 là 1 nghiệm của phương trình (2).
 Đặt f(y) = . Đây là hàm số nghịch biến trên R, mà VT của (2) là hàm hằng y = 1 ị Phương trình (2) chỉ có nghiệm duy nhất. Vậy y = 1 là nghiệm ị x = 212
0,75 điểm
 Bài 9. Điểm M(2; -2) và Elíp (E): 
 Rõ ràng đường thẳng x = 2 không thể cắt (E) tại hai điểm phân biệt. Gọi k là hệ số góc của đường thẳng (d) đi qua và cắt (E) tại 2 điểm phân biệt.
 ị phương trình đường thẳng (d) dạng: y = kx - 2k - 2.
0,5 điểm
Để (d) cắt (E) tại hai điểm phân biệt thì phương trình: 
 có hai nghiệm phân biệt.
 Û (4k2 + 1)x2 - 4(4k + 4)kx + 4(4k2 + 8k +3) = 0 (1) có hai nghiệm phân biệt Û D' > 0 Û 32k + 12 <0 Û k < -2/8.
 Khi đó (1) có hai nghiệm phân biệt là hoành độ của hai điểm A và B và:
0,5 điểm
 Khi đó A(x1; k(x1 -2) - 2), B(x2; k(x2 - 2) - 2).
 Do AB = 
0,5 điểm
 - Với k = -1 thì phương trình đường thẳng (d) có dạng: x + y = 0
 - Với 32k3 + 8k2 + 23k + 17 = 0.
 Xét hàm số y = 32k3 + 8k2 + 23k + 17 trên miền (-Ơ; -3/8)
 y' = 96k2 + 16k + 23 > 0 với "x ẻ (-Ơ, -3/8) ị hàm số đồng biến trên (-Ơ; -3/8). Do y(-3/2) < 0 ị phương trình (*) vô nghiệm.
 Vậy tồn tại duy nhất 1 đường thẳng (d) thoả mãn yêu cầu đề bài.
0,5 điểm
Bài 10. . ĐK . 
 Do f(x) là hàm số lẻ nên ta chỉ cầm xét x 
0,25 điểm
 Ta có: 
0,5 điểm
 Tương tự xét trên miền ta có:
 f(x) .
0,5 điểm
 Vậy Maxf(x) = 2007
 Min f(x) = -2007
0,5 điểm