Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12

MOÄT SOÁ KÍ HIEÄU THOÂNG DUÏNG
Kí hieäu
Teân goïi
Dieãn giaûi
----- Voõ Thanh Huøng - THPT Traàn Quoác Toaûn - Ñoàng Thaùp -----CHÖÔNG I. ÖÙNG DUÏNG ÑAÏO HAØM ÑEÅ KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ
----- oOo -----
F CHUAÅN BÒ KIEÁN THÖÙC:
1. Daáu nhò thöùc baäc nhaát: 
 · Daïng f(x) = ax + b (a ¹ 0). Nghieäm cuûa nhò thöùc laø nghieäm phöông trình ax + b = 0.
 · Baûng xeùt daáu cuûa nhò thöùc baäc nhaát f(x) = ax + b (a ¹ 0):
x
-¥ - +¥
ax + b
 traùi daáu vôùi a 0 cuøng daáu vôùi a
2. Daáu tam thöùc baäc hai:
 · Daïng f(x) = ax2 + bx + c (a ¹ 0). Nghieäm cuûa tam thöùc laø nghieäm phöông trình ax2 + bx + c = 0. 
 · Tính D = b2 - 4ac
 · Neáu D < 0 thì: phöông trình f(x) = 0 voâ nghieäm vaø 
x
-¥ +¥
f(x)
 cuøng daáu vôùi a
 · Neáu D = 0 thì: phöông trình f(x) = 0 coù nghieäm keùp x = -vaø
x
-¥ - +¥
f(x)
 cuøng daáu vôùi a 0 cuøng daáu vôùi a
 · Neáu D > 0 thì: phöông trình f(x) = 0 coù 2 nghieäm x1, x2 (x1 < x2) vaø
x
-¥ x1 x2 +¥
f(x)
 cuøng daáu vôùi a 0 traùi daáu vôùi a 0 cuøng daáu vôùi a
 * Chuù yù: Coù theå xeùt daáu tam thöùc baäc hai theo D' neáu heä soá b chaün.
3. Xeùt daáu bieåu thöùc vaø giaûi baát phöông trình chöùa aån ôû maãu, baát phöông trình baäc hai vaø heä baát phöông trình moät aån:
 Yeâu caàu söû duïng thaønh thaïo baûng xeùt daáu nhò thöùc baäc nhaát vaø tam thöùc baäc hai. Giaûi ñöôïc baát phöông trình chöùa aån ôû maãu, baát phöông trình baäc hai vaø heä baát phöông trình moät aån.
 Ví duï1: Xeùt daáu caùc bieåu thöùc sau:
	a) f(x) = (x - 1)(x2 - 2x - 3);	b) f(x) =;	c) f(x) =;	d) f(x) =.
 Ví duï 2: Giaûi caùc baát phöông trình sau:
	a) x2 + 2x + 3 < 0;	b) (x - 1)(x + 1)2 ³ 0;	c);	d).
 Ví duï 3: Giaûi caùc heä baát phöông trình sau:	a);	b).
4. Daáu caùc nghieäm phöông trình baäc hai:
 Cho phöông trình: ax2 + bx + c = 0 (*) (D = b2 - 4ac)
Phöông trình (*) coù hai nghieäm traùi daáu (x1 < 0 < x2) khi vaø chæ khi: P = < 0.
Phöông trình (*) coù hai nghieäm aâm phaân bieät (x1 < x2 < 0) khi vaø chæ khi: 
Phöông trình (*) coù hai nghieäm döông phaân bieät (0 < x1 < x2 ) khi vaø chæ khi: 
5. Ñieàu kieän khoâng ñoåi daáu cuûa tam thöùc baäc hai:
 Cho tam thöùc baäc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ¹ 0).
	a) f(x) ³ 0 "x Î R Û ;	b) f(x) £ 0 "x Î R Û .
6. Chia ña thöùc:
 Yeâu caàu bieãu dieãn (vôùi f(x) laø ña thöùc coù baäc lôùn hoaëc baèng baäc cuûa g(x)), trong ñoù k(x) laø thöông vaø r(x) laø dö trong pheùp chia .
 Ví duï 1: Bieãu dieãn caùc phaân thöùc daïng thaønh daïng :
	a) ;	b) ;	c) ;	d) ;
e) ;	f) ;	g) ;	h) .
 Ví duï 2: Phaân tích caùc ña thöùc sau ñaây thaønh tích cuûa nhò thöùc baäc nhaát vôùi moät ña thöùc coù baäc nhoû hôn ña thöùc ñaõ cho:
	a) -x3 + 3x2 - 3x + 1;	b) x3 + x2 - 2x - 2;	c) x3 + (m - 1)x2 - m.
7. Caùc khaùi nieäm lieân quan ñeán haøm soá:
 Haøm soá cho bôûi bieåu thöùc ñöôïc kí hieäu y = f(x) vôùi f(x) laø moät bieåu thöùc chöùa bieán x.
 · Taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá: D = {x Î R ï f(x) coù nghóa}.
 · Giaù trò cuûa haøm soá y = f(x) taïi x0 laø y0 = f(x0).
 Ví duï 1: Giaù trò cuûa haøm soá y = x2 + 1 taïi x0 = 2 laø 5
 Ví duï 2: Cho haøm soá y = f(x) = (1)
 a) Tính f(2), f(-1);
 b) Tính giaù trò cuûa haøm soá taïi x = -2;
 c) Tìm toïa ñoä ñieåm M coù hoaønh ñoä x = 0 treân ñoà thò haøm soá (1);
 d) Tìm treân ñoà thò haøm soá (1) nhöõng ñieåm coù tung ñoä baèng 0. 
 Ví duï 3: Tìm taäp xaùc ñònh cuûa caùc haøm soá sau:
 a) y = – 2 + 3; b) y =;
 c) y =; d) y = ;
 e) y = ; f) y = .
8. Tính giôùi haïn:
 Yeâu caàu tính ñöôïc caùc giôùi haïn daïng:, , .
 Ví duï: Tính caùc giôùi haïn sau:
	a);	b);	c);	d);
	e);	f);	g);	h);	i);	j);	k);	l).
9. Ñaïo haøm:
 a) Caùc pheùp toaùn: Giaû söû u = u(x), v = v(x), w = w(x) laø caùc haøm soá coù ñaïo haøm, khi ñoù:
	(u + u - w)' = u' + v' - w';	(uv)' = u'v + v'u;	(k.u)' = k.u' ;	.
 b) Baûng ñaïo haøm caùc haøm soá sô caáp cô baûn:
Ñaïo haøm soá sô caáp cô baûn
Ñaïo haøm haøm soá hôïp (u = u(x))
(C)' = 0
(xa)' = axa-1(a Î R, x > 0)
 (x > 0)
(x ¹ 0)
(ua)' = aua-1.u'(a Î R, u > 0)
 (u > 0)
(u ¹ 0)
(sinx)' = cosx
(cosx)' = -sinx
(tanx)' = (x ¹ , k Î Z)
(cotx)' = - (x ¹ kp, k Î Z).
(sinu)' = cosu.u'
(cosu)' = -sinu.u'
(tanu)' = (u ¹ , k Î Z)
(cotu)' = -(u ¹ kp, k Î Z).
 c) Moät soá coâng thöùc tính ñaïo haøm ñaëc bieät:
	· ()' = 	· 
	·
 Ví duï: Tính ñaïo haøm caùc haøm soá sau ñaây:
	a) y = x3 + - ;	b) y = ;	c) y = ;	d) y = .
 d) YÙ nghóa hình hoïc cuûa ñaïo haøm:
	Heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán taïi ñieåm M(x0; y0) thuoäc ñoà thò haøm soá y = f(x) laø f'(x0) vaø phöông trình tieáp tuyeán taïi M(x0; y0) coù daïng: y - y0 = f'(x0)(x - x0).
 Ví duï: Cho haøm soá y = x2. Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò cuûa haøm soá ñoù, bieát:
	a) Tieáp ñieåm laø ñieåm (1; 1);
	b) Tung ñoä cuûa tieáp ñieåm baèng 4;
	c) Tieáp tuyeán ñoù song song vôùi ñöôøng thaúng y = -x + 2;
	d) Tieáp tuyeán ñoù vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng y = .
10. Laäp baûng bieán thieân, veõ ñoà thò haøm soá y = ax + b & y = ax2 + bx + c (a ≠ 0):
 · Yeâu caàu laäp ñöôïc baûng bieán thieân vaø veõ ñöôïc ñoà thò caùc haøm soá baäc nhaát vaø haøm soá baäc hai.
 Ví duï:Veõ ñoà thò caùc haøm soá sau:
a) y = 2x - 1;	b) y = 1 - x;	c) y = 2;	d) x = -3;	e) y = x.
11. Tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa hai ñöôøng:
 · Yeâu caàu tìm ñöôïc toïa ñoä giao ñieåm cuûa hai ñöôøng coù phöông trình cho tröôùc.
 Ví duï 1: Tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa ñoà thò hai haøm soá:
	a) (C): y = x2 - 2x + 2 vaø d: y = x;	b) (C): y = x3 + 4x2 + 4x + 1 vaø d: y = x + 1;
	c) (C): y = x3 + 3x2 + 1 vaø d: y = 2x + 5;	d) (C): y = x3 - 3x vaø d: y = x2 + x - 4.
 Ví duï 2: Tìm toïa giao ñieåm cuûa caùc ñöôøng sau ñaây vôùi hai truïc toïa ñoä:
	a) y = x + 1;	b) y = x2 + 1;	c) y = x2 - 5x + 6;	d) y = x4 - 4x2 + 3.
