Đề thi và đáp án tuyển sinh vào lớp 10 THPT Quảng Bình năm học 2012 - 2013 môn: Toán (chuyên)

sở GD&đt quảng bình kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt 
 năm học 2012 - 2013
 (ĐỀ CHÍNH THỨC) Khoỏ ngày 04 - 07 - 2012
 	 	 	 	 Mụn : TOÁN (CHUYấN) 	
 Họ tờn : ........................ Thời gian làm bài : 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
 SBD: ............................	 	
 Đề thi gồm cú 01 trang
Cõu 1: (2,0 điểm) Cho phương trỡnh: (x là ẩn số). Giả sử hai nghiệm của phương trỡnh là số đo hai cạnh gúc vuụng của một tam giỏc.
a) Tỡm cỏc giỏ trị của a để diện tớch của tam giỏc vuụng bằng (đơn vị diện tớch).
b) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức .
Cõu 2: (2,0 điểm) Giải phương trỡnh: .
Cõu 3: (1,5 điểm) Cho cỏc số thực thoả món: .
 Chứng minh: .
Cõu 4: (3,5 điểm) Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, nội tiếp trong đường trũn (O). Trờn cung BC khụng chứa A, lấy điểm M tuỳ ý (M khỏc C). P là điểm trờn cạnh BC sao cho . Trờn cỏc tia AB, AC lấy lần lượt cỏc điểm E, F sao cho BE = CF = BC.
a) Chứng minh: và .
b) Chứng minh: .
c) Xỏc định vị trớ điểm N trờn đường trũn (O) để tổng NA + NB + NC lớn nhất.
Cõu 5: (1,0 điểm) Cho cỏc số nguyờn a, b, c, d và số nguyờn dương p. Chứng minh rằng nếu chia hết cho p thỡ cũng chia hết cho p.
HếT
HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN CHẤM
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012 - 2013
Khúa ngày 04 - 07 - 2012
Mụn: TOÁN (CHUYấN)
* Đỏp ỏn chỉ trỡnh bày một lời giải cho mỗi cõu. Trong bài làm của học sinh yờu cầu phải lập luận lụgic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết, rừ ràng.
* Trong mỗi cõu, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thỡ cho điểm 0 đối với những bước giải sau cú liờn quan.
* Điểm thành phần của mỗi cõu núi chung phõn chia đến 0.25 điểm. Đối với điểm thành phần là 0.5 điểm thỡ tựy tổ giỏm khảo thống nhất để chiết thành từng 0.25 điểm.
* Học sinh khụng vẽ hỡnh đối với Cõu 4 thỡ cho điểm 0 đối với Cõu 4. Trường hợp học sinh cú vẽ hỡnh, nếu vẽ sai ở ý nào thỡ cho điểm 0 ở ý đú. 
* Học sinh cú lời giải khỏc đỏp ỏn (nếu đỳng) vẫn cho điểm tối đa tựy theo mức điểm của từng cõu.
* Điểm của toàn bài là tổng (khụng làm trũn số) của điểm tất cả cỏc cõu.
Cõu
Nội dung
Điểm
1
2,0 điểm
1a
Điều kiện để hai nghiệm của phương trỡnh là số đo hai cạnh gúc vuụng của tam giỏc là 
0,25
0,25
Vỡ là số đo hai cạnh gúc vuụng nờn diện tớch tam giỏc là 
0,25
0,25
Lưu ý: học sinh khụng tỡm điều kiện phương trỡnh cú hai nghiệm dương mà kết quả đỳng cho 0,5 điểm.
1b
 Ta cú: 
0,25
0,25
Với , ta cú: 
0,25
 Vậy giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A là 5 khi 
0,25
2
2,0điểm
ĐK: 
0,25
Đặt 
0,25
 Ta cú hệ phương trỡnh 
0,25
0,25
0,25
0,5
 Vậy phương trỡnh cú nghiệm duy nhất 
0,25
3
1,5điểm
Ta cú 
0,5
 và 
0,5
0,25
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
0,25
4
3,5 điểm
E
F
A
B
C
M
P
 Hỡnh vẽ
0,25
4a
Ta cú: (cựng chắn cung AC)
Nờn: 
0,25
0,25
Suy ra: (1)
0,25
Mặt khỏc: , 
0,25
 (2)
0,25
Từ (1) và (2) suy ra: 
0,25
4b
Từ kết quả cõu a) ta cú:
0,25
Do đú: 
 = 
0,25
 = 
0,25
4c
Xột trường hợp N thuộc cung BC khụng chứa A
- Nếu N khỏc C theo kết quả cõu b) ta cú 
 (3)
- Nếu N trựng C, ta thấy (3) vẫn đỳng.
Mặt khỏc 
Từ (3) và (4) suy ra .
0,25
0,25
 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hay 
0,25
Xột trường hợp N thuộc cung BC chứa A, lấy N' đối xứng với N qua BC, khi đú N' thuộc cung BC khụng chứa A, N'A < NA, N'B = NB, N'C = NC. Áp dụng trường hợp trờn ta cú:
 NA + NB + NC < N'A + N'B + N'C EF.
Vậy trong mọi trường hợp thỡ NA + NB + NC cú giỏ trị lớn nhất là EF, đạt được khi .
0,25
5
1,0 điểm
 Xột 
0,25
Ta biểu diễn f(x) dưới dạng:
Với : chia hết cho p.
0,25
Ta cú: 
0,25
Suy ra:
Vỡ A, chia hết cho p nờn chia hết cho p.
0,25