Đề thi và đáp án chọn học sinh giỏi tỉnh Quảng Ninh lớp 9 năm học 2004-2005 môn: Toán (bảng A)

sở giáo dục - đào tạo 
quảng ninh
-------- --------
kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
lớp 9 năm học 2004-2005
đề thi chính thức
môn : Toán 
(bảng A)
Số BD: ........
Thời gian làm bài : 150 phút
Chữ ký GT 1
(không kể thời gian giao đề)
Bài 1:
1) Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n thoả mãn: n2 + 2006 là số chính phương. 
2) Giải phương trình: = 
Bài 2:
Cho các số thực x, y thoả mãn điều kiện sau:
 + + x2 = + + y2 
Chứng minh rằng: x = y
Bài 3:
Gọi a là tham số thực sao cho phương trình x2 - 3ax - a = 0 có hai nghiệm phân biệt là x1 và x2 . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 
Bài 4:
Gọi O là tâm đường tròn tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CD, DA của tứ giác ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ các đường thẳng dA, dB, dC, dD sao cho dA ^ OA, dB ^ OB, dC ^ OC, dD ^ OD. Các cặp đường thẳng dA và dB, dB và dC, dC và dD, dD và dA tương ứng cắt nhau tại các điểm K, L, M, N.
1) Chứng minh rằng ba điểm K, O, M thẳng hàng.
2) Đặt OK = k, OL = l, OM = m. Tính độ dài ON theo k, l, m. 
------------------------ Hết -------------------------
hướng dẫn chấm thi HSG tỉnh năm học 2004-2005
môn toán lớp 9 - bảng a
-------------------
Bài
Sơ lược lời giải
Cho điểm
Bài 1.1
3 điểm
Giả sử tồn tại số tự nhiên n thoả mãn n2 + 2006 là số chính phương 
thì n2 + 2006 = m2 với m là số tự nhiên => (m-n)(m+n) = 2006 (*).
1,0 đ
Khi đó:
- nếu m và n khác tính chẵn lẽ thì (m-n)(m+n) lẻ . Mâu thuẫn với (*)
- nếu m và n cùng tính chẵn lẽ thì (m-n)(m+n) chia hết cho 4, nhưng 2006 không chia hết cho 4. Cũng mâu thuẫn với (*)
Tóm lại giả sử trên không đúng. 
Vậy không tồn tại số tự nhiên n thoả mãn n2 + 2006 là số chính phương. 
0,5 đ
1,0 đ
0,5 đ
Bài 1.2
3 điểm
ĐK: x3 + 1 ³ 0 (*).
Biến đổi phương trình đã cho (1) = 
0,5 đ
Đặt = u; = v (1) => u2 + v2 = x2 + 2.
Khi đó (1) trở thành: 2(u2 + v2) = 5u.v 
=> u = 2v ; u = v/2
0,5 đ
0,75 đ
Thay vào (1); giải các phương trình; tìm được: x = và x = 
Thử và thấy các giá trị trên thoả mãn điều kiện (*) 
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = và x = 
1,0 đ
0,25 đ
Bài 2
3 điểm
Giả sử có x, y thoả mãn + + x2 = + + y2
=> x ³ 1; y ³ 1
- Nếu x=1=y thì x = y (đpcm !)
0,25 đ
1,0 đ
- Nếu x, y không đồng thời = 1 thì bằng cách nhân với BT liên hợp, được:
 + + x2 = + + y2 
 (- ) + (-) + (x2 - y2) = 0
(x2- y2)/(+) +(x - y)/(+)+(x2-y2) = 0
 (x - y).((x+y)/(+) +1/(+) +x+y)= 0
 x - y = 0 x = y
(vì : (x+y)/(+) + 1/(+) + x + y > 0)
Vậy nếu x, y thoả mãn đẳng thức trên thì x = y 
1,0 đ
0,5 đ
0,25 đ
Chú ý: Có thể ch/m x = y bằng cách loại trừ các khả năng x y 
Bài 3
4 điểm
Do phương trình x2 - 3ax - a = 0 có hai nghiệm phân biệt là x1 và x2 nên ta có : 9a2 + 4a > 0 (1) ; x12 - 3ax1 - a = x22 - 3ax2 - a = 0 ; x1 + x2 = 3a 
=> x12 = 3ax1 + a ; x22 = 3ax2 + a (2)
0,5 đ
1,0 đ
Bài
Sơ lược lời giải
Cho điểm
Khi đó: A = = 
0,5 đ
Theo (1) thì 9a2 + 4a > 0 nên áp dụng BĐT Côsi, ta được A ³ 2.
A = 2 9a2 + 4a = a2 a = -1/2.
Dễ kiểm tra thấy với a = -1/2 thì x1 = -1 và x2 = -1/2
1,0 đ
0,5 đ
Vậy Anhỏ nhất = 2, đạt được khi a = -1/2 ; x1 = -1 và x2 = -1/2
0,5 đ
Bài 4
Hình vẽ:
4. 1)
4 điểm
Dễ thấy AKBO, BLCO, CMDO và DNAO là các tứ giác nội tiếp.
và các đoạn thẳng OA, OB, OC, OD tương ứng là phân giác các góc A, B, C, D của tứ giác ABCD.
1,5 đ
Có éKOL + éLOM = p - éOKB - éOLB + p - éOLC - éOMC
= p - éBAO - éBCO + p - éCBO - éCDO
= 2p - ( éA + éB + éC + éD )/2 = 2p - p = p 
Từ đó suy ra các điểm K, O, M thẳng hàng 
1,0 đ
1,0 đ
0,5 đ
4. 2)
3 điểm
Chứng minh tương tự như trên, ta được N, O, L thẳng hàng. 
Ta chứng minh tứ giác KLMN nội tiếp. Thật vậy, có:
éNKL + éNML = éAKO + éOKB + éDMO + éOMC 
= (1/2).( éA + éB + éC + éD ) = 2p 
0,25 đ
1,25 đ
Từ đó chứng minh được OK.OM = ON.OL
Do đó ON = (OK.OM)/OL hay ON = k.m/l 
1,0 đ
0,5 đ
Các chú ý khi chấm:
1. Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được điểm tối đa.
2. Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm. Tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhưng không được vượt quá số điểm dành cho câu hoặc phần đó.
3. Có thể chia điểm thành phần đến 0,25 đ nhưng phải thống nhất trong cả tổ chấm. Điểm toàn bài là tổng số điểm các phần đã chấm, làm tròn như chấm thi TN.
Sở Giáo dục - Đào tạo Quảng Ninh.