Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 10 năm học 2011 - 2012 môn: Toán học

UBND TỈNH THÁI NGUYÊN
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 10
NĂM HỌC 2011 - 2012
MÔN : TOÁN HỌC
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm có 01 trang)
Bài 1 (6 điểm). 
 a) Giải phương trình sau trên : . 
 b) Giải bất phương trình sau: . 
Bài 2 (3 điểm)
 Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho hai số và đều là lập 
 phương của hai số nguyên dương nào đó.
Bài 3 (3 điểm)
 Cho tam giác ABC và điểm K thuộc cạnh BC sao cho KB=2KC, L là hình chiếu của B trên AK, F là trung điểm của BC, biết rằng . Chứng minh rằng FL vuông góc với AC.
Bài 4 (4 điểm)
 Cho A là tập hợp gồm 8 phần tử , tìm số lớn nhất các tập con gồm 3 phần tử của A sao cho giao của 2 tập bất kỳ trong các tập con này không phải là một tập hợp gồm 2 phần tử. 
Bµi 5 (4điểm)
 Cho các số dương . Chứng minh bất đẳng thức:
---------- Hết ----------
Họ và tên :.......................................................... Số báo danh :........................
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN HSG KHỐI 10 CẤP TỈNH
MÔN: TOÁN 
NĂM HỌC: 2011 - 2012 
 Bài
Lời giải
 Điểm
Bài 1
 a) Giải phương trình sau trên : . 
 b) Giải bất phương trình sau: . 
Lời giải: a) Điều kiện: . 
Phương trình đã cho tương đương với
Ta có 
Ta có 
Kết luận:  ; là nghiệm của phương trình đã cho.
 b) Điều kiện: . 
TH1 : Xét ta có : 
 Vậy là nghiệm.
TH2 : Xét ta có : 
 ( Bpt vô nghiệm)
TH3 : Xét ta có : 
Kết hợp với miền đang xét ta có là nghiệm của Bpt.
Vậy tập nghiệm của Bpt là :
0,5 đ
1 đ
1 đ
0,5 đ
0,5 đ
2 đ
0,5 đ
Bài 2
Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho hai số và đều là lập phương của hai số nguyên dương nào đó.
Lời giải: Giả sử có số nguyên dương n sao cho vµ với là hai số nguyên dương . 
Khi đó ta được .
Ta thấy , nên ta có .
Thay từ (1) vào (2) ta được , từ đó có vµ 
 .
 Vậy là giá trị cần tìm.
1 đ
1,5đ
0,5 đ
Bài 3
Cho tam giác ABC và điểm K thuộc cạnh BC sao cho KB=2KC, L là hình chiếu của B trên AK, F là trung điểm của BC, biết rằng . Chứng minh rằng FL vuông góc với AC.
Lời giải:
Đặt AB=c, AC=b, BC=a, . Khi đó: .
Áp dụng định lí sin cho tam giác ABK và ACK, ta được:
Do BK=2CK, nên từ các đẳng thức trên ta có: 
Lại có:
Thay (*) vào (**), ta được: 
Từ (1) và (2) suy ra: 
Theo bổ đề 2 của định lí carnot, suy ra CA vuông góc với FL.
( Chuyển qua vectơ ta cũng có )
0,5đ
2 đ
0,5 đ
Bài 4
Cho A là tập hợp gồm 8 phần tử , tìm số lớn nhất các tập con gồm 3 phần tử của A sao cho giao của 2 tập bất kỳ trong các tập con này không phải là một tập hợp gồm 2 phần tử. 
Lời giải:
Ký hiệu là số phần tử của tập hữu hạn X.
Gọi B1, B2,, Bn là các tập con của A thỏa mãn: 
Giả sử tồn tại phần tử a A mà a thuộc vào 4 tập trong số các tập B1, B2,, Bn (chẳng hạn aB1, B2, B3, B4), khi đó: .Mà Bi Bj nếu ij, tức là . Do đó (i, j = 1, 2, 3, 4). 
Từ đây 1 +4.2 = 9, điều này mâu thuẫn. 
Như vậy, mỗi phần tử của A chỉ thuộc về nhiều lắm là ba trong số các tập B1, B2,, Bn . Khi đó 3n 8.3 n 8.
Giả sử A = {a1, a2,,a8}, xét các tập con của A là:
B1 = {a1, a2, a3}; B2 = {a1, a4, a5}; B3 = {a1, a6, a7}; B4 = {a8, a3, a4}; 
B5 = {a8, a2, a6}; B6 = {a8, a5, a7}; B7 = {a3, a5, a6}; B8 ={a2, a4, a7}. 
Tám tập hợp trên là các tập con gồm ba phần tử của A thỏa mãn . Vì vậy số n cần tìm là n = 8.
1 đ
1,5 đ
1,5 đ
Bài 5
Cho các số dương . Chứng minh bất đẳng thức: 
Lời giải: Gọi vế trái của bất đẳng thức là S
Do . Nên:
 (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
1 đ
3 đ