Kỳ khảo sát học sinh giỏi lớp 6,7,8 cấp huyện năm học 2012-2013 Môn: Toán - Lớp 8

UBND H. QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT
KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2012-2013
Môn: Toán - Lớp 8
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài 1 (2.5 điểm):
a) Cho ba số a, b, c thoả mãn: a + b + c = 0. Chứng minh rằng: .
b) Cho với a, b, c là các số thỏa mãn: .
Chứng tỏ rằng: . 
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Bài 2 (2.0 điểm): 
Giải các phương trình sau:
a) 	b) 
Bài 3 (2.5 điểm): 
Cho hình vuông ABCD. M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Hạ ME vuông góc với AB, MF vuông góc với AD.
a) Chứng minh DE ^ CF.
b) Chứng minh rằng ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy.
c) Xác định vị trí của điểm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.
Bài 4 (2.0 điểm): 
Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). Gọi G, H lần lượt là hình chiếu của C trên AB và AD. Chứng minh :
a) DABC đồng dạng với D HCG 
b) 
Bài 5 (1.0 điểm):
Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương thì: 
UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT
KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2012-2013
Môn: Toán - Lớp 8
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1(2.5 điểm):
Có: a2 + b2 ³ 2ab; a2 + c2 ³ 2ac; b2 + c2 ³ 2ac
Cộng được: 2a2 + 2b2 + 2c2 ³ 2ab + 2ac + 2bc 
 Û a2 + b2 + c2 ³ ab + ac + bc (1)
0,25
a + b + c = 0 Û a2 + b2 + c2 +2ab + 2ac + 2bc = 0
 Û -a2 – b2 – c2 =2ab + 2ac + 2bc (2)
0,25
Cộng (1) với (2) được 3ab + 3ac + 3bc £ 0 Û ab + bc + ca £ 0
0,25
f(-2) = 4a – 2b + c; f(3) = 9a + 3b + c
0,25
Có f(-2) + f(3) = 13a + b + 2c = 0 nên:
Hoặc: f(-2) = 0 và f(3) = 0 Þ f(-2).f(3) = 0 (1)
Hoặc: f(-2) và f(3) là hai số đối nhau Þ f(-2).f(3) < 0 (2)
0,25
Từ (1) và (2) được 
0,25
0,50
Giá trị nhỏ nhất của 4M là tại ; x = nên
Giá trị nhỏ nhất của M là tại ; x = .
0,50
Bài 2(2.0 điểm):
0,25
0,25
0,25
Do ¹ 0 nên phương trình có nghiệm x = 2014
0,25
Đặt 2x - 5 = a; x - 2 = b Þ a - b = x -3
Phương trình đã cho trở thành: a3 - b3 = (a - b)3 
0,50
(a-b) (a2 + ab + b2 ) = (a-b)(a2 -2ab + b2)
(a-b)( a2 + ab + b2 - a2 +2ab - b2) = 0
3ab(a-b) = 0
0,25
a = 0 Û ; b = 0 Û x = 2; a = b Û x = 3
0,25
Bài 5 (1.0 điểm):
A = 
0,25
A. A chia hết cho 7
0,25
A. A chia hết cho 13
0,25
Do (13,7) =1 nên A chia hết cho 91
0,25
Bài 3 (2.5 điểm): 
Chứng tỏ được AE = DF (Cùng bằng MF)
0,25
Chứng tỏ được DCDF = DDAE Þ 
0,25
Có phụ nhau Þ phụ nhau hay CF^ DE
0,25
Tương tự có CE ^ BF
0,25
Chứng minh được CM ^ EF:
Gọi G là giao điểm của FM và BC; H là giao điểm của CM và EF. 
(Hai HCN bằng nhau)
(Đối đỉnh) Þ = 900 
0,50
CM, FB, ED là ba đường cao của tam giác CEF nên chúng đồng quy
0,25
(AE - ME)2 ³0 nên (AE + ME)2 ³ 4AE.ME Û 
0,25
. Do AB = const nên SAEMF lớn nhất khi AE = ME.
Lúc đó M là trung điểm của BD.
0,50
Bài 4 (2.0 điểm):
Chứng tỏ được: DCBG đồng dạng với DCDH.
0,25
Þ 
0,25
 (Cùng bù với )
Þ DABC đồng dạng với DHCG
0,50
Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B, D trên AC.
DAFD đồng dạng DAHC: 
0,25
DAEB đồng dạng DAGC: 
0,25
Cộng được: AF.AC + AE.AC = AD.AH+AG.AB
 AC(AF+AE) = AD.AH+AG.AB
0,25
Chứng tỏ được AE = FC. Thay được:
 AC(AF+FC) = AD.AH+AG.AB Þ AC2 = AD.AH+AG.AB
0,25