& Ghi chuù:
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
§1. SÖÏ ÑOÀNG BIEÁN, NGHÒCH BIEÁN CUÛA HAØM SOÁ
I - TÍNH ÑÔN ÑIEÄU CUÛA HAØM SOÁ:
 1) Ñònh nghóa:
	Cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh treân K (K = (a; b) hoaëc K = [a; b) hoaëc K = (a; b] hoaëc K = [a; b])
 Haøm soá y = f(x) ñoàng bieán (taêng) treân K neáu vôùi moïi caëp x1, x2 thuoäc K sao cho:
x1 < x2 Þ f(x1) < f(x2)
 Haøm soá y = f(x) nghòch bieán (giaûm) treân K neáu vôùi moïi caëp x1, x2 thuoäc K sao cho:
x1 f(x2)
Baûng bieán thieân: 
Baûng bieán thieân:
Ñoà thò haøm soá ñoàng bieán
laø ñöôøng ñi leân töø traùi sang phaûi
Ñoà thò haøm soá nghòch bieán
laø ñöôøng ñi xuoáng töø traùi sang phaûi
 2) Tính ñôn ñieäu vaø daáu cuûa ñaïo haøm:
	@ Tính ñaïo haøm y', xeùt daáu y', quan saùt ñoà thò haøm soá y = f(x) ñeå hoaøn thieän baûng bieán thieân vaø ruùt ra nhaän xeùt:
	 a) y = x2.
	 TXÑ: D = R
	 y' = 2x
	 y' = 0 Û 2x = 0 Û x = 0 Þ y = 0
	 Baûng bieán thieân: 	 Ñoà thò:
x
-¥ 0 +¥
y'
 - 0 +
y
+¥ +¥
 0 
	 b) y = .
	 TXÑ: D = ..........
	 y' = ..............................................................................................................
	 Baûng bieán thieân: 	 Ñoà thò:
x
-¥ 0 +¥
y'
y
	Nhaän xeùt: Neáu y' < 0 treân K thì haøm soá .................................... treân K.
	 Neáu y' > 0 treân K thì haøm soá ................................... treân K.
	Ñònh lí: Cho haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm treân K.
	 a) Neáu f'(x) > 0 "x Î K thì haøm soá f(x) ñoàng bieán treân K.
	 b) Neáu f'(x) < 0 "x Î K thì haøm soá f(x) nghòch bieán treân K.
 * Haøm soá y = f(x) ñoàng bieán (nghòch bieán) treân K goïi chung laø ñôn ñieäu treân K, K goïi chung laø khoaûng ñôn ñieäu cuûa haøm soá y = f(x).
	Ví duï: Tìm caùc khoaûng ñôn ñieäu cuûa caùc haøm soá
	 a) y = 2x4 + 1;	b) y = sinx treân khoaûng (0; 2p).
	Giaûi:
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
 * Chuù yù: Quan saùt ñoà thò haøm soá y = x3 vaø traû lôøi caâu hoûi:
Khaúng ñònh sau ñuùng hay sai? vì sao?
 "Neáu haøm soá y = f(x) taêng treân R thì f'(x) > 0 vôùi moïi x Î R".
Traû lôøi: .......................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
 Ñònh lí môû roäng: Giaû söû haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm treân K. Neáu f'(x) ³ 0 (f'(x) £ 0), "x Î K vaø f'(x) = 0 chæ taïi moät soá höõu haïn ñieåm x0 thì haøm soá ñoàng bieán (nghòch bieán) treân K.
 · Neáu f'(x) = 0 "x Î K thì f(x) khoâng ñoåi treân K (hay haøm soá y = f(x) laø haøm haèng y = c treân K)
II. QUY TAÉC XEÙT TÍNH ÑÔN ÑIEÄU CUÛA HAØM SOÁ:
 1. Tìm caùc khoaûng ñôn ñieäu cuûa haøm soá y = f(x):
	@ Trình baøy baøi giaûi:
	 · Tìm taäp xaùc ñònh D cuûa haøm soá. (D = {x Î R | f(x) coù nghóa})
	 · Tính ñaïo haøm f'(x). Cho f'(x) = 0, tìm caùc ñieåm xi (i = 1, 2, ..., n) maø taïi ñoù ñaïo haøm baèng 0 hoaëc khoâng xaùc ñònh.
	 · Laäp baûng bieán thieân (löu yù saép xeáp caùc ñieåm xi theo thöù töï taêng daàn treân baûng bieán thieân).
	 · Keát luaän caùc khoaûng ñoàng bieán, nghòch bieán cuûa haøm soá. 
 Ví duï 1: Xeùt söï ñoàng bieán, nghòch bieán cuûa haøm soá y = f(x) = 
	Giaûi:
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
 Ví duï 2: Tìm caùc khoaûng ñôn ñieäu cuûa caùc haøm soá sau:
	a) y = 2x3 + 6x2 + 6x - 7;	 b) y = x4 - 2x2 - 3;	 c) y = -- x2 + ;	 d) y = .	
 Giaûi:
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
..................